인공지능 기초수학

목 차

I. 수 체계와 함수

1. 수 체계..1

1.1. 자연수

1.2. 정수

1.3. 유리수

1.4. 실수

2. 일차방정식과 인수분해..5

3. 함수와 그래프..6

3.1. 일차함수와 그래프

3.2. 이차함수와 그래프

4. 지수함수와 로그함수..9

4.1. 지수함수

4.2. 로그함수

5. 함수의 극한과 연속..11

II. 미분과 적분

6. 미분..13

7. 적분..18

III. 행렬과 벡터

8. 행렬

8.1. 행렬과 행렬의 연산..19

8.2. 특수행렬..26

8.3. 행렬식과 역행렬..30

9. 벡터

9.1. 벡터의 개념과 연산..33

9.2. 벡터 공간과 선형독립..40

9.3. 벡터의 내적..44

I. 수 체계와 함수

1. 수 체계

1.1. 자연수(natural number)

자연수: 대상의 수효를 세는 숫자. 집합 [eqn: N= LEFT { 1,2,3,4,5,..... RIGHT }]

예) 호랑이 2마리를 숫자 2에 대응시키는 표현방식

범자연수: 0을 포함한 자연수. 집합 [eqn: N_0= LEFT { 0, 1,2,3,4,5,..... RIGHT }]

자연수는 덧셈과 곱셈에 대하여 닫혀 있다.

- 자연수끼리의 덧셈과 곱셈의 결과는 자연수

덧셈

2+3=5, 3+127=130

곱셈

[eqn: 3 times 7 = 21, ~~ 25 times 4 = 100]

교환법칙

2+3=5 3+2=5

[eqn: 3 times 7 = 21, ~~ 7 times 3 = 21]

결합법칙

[eqn: 3 times 7 + 3 times 11 = 54]

[eqn: 3 times ( 7 + 11) = 3 times 18 = 54]

[eqn: 5 times 5 + 5 times 7 = 5 times ( 5 + 7) = 5 times 12 = 60]

[eqn: 4 TIMES 5+7 TIMES 5=(4+7) TIMES 5=11 TIMES 5=55]

[eqn: 6 TIMES 5+ 9 TIMES 6 = 6 times (5 +9) =6 TIMES 14 =84]

분배법칙

[eqn: 6 times (5 +9) = 6 times 5 + 6 times 9]

[eqn: (4+7) TIMES 5= 4 times 5 + 7 times 5]

* 자연수끼리의 뺄셈과 나눗셈은 자연수가 아닐 수 있다....새로운 수 체계가 필요함

1.2. 정수(Integer)

음의 정수, 영, 양의 정수(자연수)로 구성됨. 집합 [eqn: Z= LEFT { ...,-4, -3, -2, -1, 0, 1,2,3,4,5,... RIGHT }]

정수는 덧셈, 뺄셈, 곱셈에 대하여 닫혀있다.

덧셈의 항등원은 0 이다. 숫자 a의 덧셈에 대한 역원은 –a 이다.(부호가 반대인 수)

4+ (-4) = 0 ... 0은 덧셈의 항등원이고 –4는 4에 대한 덧셈의 역원

다음 표는 두 정수에 대한 연산의 결과가 정수인지 아닌지 나타낸다.

	a + b	a - b	a [eqn: TIMES] b	a [eqn: DIVIDE] b
a=2, b=5	o	o	o	x
a=7, b=2	o	o	o	x

1.3. 유리수(rational number)

정수를 0이 아닌 정수로 나눈 숫자(분수)....*0으로 어떤 수를 나누기는 할 수 없음!!

1/2, 4/8, 10/3, -4/7, ....

* 정수는 2=2/1 과 같이 1로 나눈 값으로 표현되므로 유리수에 포함된다.

1/2=0.5,  1/4=0.25,..(유한소수)

1/3=0.33333.....(순환소수)

유리수는 사칙연산 ([eqn: + ,-, TIMES, divide])에 대하여 닫혀있다.

곱셈의 항등원은 1이다. 숫자 a의 곱셈에 대한 역원은 [eqn: { 1} over {a } = a ^{ -1}] 이다.

[eqn: 4 TIMES { 1} over {4 } =1], 4의 곱셈에 대한 역원은 [eqn: { 1} over {4 }] 이다.

[eqn: { 1} over {4 }]의 곱셈에 대한 역원은 [eqn: (4^-1 )^-1 =4] 이다.

다음 표는 두 유리수에 대한 연산의 결과가 유리수인지 아닌지 나타낸다.

	a + b	a - b	a [eqn: TIMES] b	a [eqn: DIVIDE] b
a=2, b=5	o	o	o	ㅇ
a=7, b=2	o	o	o	ㅇ

3+4=4+3=7  [eqn: 4 TIMES 5 = 5 times 4 =20]  (덧셈과 곱셈은 교환법칙 성립)

[eqn: 4 divide 5 neq 5 divide 4]   [eqn: 4 - 5 neq 5 - 4]    (나눗셈과 뺄셈은 교환법칙 성립하지 않음)

1.4. 실수(real number)

1.4.1. 실수란?

무리수 : 순환하지 않는 무한 소수.

예) 원주율 [eqn: pi] = 3.141592653589793238462643383279...자연대수 [eqn: e]=2.718281...

실수(집합 R)는 유리수와 무리수로 이루어진 수이다.

실수는 연속이므로 임의의 실수를 직선 위에 표시할 수 있다.

a>0

0 (원점)을 기준으로 양수는 오른쪽, 음수는 왼쪽에 표시.

원점에서의 거리가 절댓값이다.

|-4|=4, |4|=4

[eqn: |a|= cases{ a,& a GEQ 0 # -a,& a<0}]

1.4.2. 거듭제곱과 거듭제곱근

제곱: [eqn: 2 times 2 = 2 ^{2 }, ~~ 3 times 3 = 3 ^{ 2}, ...., ~a times a = a ^{ 2}]

[eqn: n] 거듭제곱: [eqn: 2 times 2 times 2 ... times 2= 2 ^{n }, ~~ 3 times 3 times ...times 3= 3 ^{ n}, ~~a times a times ... times a= a ^{ n}]

거듭제곱의 다양한 형태

[eqn: 2 ^{3} TIMES 2 ^{4} =2 TIMES 2 TIMES 2 TIMES 2 TIMES 2 TIMES 2 TIMES 2=2 ^{7}=2^{3+4} ,~~a ^{n} TIMES a ^{m} =a ^{n+m}]

[eqn: a ^{ -2}= { 1} over {2 times 2 },~~2^{ 5} divide 2 ^{ 3}= { 2 times 2 times 2times 2 times 2} over { 2 times 2 times 2}=2 ^{ 5-3}=2 ^{ 2},~~a ^{ n} divide a ^{ m}=a ^{ n-m}]

[eqn: (2 times 3) ^{ 4}=(2 times 3) times (2 times 3) times (2 times 3) times (2 times 3) = 2^4 times 3^4 ,~~ (a times b )^m = a^m times b^m]

[eqn: (3 ^{2}) ^{ 3}=(3 times 3 ) times ( 3 times 3 ) times (3 times 3 )=3 ^{ 2 times 3}=3 ^{ 6},~~(a ^{ n}) ^{ m}=a ^{ n times m}]

제곱근: [eqn: 2 times 2 = 2 ^{2 }=4 , ~ sqrt { 4}=sqrt{2^2}=2,~~3 times 3 = 3 ^{2 }=9 , ~~ sqrt { 9}=3,~~ a times a = a ^{ 2}=b,~~ sqrt { b}=a]

[eqn: (-2) times (-2)=(-2) ^{ 2} =4,~~ sqrt {(-2)^2}=sqrt { 4}=2,]

[eqn: sqrt { a ^{ 2} }= |a|= cases{a ,& a geq 0#-a,~ & a<0}]

[eqn: sqrt { 4}= sqrt 2^2 = (2^2 ) ^{ 1 over 2}=2 ^{ 2 times 1 over2 }=2,~~sqrt{16}=sqrt{2^4}=(2^4 )^{1 over 2}=2^{4 times 1 over 2 }=2^2 =4]

[eqn: sqrt { 8}= sqrt 2^3 = sqrt {2^2 times 2}=(2^2 times 2)^1/2 =2 times 2^1/2 = 2 sqrt 2]

여러 가지 구간

[eqn: [a,b]= LEFT { x in R |~ a leq x leqb RIGHT }~~(a,b)=LEFT { x in R | ~a<x<b RIGHT }~~][eqn: (a,b]=LEFT { x in R |~ a <x leqb RIGHT }~~[a,b)=LEFT { x in R |~ a leq x<b RIGHT }]

2. 일차방정식과 인수분해

일차 방정식 : [eqn: a times x +b =0~~ax+b=0] 을 만족하는 해 [eqn: x]는?

예)

[eqn: 7x=14~~양변에~7을 나누기~~7x divide 7=14 divide 7~~ 7x over 7 = 14 over 7 ~~ x=2]

[eqn: 2x+3=0~~양변에~3을 빼기~~2x+3-3=0-3~~2x=-3~~양변에~2를 나누기~~{2x} over2 = {-3} over 2 ~~x={-3} over 2][eqn: x over 3 +6=0~~양변에~6 빼기~~ x over 3 +6-6= 0-6~~ x over 3 = -6~양변에~3곱하기~3 times x over 3 = 3 times (-6 )~~x= -8]

[eqn: ax+b=0~~양변에~b를빼기~ax+b-b=0-b~~ax=-b~~양변에~a나누기~ {ax} over {a} = {-b} over {a}~~x=- {b} over {a}]

곱셈공식

[eqn: (a+b)^2 = a^2 +2ab+b^2 ~~(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 ~~(a+b)(a-b)=a^2 - b^2][eqn: (x+a)(x+b)=x^2 +(a+b)x + ab ~~(ax+b)(cx+d)=acx^2 + (ad+bc)x+bd]

예)

[eqn: (x+1)^2 = x^2 +2x+1 ~~(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4 ~~(x+3)(x-3)=x^2 - 9]

[eqn: (x+1)(x+2)=x^2 +3x + 2 ~~(2x+1)(x+3)=2x^2 + 7x+3]

인수분해: 복잡한 식을 공통인수로 묶어 곱으로 표현하는 과정

[eqn: ab+ac=a(b+c)~~ab-ac=a(b-c)]

[eqn: a^2 +2ab+b^2 = (a+b)^2 ~~ a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2 ~~a^2 - b^2 =(a+b)(a-b)]

[eqn: x ^{2} +(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)~~acx ^{2}+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)]

예)

[eqn: 7x+9x=(7+9)x=16x~~8x^2 - 2x^2 =(8-2)x^2 =6x^2]

[eqn: x^2 +2x+x = (x+1)^2 ~~ x^2 - 8x + 16 = (x-4)^2 ~~x^2 - 81 =(x+9)(x-9)]

[eqn: x ^{2} +5x+6=(x+2)(x+3)~~6x ^{2}+11x+4=(2x+1)(3x+4)]

3. 함수와 그래프

3.1. 일차 함수와 그래프

직교좌표계: 두 수직선이 한 점에서 교차하는 좌표계

원점 O에서 점 [eqn: P(a,b)]까지의 거리 [eqn: sqrt { a^2 + b^2}]

원점 O에서 점 [eqn: P(3,4)]까지의 거리 [eqn: sqrt { 3^2 + 4^2} = sqrt{9+16}=sqrt{25}=5]

원점 O(0,0)에서 점 A(2,2)까지의 거리

[eqn: bar { OA}= sqrt { 2^2 + 2^2}= sqrt { 8}= sqrt { 2^2 times 2}= sqrt { 2^2} times sqrt { 2}=2 sqrt 2]

*[eqn: P(a,b)]에서 [eqn: Q(c,d)]까지의 거리 [eqn: sqrt { (c-a)^2 + (d-b)^2}]

[eqn: (1,2)]에서 [eqn: (5,7)]까지의 거리 [eqn: sqrt { (5-1)^2 + (7-2)^2}=sqrt{16+25}]

・□축에 대해 대칭: 점□□□ □□에서 □축을 중심으로 □만큼 떨어진 두 점 □□□□ □□와 □□□□ □□□

・□축에 대해 대칭: 점□□□ □□에서 □축을 중심으로 □만큼 떨어진 두 점 □□□□ □□와 □□□□□ □□

・원점 □에 대해 대칭: 두 점 □□□□ □□와 □□□□□ □□□

일차함수:  [eqn: y=f(x)=ax + b] 와 같이 [eqn: y]가 [eqn: x]의 일차식으로 표현된 함수

([eqn: x], [eqn: y] 는 변수,  [eqn: a], [eqn: b]는 상수)

예)

[eqn: y=2x] (2: 기울기)                         [eqn: y=2x+1] (1: [eqn: y] 절편)

[eqn: x]	-2	-1	0	1	2
[eqn: y]	-4	-2	0	2	4

[eqn: x]	-2	-1	0	1	2
[eqn: y]	-3	-1	1	3	5

[eqn: y=-2x]의 그래프는?  [eqn: y=-2x+1]의 그래프는?

[eqn: y=ax + b]       [eqn: a]: 기울기    [eqn: b]: [eqn: y] 절편

[eqn: ax + b=0~~ax+b-b=0-b~~ax=-b~~{1} over {a} ax= 1 over a (-b) ~~x=- b over a]

[eqn: y< 2x+1] 인 영역은? 그래프로 표현하시오.

[eqn: y> 2x+1] 인 영역은? 그래프로 표현하시오.

3.2. 이차함수와 그래프

이차함수: [eqn: y=f(x)=ax^2 + bx + c] 와 같이 [eqn: y]가 [eqn: x]의 이차식으로 표현된 함수

예)

[eqn: y=0.5x^2]                                   [eqn: y=-0.5x ^{2}]

[eqn: x]	-4	-2	-1	0	1	2	4
[eqn: y]	8	2	0.5	0	0.5	2	8

[eqn: x]	-4	-2	-1	0	1	2	4
[eqn: y]	-8	-2	-0.5	0	-0.5	-2	-8

[eqn: y>0.5x^2] 인 영역은? [eqn: y<0.5x^2] 인 영역은?

[eqn: y=f(x)=ax ^{2} +bx+c = a (x-p)^2 +q] 의 그래프..[eqn: x=p]일 때 [eqn: y]는 최소(대)값을 가짐

[eqn: n]차 다항식: [eqn: y=f(x)=a_0 x ^n + a_1 x^n-1 + a_2 x^n-2 + ...+ a_n-1 x + a_n]

(단,[eqn: a_0 neq 0, a_1 , a_2 , ...,a_n]은 상수)

4. 지수함수와 로그함수

4.1. 지수함수

지수함수 [eqn: y=f(x)=a^x , (a neq 1)].....[eqn: a^0 = 1]

예)

[eqn: y=2^x]

[eqn: x]	-3	-2	-1	0	1	2	3
[eqn: y]	0.125	0.25	0.5	1	2	4	8

[eqn: y=( { 1} over {2 }) ^x =( 2^-1 ) ^x =2^-x]

[eqn: x]	-3	-2	-1	0	1	2	3
[eqn: y]	8	4	2	1	0.5	0.25	0.125

4.2. 로그함수

양수 [eqn: a]([eqn: a neq 1])와 [eqn: b]에 대하여 [eqn: b=a^x]를 만족할 때 [eqn: x=log_a b]로 나타낸다. ([eqn: a]: 밑수)

[eqn: b=a^x ~LRARROW~ x=log_a b]

[eqn: 1=a^0 ~LRARROW~ 0=log_a 1]

[eqn: a=a^1 ~LRARROW~ 1=log_a a]

[eqn: 1 over a =a^-1 ~LRARROW~ -1=log_a {1 over a}]

예)

[eqn: 100=10^2 ~LRARROW~ 2=log_10 100]      [eqn: 16=4^2 ~LRARROW~ 2=log_4 16]     [eqn: 1 over 16 =4^-2 ~LRARROW~ -2=log_4 1 over 16]

[eqn: log_10 1000 = 3]  [eqn: log_2 2 = 1]  [eqn: log_2 4 = 2]   [eqn: log_0.2 (2^3 times 10^-3 ) = 3]     [eqn: log_0.2 (2^4 times 10^-4 ) = 4]

[eqn: log_a MN = log_a M + log_a N]          [eqn: log_a {M over N} = log_a M - log_a N]          [eqn: log_a x^m = m log_a x]

[eqn: a^x = M~(x=log_a M),~ ~a^y =N~(y=log_a N)]이라 하자.

[eqn: MN=a^x a^y = a^{x+y}~ LRARROW~log_a MN = x+y=log_a M + log_a N]이므로 [eqn: log_a MN = log_a M + log_a N]

[eqn: a^-y = (a^y )^-1 = 1 over N]이고

[eqn: M over N =a^x a^-y = a^{x-y}~ LRARROW~log_a M over N = x-y=log_a M - log_a N]이므로 [eqn: log_a M over N = log_a M - log_a N]

5. 함수의 극한과 연속

극한(limit)

함수 [eqn: f(x)]에서 [eqn: x]가 [eqn: a]에 한없이 가까워질 때 [eqn: f(x)]가 일정한 값 [eqn: L]에 한없이 가까워지면

[eqn: lim _{ x-> a} {f(x) } = L]  : [eqn: x]가 [eqn: a]에 가까워질 때 [eqn: f(x)]는 [eqn: L]에 수렴!

예)

[eqn: lim _{ x-> 0} {(x+1 )} = 1~~lim _{ x-> 1}{(x^2 +1)=2~~lim _{ x-> 1} {(2x^2 + x+1 )} = 4]

좌극한 우극한

우극한: 함수 [eqn: f(x)]에서 [eqn: x]가 [eqn: a]보다 큰 값을 가지면서 [eqn: a]에 한없이 가까워질 때

좌극한: 함수 [eqn: f(x)]에서 [eqn: x]가 [eqn: a]보다 작은 값을 가지면서 [eqn: a]에 한없이 가까워질 때

[eqn: f(x)= cases{ -x,~&x<1 #0,&x=1#x, &x>1 }]    [eqn: g(x)= cases{ -1,~&x<0 #0,&x=0#1 &x>1 }]

[eqn: 우극한~~lim _{ x->1+ } { f(x)} =1]   [eqn: 우극한~~lim _{ x->0+ } { g(x)} =1]

[eqn: 좌극한~~lim _{ x->1^- } { f(x)} =-1]  [eqn: 좌극한~~lim _{ x->0- } { g(x)} =-1]

극한의 성질

[eqn: lim _{ x->a} {f(x) }와 ~lim _{ x->a} {g(x) }]가 존재한다면 상수 [eqn: k]에 대하여 다음이 성립한다.

[eqn: lim _{ x->a} {kf(x) }=k ~lim _{ x->a} {f(x) }]

[eqn: lim _{ x->a} {[f(x) +- g(x)] }=lim _{ x->a} {f(x) } +- lim _{ x->a} {g(x) }]

[eqn: lim _{x -> a} {[f(x) BULLET g(x)]} = lim _{x -> a} {f(x)} BULLET lim _{x -> a} {g(x)}]

연속

함수 [eqn: f(x)]가 실수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: lim _{ x->a^- } {f(x) }=lim _{ x->a^+ } {f(x) }=f(a)]이면 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=a] 에서 연속(continuous)이라고 한다. 특히, 함수 [eqn: f(x)]가 실수 전체의 집합에서 연속이면, [eqn: f(x)]를 연속함수라고 한다.

다시 말해서 어떤 점에서 좌극한, 우극한, 함숫값이 모두 존재하면서 값이 같으면 연속이라는 뜻이다.

위 그림에서 보는 바와 같이 [eqn: f(x)= cases{ x,~&x>1 #0,&x=1#-x &x<1 }]는 불연속 함수이다.

[eqn: y=2x], [eqn: y=-0.5x ^{2}], [eqn: y=2^x], [eqn: y=log_2 x] 등은 연속함수이다. 그래프를 그려볼 것!

극한값 □ (자연대수) : □ □ □에서 함수 [eqn: f(x)=(1+x)^{1 over x}]의 극한값

[eqn: lim _{ x->0 } { (1+x)^{1 over x}} = e]

[eqn: lim _{ t->inf } { (1+ 1 over t )^{t}} = e]

[eqn: log_e e = ln {e}=1~~log_e 1 = ln 1 =0]

II. 미분과 적분

6. 미분

평균변화율

그래프 위의 두 점 [eqn: P(a,f(a))]와 [eqn: Q(b,f(b))]를 지나는 직선의 기울기

[eqn: {Delta y} over {Delta x} = {f(b)-f(a)} over {b-a}]

[eqn: x의 ~증가량: Delta x = b-a] [eqn: y의 ~증가량: Delta y =f(b)-f(a)]

순간변화율(미분계수)

[eqn: b rarrow a (Delta x rarrow 0)일~때]평균변화율의 극한...[eqn: x=a]에서의 순간변화율 혹은 미분계수라고 한다.

[eqn: f'(a)= lim _{ Delta x->0 } { {Delta y} over {Delta x}} = lim _{ b->a}{{f(b)-f(a)} over {b-a}}=lim _{ Delta x->0 } { {f(a+Delta x)-f(a)} over {Delta x}}=lim _{ h->0 } { {f(a+h)-f(a)} over {h}}]

예)

[eqn: y=f(x)=x^2]의 [eqn: x=1]에서 미분계수는?

[eqn: f'(1) = lim _{ h->0 } {{(1+h)^2 -1^2} over h } = lim _{ h->0 } {{1^2 +2h+h^2 -1^2} over h } =lim _{ h->0 } {{2h+h^2} over h }}=lim _{ h->0 } {(2+h)} = 2]

[eqn: f'(a)]가 존재할 때 [eqn: f(x)는 ~x=a에서~미분가능하다.]

[eqn: f'(a)]는 그래프 [eqn: P(a,f(a))]에서 접선의 기울기이다.

좌미분계수: [eqn: f_{-}'(a)= lim _{ h->0^- } { {f(a+h)-f(a)} over {h}}]

우미분계수: [eqn: f_{+}'(a)= lim _{ h->0^+ } { {f(a+h)-f(a)} over {h}}]

미분가능: [eqn: f_{-}'(a)=f_{+}'(a)]

*뾰족한 점(첨점)이 있거나, 불연속인 점에서 미분계수는 존재하지 않는다(미분 불가능).

도함수

[eqn: y=f(x)]로 주어진 함수에서 [eqn: f'(x) (= y'= dy over dx = df over dx )]를 도함수라 한다.

[eqn: f'(x)}= lim _{ h->0 } { {f(x+h)-f(x)} over {h}}]

도함수를 구하는 것을 미분한다고 한다.

예)

[eqn: y=f(x)=2x]의 도함수: [eqn: y'= dy over dx = lim _{ h->0 } {{2(x+h)-2x} over h } = lim _{ h->0 } {{2x+2h-2x} over h } =lim _{ h->0 } {{2h} over h }}=2]

[eqn: y=f(x)=x^2]의 도함수:

[eqn: f'(x) = lim _{ h->0 } {{(x+h)^2 -x^2} over h } = lim _{ h->0 } {{x^2 +2hx+h^2 -x^2} over h } =lim _{ h->0 } {{2hx+h^2} over h }}=lim _{ h->0 } {(2x+h)} = 2x]

미분법: 도함수를 구하는 방법

[eqn: f(x)=x^n ~f'(x)=nx^n-1]

예)

[eqn: f(x)=x^2 , ~f'(x)=2x]  [eqn: f(x)=x, ~f'(x)=1]  [eqn: f(x)=x^-1 = 1 over x , ~f'(x)=-x^-2 = -1 over x^2]

미분공식

[eqn: f(x)와~g(x)가~x에~ 대하여 ~미분가능하면] 다음이 성립한다. ([eqn: k]는 상수)

[eqn: d over dx [kf(x)]=k d over dx f(x)=kf'(x)]

[eqn: d over dx [f(x) +- g(x) ]= df(x) over dx +- dg(x) over dx = f'(x) +- g'(x)]

[eqn: d over dx [f(x) g(x) ]= f'(x)g(x)+f(x)g'(x)]

[eqn: d over dx [ f(x) over g(x) ]= { f'(x)g(x)-f(x)g'(x) } over {g^2 (x)} ~( 단, g(x) neq 0 )]

예)

[eqn: (2x)'=2~~(6)'=0]  [eqn: (2x^3 )' =2 times 3 x^2 = 6x^2]

[eqn: (3x^2 + 2x +5)' = 3 times 2x + 2 = 6x+2]

[eqn: d over dx [(x+1)(2x+3)]=(x+1)'(2x+3)+(x+1)(2x+3)'=(2x+3)+(x+1)times 2=2x+3+2x+2=4x+3]

[eqn: d over dx [ {2x+3} over {x+1}]={(2x+3)'(x+1)-(2x+3)(x+1)'} over {(x+1)^2} = {2(x+1)-(2x+3)} over {(x+1)^2} = -1 over (x+1)^2]

지수함수와 로그함수의 미분

[eqn: d over dx e^x = e^x ~~ d over dx e^ax = a e^ax]     예) [eqn: d over dx e^-x =-e^-x ~~ d over dx e^2x = 2 e^2x]

[eqn: d over dx ln (x)= 1 over x]

함수의 증감 판정법

[eqn: f(x)]가 [eqn: x=a]에서 미분 가능할 때 증감 상태는 다음과 같다.

(1) [eqn: f'(a) >0] 이면 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=a]에서 증가한다.

(2) [eqn: f'(a) <0] 이면 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=a]에서 감소한다.

2계 도함수

[eqn: f(x)가~x에~ 대하여 ~미분가능하면] [eqn: f''(x) (= y''= {d^2 y} over dx^2 = {d^2 f}over dx^2 )]을 2계 도함수라 한다.

예)

[eqn: y=3x^2 + 2x +5]

[eqn: y prime =3 TIMES 2x + 2=6x+2]   [eqn: y'' = 6]

[eqn: y= e^2x ~~y'=2e^2x ~~ y''=2 times 2e^2x =4e^2x]

[eqn: y=ln x ~~ y'= 1 over x = x^-1 ~~ y''=-x^-2]

연쇄법칙

[eqn: y=(x+2)^2 = x^2 +4x+4~~y'=2x+4]

[eqn: y=(x+2)^100 ~~y'= dy over dx =?]

[eqn: u=x+2~~~y=u ^{100} ~~dy over du =100u^99 ~~ {du} over {dx} =1~~ {dy} over {dx} = {dy} over {du} {du} over {dx} =100u ^{99} TIMES 1=100(x+2) ^{99}]

계산그래프

[eqn: dy over dx = dy over du du over dx]를 연쇄법칙이라 한다.

[eqn: y=1+e^-x ~~ dy over dx = -e^-x]

[eqn: y= {1} over {1+e ^{-x}} ~~u=1+e ^{-x} ~~y=u ^{-1} ~~ {dy} over {du} =-u ^{-2} ~~ {du} over {dx} =-e ^{-x~~}][eqn: dy over dx = dy over du du over dx =(-u^-2 )(-e^-x ) = e^-x overu^2 = {e^-x } over {(1+e^-x )^2 } = y^2 e^-x]

계산그래프

편미분

변수가 [eqn: x,~y] 두 개로 주어진 함수 [eqn: z=f(x,y)]가 주어졌다고 하자.

예)

[eqn: z=f(x,y)=x^2 + xy + y^2 +2]

이 경우 함수 [eqn: z=f(x,y)]를 [eqn: x]에 대하여 편미분 한다는 것은 [eqn: y]는 상수로 보고 함수 [eqn: z=f(x,y)]를 미분한다는 것이다. 이때 편미분 기호는 [eqn: {partial z} over {partial x}] 혹은 [eqn: {partial f} over {partial x}]로 나타낸다.

[eqn: {partial z} over {partial x} = 2x+y ~~( BECAUSE ~ {partial x^2} over {partial x} = 2x ~~{partial xy} over {partial x}=y )~~참조~ d over dx (ax)=a~~ d over dx (x^n )=nx^n-1]

역시 함수 [eqn: z=f(x,y)]를 [eqn: y]에 대하여 편미분 한다는 것은 [eqn: x]는 상수로 보고 미분하는 것이다.

[eqn: {partial z} over {partial y} = x+2y ~~( BECAUSE ~ {partial y^2} over {partial y} = 2y ~~{partial xy} over {partialy}=x )]

예)

[eqn: z=f(x,y)=x^3 +2x^2 + 3x +y^2 +6y~~{partial z}over{partial x}=3x^2 + 4x+3~~{partial z} over {partial y} =2y+6]

이제 변수의 숫자를 늘려서 편미분의 몇 가지 예를 살펴보자.

[eqn: z=w_1 x_1 + w_2 x_2 + w_3 x_3~~~{partial z} over {partial x_1}=w_1~~{partial z} over {partial x_2}=w_2~~{partial z} over {partial x_3}=w_3~{partial z} over {partial w_1}=x_1~~{partial z} over {partial w_2}=x_2~~{partial z} over {partial w_3}=x_3]

[eqn: z=w_1 x_1^2 + w_2 x_2 ^2 + w_3 x_3^2 ~~~{partial z} over {partial x_1}=2w_1 x_1~~{partial z} over {partial x_2}=2w_2 x_2~~{partial z} over {partial x_3}=2w_3 x_3~{partial z} over {partial w_1}=x_1^2~~{partial z} over {partial w_2}=x_2^2~~{partial z} over {partial w_3}=x_3^2]

7. 적분

적분(積分, 영어: integral): 정의된 함수의 그래프와 그 구간으로 둘러싸인 도형의 넓이

예) 함수 [eqn: f(x)=1]을 구간 [eqn: [0,2]]에 대하여 적분을 하는 것을 기호로 나타내면

[eqn: int _{ 0} ^{ 2} {f(x) }dx]

적분기호는 integral 이라고 읽고, 0과 2는 적분 구간, [eqn: dx]는 적분대상인 함수 [eqn: f(x)]를 [eqn: x]에 대하여 적분한다는 것을 나타냄

물론 위의 적분 결과는 높이가 1이고 밑변 너비가 2인 사각형의 면적 [eqn: 2 times 1 = 2] 임

적분 구간이 있으면 정적분이라고 한다.

적분은 미분의 역연산으로 이해하면 미분과 적분의 공식을 같이 연계하여 다루기 쉽다.

기본적인 미분공식을 적분공식과 연계하여 정리하면 다음과 같다.

[eqn: {d} over {dx} (x)=1 <-> int _{} ^{} {1} dx=x+C~~ {d} over {dx} x ^{2} =2x <-> int _{} ^{} {2x} dx=x ^{2} +C~~][eqn: d over dx e^ax =ae^ax lrarrow int{ae^ax dx = e^ax +C~~ d over dx ln (x)= 1 over x lrarrow int{1 over x}=ln(x)+C]

여기서 [eqn: C]는 적분상수, 적분상수 [eqn: C]의 미분은 0

*인공지능의 알고리즘을 이해할 때, 미분의 개념이 중요하며 적분은 많이 필요하지 않으므로 이 정도의 적분 지식만 있어도 충분하다고 여겨진다.

위의 적분 공식들을 하나의 수식으로 정리한다면

[eqn: {d} over {dx} F(x)=f(x) lrarrow int {f(x)}dx=F(x)+C~~(int {{d} over {dx} F(x)}dx = F(x))]

즉, [eqn: F(x) matrix { 미분#rarrow#larrow#적분 } f(x)] 이다.

III. 선형대수: 행렬과 벡터

8. 행렬

8.1. 행렬과 행렬의 연산

8.2. 특수행렬

8.3. 행렬식과 역행렬

* 역행렬을 구하는 방법은 numpy를 이용하여 프로그램으로 해결...

* 수학적 역행렬 연산은 이 과목 범위 밖...

9. 벡터

9.1 벡터의 개념과 연산

- 압력, 속력(speed), 물체의 질량, 전자의 전하, 물의 비열, 저항기의 저항, 원의 지름, 삼각형의 면적, 육면체의 체적(부피) 등과 같은 물리적 양(quantity)은 주어진 양의 크기(magnitude)인 실수로 표시할 수 있다. 이때 실수 값을 스칼라(scalar)라고 한다.

- 압력, 속력(speed), 물체의 질량, 전자의 전하, 물의 비열, 저항기의 저항, 원의 지름, 삼각형의 면적, 육면체의 체적(부피) 등과 같은 물리적 양(quantity)은 주어진 양의 크기(magnitude)인 실수로 표시할 수 있다. 이때 실수 값을 스칼라(scalar)라고 한다.

- 속도(velocity), 힘(force) 그리고 가속도(acceleration) 등은 그들의 크기뿐만 아니라 방향까지도 포함한다. 이러한 것들을 벡터(vector)라고 한다.

벡터의 시점과 종점의 위치에 관계없이 크기와 방향만을생각할 때 이것을 기하벡터 (geometric vector) 라고 부르며 𝑢=𝑣로 나타낸다.

벡터는 좌표로도 나타낼 수 있는데, 가령 3차원 공간에서 원점 (0, 0, 0)으로부터 좌표상의 위치 (𝑥,𝑦,𝑧) 까지 향하는 벡터를 위치벡터(position vector)라고 부른다.

행 벡터와 열 벡터

9.2 벡터공간과 선형독립

벡터 공간

벡터의 합과 스칼라 곱의 연산이 정의되는 벡터들로 이루어진 집합 V에서 아래 두 가지 성질을 만족할 때 V를 벡터공간이라 한다.

9.3 벡터의 내적