제 9 장 교류정상상태해석

* 차례

9.1 회로의 단순화

9.2 마디해석법

9.3 망로해석법

9.4 상이한 주파수의 전원

9.5 페이저도

9.6 SPICE와 교류정상상태

9.1 회로의 단순화

* 저항회로를 단순화하기 위한 몇가지 유용한 방법

: 옴의 법칙과 키르히호프의 법칙(KCL, KVL)으로부터 유도.

1) 저항과 전원에 대한 직-병렬 등가회로.

2) 전류-전압 분배.

3) 테브냉-노튼 등가회로.

* ac 정상상태회로에서, 원래의 회로는 페이저 회로로 대치.

[eqn: cases{rm"Sinusoidal sources "->~"phasor sources" ## ``RLC ~rm"elements "->~"impedances "it Z}`]

[eqn: HOOKRIGHT] 옴의 법칙과 키르히호프의 법칙을 페이저 회로에 적용.

[eqn: cdot]옴의 법칙 :

[eqn: {rmbold V}{=Z rmbold I}`]

[eqn: cdot]전압 및 전류 분배 :

1) 직렬 페이저 회로에서의 전압분배법칙 : 그림 9.1(a)

- By KVL,

[eqn: {rmbold V} &{=rmboldV}_1 {+rmboldV}_2 + cdots {+rmboldV}_n={Z_1 rmboldI} {+ Z_2 rmbold I} + cdots {+ Z_n rmbold I} ##&~{=(Z_1 + Z_2 + cdots + Z_n ) rmbold I} ={Z rmboldI}]

- 여기서

[eqn: {rmbold I}= {rmboldV} over {Z_1 + Z_2 + cdots + Z_n } = {rmbold V} over {``Z}`]

- 따라서,

[eqn: {rmboldV}_i ={Z_i cdot rmboldI} = Z_i cdot {rmboldV} over Z ={Z_i over {Z_1 + Z_2 + cdots + Z_n} rmbold V}`]

- 두 임피던스 [eqn: Z_i`]와 [eqn: Z_j`]에 걸리는 전압강하 비교,

[eqn: {rmbold V}_i over {rmboldV}_j = Z_i over Z_j`]

직렬 임피던스에 걸리는 전압은 그 임피던스에 정비례하여 분배된다.

2) 병렬 페이저 회로에서의 전류분배법칙 : 그림 9.1(b)

- By KCL,

[eqn: {rmbold I} &{=rmboldI}_1 {+rmboldI}_2 + cdots {+rmboldI}_n {=Y_1 rmboldV} {+ Y_2 rmbold V} + cdots {+ Y_n rmbold V} ##&``{=(Y_1 + Y_2 + cdots + Y_n `) rmbold V} {=Y rmboldV}`]

- 여기서

[eqn: {rmbold V}= {rmboldI} over {Y_1 + Y_2 + cdots + Y_n } = {rmbold I} over {``Y}`]

- 따라서,

[eqn: {rmboldI}_i ={Y_i cdot rmboldV} = Y_i cdot {rmboldI} over Y ={Y_i over {Y_1 + Y_2 + cdots + Y_n} rmbold I}`]

- 두 병렬 전류의 비교,

[eqn: {rmbold I}_i over {rmbold I}_j = Y_i over Y_j`]

병렬 임피던스를 통해 흐르는 전류는 그 임피던스에 정비례하여 분배된다.

예제 9.1) 다음 그림 9.2의 페이저 회로에서 V1과 I2를 구하라.

<해>

1) 전압분배법칙에 의한[eqn: {rmboldV}_1]

[eqn: cdot]3-병렬소자의 어드미턴스 :

[eqn: Y= 1 over {j`10} + 1 over {-j`5} + 1 over 4 = -j 1 over 10 + j 1 over 5 + 1 over 4 = 1 over 4 + j 1 over 10 rm[S]]

[eqn: cdot]등가 임피던스 :

[eqn: Z &= 1 over Y = 1 over { 1 over 4 + j 1 over 10} = 20 over {5+j``2}= {20(5-j``2)} over {5^2 +2^2}={100-j`40} over 29` ###&= 3.45-j `1.38 ``rm[Omega]]

[eqn: THEREFORE ~{rmboldV}_1 &= 2 over {2+(-j`3)+Z} (3 rm angle 45^o ) = it 2 over {2-j``3+[3.45-j``1.38]} (rm 3 angle 45^o ) ##&= 2 over {5.45-j`4.38} (3 rm angle 45^o ) =(0.286 rm angle 38.8^o )(3 angle 45^o ) ##&=under{0.858 rm angle 83.8^o}``rm[V]]

2) 전류분배법칙에 의한[eqn: {rmboldI}_2`] :

[eqn: cdot]병렬조합으로 흘러들어가는 전류 :

[eqn: {rmboldI} {=rmboldV}_1 /2 = rm 0.429 angle 83.8^o``rm[A]]

[eqn: THEREFORE ~{rmboldI}_2 &= {1 over {-j`5}} over { 1 over {j`10} + 1 over {-j`5} + 1 over 4} cdot {rmboldI} = {j 1 over 5} over { 1 over 4 +j left( 1 over 5 - 1 over 10 right)}cdot {rmboldI}` ##&={j 1 over 5} over { 1 over 4 + j 1 over 10} cdot {rmboldI} =rm (0.743 angle 68.2^o )(0.429 angle 83.8^o ) ###&= under{0.319 rm angle 152^o}`` rm [A]]

* 전원의 직렬 및 병렬 등가회로 : 그림 9.3

* 페이저 회로에서 테브냉 및 노튼 등가회로는 저항[eqn: R`]을 임피던스[eqn: Z`]로 대치하고 복소수 연산을 하여 구한다.

[eqn: cdot]만약 회로들 사이에 다음 관계가 성립하면 테브냉 및 노튼 형식은 등가이다.

: 그림 9.4;

[eqn: (a) ~Z_T =Z_N``]

[eqn: {(b) rmboldV}_T {=Z_N rmbold I}_N`]

[eqn: cdot]만약 다음 관계가 만족되면, 다음 회로 A는 테브냉 및 노튼 형식과 등가이다.

그림 9.5;

[eqn: (a) {rmboldV}_T {=rmboldV}_oc`]

[eqn: (b) {rmboldI}_N {=rmboldI}_sc`]

[eqn: (c)~``Z_T =Z_N {=rmboldV}_oc {/rmboldI}_sc`]

예제 9.2) 다음 그림 9.6 (a)의 회로에서 저항 R에 진폭 [eqn: 1``rm[A]]의 정현파(sinusoidal) 전류가 흐르도록 R의 값을 구하라.

<해>

[eqn: cdot][eqn: R`]을 제외한 부회로의 테브냉 등가회로 : 그림 9.6 (b),

[eqn: cdot]마디 ①과 ② 사이의 개방회로전압 :

- [eqn: omega=4`] 이므로,

[eqn: {rmboldV}_oc &= {j omega L_1} over {j omegaL_1 + 1 over {j omega C}} cdot {rmboldV} = {j cdot 4 cdot 1} over { j cdot 4 cdot 1 + 1 over {j cdot 4 cdot 1/8}} cdot {rmboldV}` ##&= {j``4} over {j``4-j``2} times 10 rm angle 17^o =20 rm angle 17^o ``rm[V]]

[eqn: cdot][eqn: Z_T``]의 계산

1) [eqn: Z_T {=rmboldV}_oc {/rmboldI}_sc`] (여기서 Isc는 마디 ①과 ②를 단락하여 구한다.)

- [eqn: 1rm[H]]와 [eqn: 1 over 2 rm[H]]의 병렬 등가 :

[eqn: L = {L_1 cdot L_2} over {L_1 + L_2} ={1 cdot 1 over 2} over { 1 + 1 over 2}= 1 over 3 rm[H]]  [eqn: ->]  [eqn: Z_L = j omega L =j 4 over 3 ``[Omega]]

[eqn: HOOKRIGHT] 등가 인덕터에 걸리는 전압 :

[eqn: {rmboldV}_L &= {j omega L} over {j omega L + 1 over {j omega C}} {rmboldV}={j ``4/3} over {j``4/3 -j``2} times 10 rm angle 17^o` ##&=20 angle -163^o ``rm[V]]

- [eqn: L_2`]를 통해 흐르는 전류,[eqn: {rmboldI}_sc`] :

[eqn: {rmboldI}_sc = {rmboldV}_L over {j omega L_2} ={rmboldV}_L over {j(4)(1/2)} = {20 rm angle -163^o} over {2 rm angle 90^o} =10 rm angle 107^o ~[A]]

- 따라서, 테브냉 등가 임피던스 :

[eqn: Z_T = {rmboldV}_oc over {rmboldI}_sc = {20 rm angle 17^o} over {10 rm angle 107^o} =2 rm angle -90^o =it -j``2 ~[Omega]]

2) [eqn: Z_T``] (by 전압원 제거)

[eqn: Z_T &= j omega L_2 + {j omega L_1 cdot 1 /{j omega C}} over {j omega L_1 + 1 over {j omega C}} ##&=j``4 cdot 1 over 2 + {(j``4 cdot 1) cdot 1 over {j``4 cdot (1/8)}} over {j``4 cdot 1 + 1 over {j``4 cdot (1/8)}} = -j``2 ~[Omega]]

[eqn: cdot]따라서, [eqn: R``]을 통해 흐르는 전류 :

[eqn: {rmboldI}_R = {rmboldV}_oc over {R+Z_T} ={20 rm angle 17^o} over {R-j``2}`]  [eqn: ->]  [eqn: {|rm bold I}_R `|= 20 over root{R^2 +4`}]

[eqn: cdot][eqn: {|rmboldI}_R `|=1``rm[A]]에 대한 [eqn: R``]의 값.

[eqn: 20 over root{R^2 +4} =1`]  [eqn: ->]  [eqn: under{R=6 root{11}~[Omega]}]

9.2 마디해석법

* ac 회로에서의 전압-전류 관계식 :

[eqn: {rmboldV} {=Z rmboldI}]

[eqn: HOOKRIGHT] 여기량과 응답은 복소수이다.

* 페이저 회로도 마디해석법과 망로해석법으로 해석.

예제 9.3) 다음 그림 9.7의 회로에서 페이저 기법으로 마디해석법을 사용하여 ac 정상상태전압 [eqn: v_1`]과 [eqn: v_2`]를 구하라.

<해>

[eqn: cdot][eqn: omega=2 ``rm[rad/s]]에 대한 페이저 회로 : 그림 9.8 (a) ;

[eqn: DOWNARROW]

[eqn: cases{Z_1 =(j`1 Omega) `//left(-j` 1 over 2 Omega right) = {j`1 cdot left( -j 1 over 2 right)} over {j`1 + left(-j` 1 over 2 right)} = {1 over 2} over {j` 1 over 2} =-j`1``[Omega] ## Z_2 = left(j` 1 over 2 Omega right)`//(1 Omega)={1 cdot j 1 over 2} over {1+j 1 over 2} = {j`1} over {2+j`1} = {j`1(2-j`1)} over 5 = {1+j`2} over 5 ``[Omega]}]

[eqn: DOWNARROW]

그림 9.8 (b);

[eqn: cdot]마디방정식 :

[eqn: cases{{2(rmboldV}_1 -5 rm angle 0^o ) + {rmboldV}_1 over {-j``1} + {{rmboldV}_1 {- rmbold V}_2} over {-j``1} =0` ## {{rmboldV}_2 {-rmboldV}_1} over {-j``1} + {rmboldV}_2 over {(1+j``2)/5} =5 rm angle 0^o`}]

[eqn: HOOKRIGHT] [eqn: cases{{(2+j``2) rmboldV}_1 {-j``1 rmboldV}_2 =10` ## {-j``1 rmboldV}_1 + {(1-j``1) rmboldV}_2 =5`}]

[eqn: cdot]By Cramer's rule,

[eqn: TRIANGLE = dmatrix{2+j``2 & -j``1 ## -j``1 & 1-j``1}=5`]

[eqn: THEREFORE ~~cases{#{rmboldV}_1 = dmatrix{ 10 & -j``1 # 5 & 1-j``1} over TRIANGLE = {10-j``5} over 5 = 2-j``1 = root{5} rm angle -26.6^o ``rm[V] ## {rmboldV}_2 = dmatrix{2+j``2 & 10 # -j``1 & 5} over TRIANGLE = {10+j``20} over 5 = 2+j``4 = 2 root{5} rm angle 63.4^o``rm[V]}]

[eqn: cdot]시간 영역의 해 :

[eqn: cases{v_1 = root{5} cos(2t-rm26.6^o )``rm[V] ## v_2 = 2 root{5} cos(2t +rm63.4^o )``rm[V]}]

예제 9.4) 종속전원을 갖는 다음 그림 9.9의 회로에서 마디해석법에 의해 전류 [eqn: i``]를 구하라.

<해>

[eqn: cdot]페이저 회로 :

- 직렬/병렬 조합에 의해,

[eqn: cases{Z_1 &= (2 k Omega)//left(1 over 5 mu F right) ={2 times 10^3 cdot 1 over {j`5 times 10^3 cdot (1/5) times 10^-6}} over {2 times 10^3 + 1 over {j`5 times 10^3 cdot (1/5) times 10^-6}}` ##&= {2 times 10^3 (-j`10^3 )} over {2 times 10^3 -j`10^3}= {(-j`2) times 10^3} over {2-j`1} = {(-j`2)(2+j`1)} over 5 times 10^3` ##&= 2 over 5 (1-j`2) times 10^3 rm[Omega]}]

[eqn: cases{Z_2 &= (2 k Omega)``□` left(1 over 5 rm mu F right)= it 2 times 10^3 + 1 over {j`5 times 10^3 cdot (1/5) times 10^-6}` ##&= 2 times 10^3 -j`10^3` =(2-j`1) times 10^3``[Omega]}]

그림 9.10;

[eqn: cdot]가상마디(supernode)에 KCL 적용,

[eqn: {{rmboldV}-4} over {``1 over 2 times 10^3} + {rmboldV} over {2 over 5 (1-j``2) times 10^3} + {{rmboldV} + {3000 rmboldI}} over {(2-j``1) times 10^3 }=0 ~cdots~(1)]

[eqn: cdot]페이저 회로로 부터,

[eqn: {rmboldI}= {4-{rmboldV}} over {1 over 2 times 10^3}~~->~~{rmboldV}=4- 1 over 2 times 10^3 cdot {rmboldI}~cdots~(2)]

[eqn: cdot]식(2)를 식(1)에 대입하고 [eqn: rmboldI`]에 대해 풀면,

[eqn: {rmboldI}=24 times 10^-3 rm angle53.1^o ~[A] =24 angle 53.1^o ~[mA]]

[eqn: THEREFORE ~~under{i(t)=24 cos(5000t+rm 53.1^o )~rm[mA]}]

예제 9.5) 다음 그림 9.11의 회로에서 마디해석법에 의해 [eqn: v_g =V_m cos omega t`] 에 대         한 강제응답 [eqn: v`]를 구하라.

<해>

[eqn: cdot]Op-amp[eqn: +]두 개의 [eqn: 2 `rm K Omega`] 저항[eqn: =] 이득이 [eqn: 1+ 2000 over 2000 =2`]인 비반전증폭기.

따라서, [eqn: v=2 v_2`], 또는 [eqn: v_2 =v/2`].

[eqn: cdot]페이저 회로 : 그림 9. 12;

[eqn: cdot][eqn: {rmboldV}_1`] 과[eqn: {rmboldV}/2`]로 표기된 마디에서의 마디방정식,

[eqn: cases{{{rmboldV}_1 -V_m rm angle 0^o} over {``(1/root{2}) times 10^3} + {{rmboldV}_1 -{(rmboldV}/2)} over {root{2} times 10^3} + {{rmboldV}_1 {-rmboldV}} over {-j 10^6 /omega}=0 ~cdots~(1) ## {{(rmboldV}/2) {-rmboldV}_1} over {root{2} times 10^3} + {{rmboldV}/2} over {-j 10^6 /omega}=0 ~cdots~(2)#}]

[eqn: cdot]식(2)에서[eqn: {rmboldV}_1`]에 대해 풀고 식(1)에 대입하여[eqn: {rmboldV}`]에 대해 풀면,

[eqn: {rmboldV} &= {2V_m} over {[1-(omega^2 /10^6 `)]+j`(root{2} omega/10^3 `)} ##&= {2V_m angle theta} over {root{1+(omega/1000)^4}}]

여기서,

[eqn: theta=-tan^-1 ``left[ {root2 omega/1000} over {1-(omega/1000)^2} right]]

[eqn: cdot]시간 영역에서,

[eqn: v= 2V_m over {root{1+(omega/1000)^4}} cos(omegat+theta)`]

9.3 망로해석법

예제 9.6) 위 그림 9.7의 회로에서 망로해석법을 사용하여 마디전압 [eqn: v_1`]을 구하라.

<해>

[eqn: cdot]페이저 회로 :

- 병렬 조합에 의해,

[eqn: cases{Z_1 = 1 over 2 rm[H] // 1 rm[F] it = {j``2 cdot 1 over 2 times 1 over {j``2 cdot 1}} over {j``2 cdot 1 over 2 + 1 over {j``2 cdot 1}}= -j`1 ``[Omega] ## Z_2 = 1 over 4 rm[H] // 1``[Omega] it= {1 times j``2 cdot 1 over 4} over {1+j``2 cdot 1 over 4} ={1+j``2} over 5 ``[Omega]}]

[eqn: cdot]두 개의 망로방정식 :

[eqn: cases{rm{1 over 2 {boldI}_1} -it j``1 {(rmboldI}_1 {-rmboldI}_2 ) =5` ## -j``1({rmboldI}_2 {-rmboldI}_1 ) {-j``1 rmboldI}_2 + left( {1+j``2} over 5 right) {(rmboldI}_2 +5 ) =0`}]

[eqn: HOOKRIGHT] [eqn: cases{left( 1 over 2 -j``1 right) {rmboldI}_1 + {j``1 rmboldI}_2 =5` ## {j``1 rmboldI}_1 + `left( 1 over 5 -j 8 over 5 right) {rmboldI}_2 = -5-j``10`}]

[eqn: THEREFORE ~under{{rmboldI}_1 =6+j``2 ``rm[A]}]

[eqn: cdot]마디전압 [eqn: v_1``] :

[eqn: {rmboldV}_1 &= 5 angle 0 ``-`` 1 over 2 {rmboldI}_1 = 2-j``1 ``rm[V] ##&=root5 rm angle -26.6^o`]

[eqn: THEREFORE ~~under{v_1 =root5 cos(2t-rm 26.6^o )}]

예제 9.7) 다음 그림 9.14 (a)의 회로에서 직-병렬 임피던스 변환과 테브냉-노튼 변환을 사용하여 망로해석법에 의해 2 [H] 인덕터에 걸리는 전압을 구하라.

<해>

[eqn: cdot]상응하는 페이저 회로 : 그림 9.14 (b);

[eqn: cases{12 sin(t+rm 110^o )=12 cos(t+rm 110^o -90^o )=it 12 cos (t+rm20^o ) ## 4 sin(t+rm47^o )=4 cos(t+rm 47^o -90^o )=4 cos(t-rm43^o )}]

[eqn: DOWNARROW]

[eqn: cdot]직-병렬 조합에 의해,

[eqn: cases{Z_1 =j``1//(1+j``2)//(-j``6) =0.128+j``0.79``Omega` ## Z_2 =2-j``1 ``Omega` ## Z_3 =4-j``2``Omega`}]

[eqn: DOWNARROW]

[eqn: SWARROW]

[eqn: cases{{rmboldI}_N ={4 rm angle -43^o} over Z_3 =0.894 rm angle -16.4^o` ## ~``Z_N =Z_3`}]

[eqn: DOWNARROW]

그림 9.15 (a);

[eqn: DOWNARROW]

[eqn: cases{~~Z_T =Z_4 =Z_2 //Z_3 = {(2-j``1)(4-j``2)} over {(2-j`1)+(4-j`2)} = 4 over 3 -j 2 over 3 ``Omega` ## {rmboldV}_T = Z_4 `(2 rm angle 94^o + 0.894 angle -16.4^o )=2.81 angle 41^o`}]

[eqn: DOWNARROW]

그림 9.15 (b);

[eqn: cdot]벡터-행렬 형식 망로방정식 :

[eqn: bmatrix{3.128+j``0.79 & -0.128-j``0.79 ## -0.128-j``0.79 & 1.45+j``3.12} bmatrix{{rmboldI}_1 ``## {rmboldI}_2``}= bmatrix{12 rm angle 20^o ## -2.81 rm angle 41^o`}=bmatrix{12 rm angle 20^o ## 2.81 rm angle -139^o`}]

[eqn: TRIANGLE &=(3.128+j``0.79)(1.45+j``3.12)-(-0.128-j``0.79)^2` ##&=11.1 rm angle 75.8^o]

[eqn: THEREFORE ~~bmatrix{{rmboldI}_1`` ## {rmboldI}_2``} &= 1 over {11.1 rm angle 75.8^o} bmatrix{1.45+j``3.12 & 0.128+j``0.79 ## 0.128+j``0.79 & 3.128 +j``0.79} bmatrix{12 rm angle 20^o ## 2.81 rm angle -139^o} ###&=bmatrix{3.58 rm angle7.2^o ## 0.657 rm angle 88.3^o}`]

[eqn: cdot][eqn: Z_1`]에 걸리는 전압 :

[eqn: {rmboldV}_Z_1 &= {Z_1 (rmboldI}_1 {-rmboldI}_2 `) ##&=(0.128+j``0.79)(3.58 rm angle 7.2^o -0.657 angle 88.3^o ) ##&=2.83 rm angle 77.4^o ``rm[V]]

[eqn: cdot]따라서, 구하고자 하는 임피던스 [eqn: j``2 ``[Omega]]에 걸리는 전압 :

[eqn: {rmboldV}= {j``2} over {1+j``2} times 2.83 rm angle 77.4^o =2.53 angle 104^o` `rm[V]]

[eqn: THEREFORE ~~under{v(t)=2.53 cos(t+rm 104^o )}``rm[V]]

예제 9.8) 다음 그림 9.16(a)의 회로에서 망로해석법에 의해 정상상태응답 [eqn: v_1`]의 값을 구하라.

<해>

[eqn: cdot]페이저 회로 ([eqn: omega=2`]) : 그림 9.16 (b);

[eqn: cdot][eqn: rmboldI`]로 표기된 가상망로(supermesh)에 KVL 적용,

[eqn: {-rmboldV}_1 -j``1 (-j``1 {+ rmboldI})+(1+j``2) {(rmboldI} {+2 rmboldV}_1 )=0 ~cdots~(1)]

[eqn: cdot]그림으로 부터,

[eqn: {rmboldV}_1 = j``1{(4`-rmboldI})]  [eqn: ->] [eqn: {rmboldI}{=4+j rmboldV}_1 ~cdots~ (2)]

[eqn: cdot]식(2)를 식(1)에 대입하고[eqn: {rmboldV}_1`]에 대해 풀면,

[eqn: {rmboldV}_1 = {-4+j``3} over 5 = 1 rm angle 143.1^o ``rm[V]]

[eqn: THEREFORE ~~under{v_1 (t)=cos(2t+rm 143.1^o )}``rm[V]]

9.4 상이한 주파수의 전원

* 상이한 주파수의 전원들을 포함하는 회로에 대한 강제응답을 구하는 데 중첩원리(superposition) 사용.

예제 9.9) 다음 그림 9.17 (a)의 회로에서 중첩원리를 사용하여 [eqn: 1 over 2 rmF`] 커패시터에         걸리는 전압을 구하라.

<해>

[eqn: cdot][eqn: omega=2`] 성분에 대한 페이저 회로 : 그림 9.17 (b) ;

[eqn: RARROW]

[eqn: Z_a ={(1)(2+j`2)} over {3+j`2} =0.769+j`0.154``[Omega]]

[eqn: THEREFORE {rmboldV}_1 =- left[ {-j`1} over {-j`1+Z_a} right] times 12 rm angle 0^o` =10.5 rm angle 138^o ``rm[V]]

[eqn: THEREFORE ~~under{v_1 =10.5 cos(2t`+ rm 138^o )}``rm[V]]

[eqn: cdot][eqn: omega=1`] 성분에 대한 페이저 회로 : 그림 9.17 (c) ;

[eqn: RARROW]

[eqn: RARROW]

[eqn: Z_b = {(-j`2)(2+j`1)} over {(-j`2)+(2+j`1)} = {(-j`2)(2+j`1)} over {2-j`1} = 1.6-j`1.2``[Omega]]

[eqn: {rmboldV}_2 &= Z_b over {1+Z_b} cdot 5 rm angle 45^o it ={1.6-j`1.2} over {1+(1.6-j`1.2)} cdot 5 rm angle 45^o` ##&={1.6-j`1.2} over {2.6-j`1.2} cdot 5 rm angle 45^o =3.5 rm angle 32.9^o ``rm[V]]

[eqn: THEREFORE ~~under{v_2 =3.5 cos(t+rm 32.9^o )}``rm[V]]

[eqn: cdot]중첩원리에 의해,

[eqn: v(t) &=v_1 (t)+v_2 (t) ##&= under{10.5 cos(2t+rm 138^o )+3.5 cos(t+32.9^o )}``rm[V]]

[eqn: HOOKRIGHT] 상이한 주파수에 대응하는 페이저는 중첩시킬 수 없다.([eqn: {rmboldV} {neq rmboldV}_1 {+ rmboldV}_2`]), 단지 그들의 대응하는 정현파(sinusoidal)들 만을 중첩시킬 수 있다.

예제 9.10) 다음 그림 9.18 (a)의 회로에서 전압원을 통해 흐르는 전류 [eqn: i`]를 구하라.

<해>

[eqn: cdot]let [eqn: cases{i_1 =rm"response component by the sources with "omega=10``rm[rad/s] ## i_2 = rm"response component by the sources with "omega=5``rm[rad/s]}]

[eqn: cdot][eqn: i_1`]과 [eqn: i_2`]에 대한 페이저 회로 :

[eqn: 2 sin(5t+rm 100^o ) =2 cos(5t+rm 100^o -90^o )=2 cos(5t+rm 10^o )]

그림 9.18 (b);

그림 9.18 (c);

[eqn: cdot]페이저 값과 순간값 :

[eqn: {rmboldI}_1 (-j`2 +1 +j`4) +j`2 {(rmboldI}_1 -4 rm angle 0^o )=-5 rm angle 30^o ``rm[V]]

[eqn: THEREFORE ~{rmboldI}_1 &= {-5 rm angle 30^o +it j`8} over {1+j`4} = {-4.33 +j`5.5} over {1+j`4} ##&= {7 rm angle -52^o} over {root{17} rm angle 76^o} = 1.70 rm angle -128^o``rm[A]]

[eqn: THEREFORE ~~under{i_1 =1.70 cos(10t-rm 128^o )}``rm[A]]

[eqn: {rmboldI}_2 &={1+j`1-j`4} over {(1+j`1-j`4)+j`2}(-2 rm angle 10^o` ) ##&= it{1-j`3} over {1-j`1} (-2 rm angle 10^o ) =4.47 angle 163^o ``rm[A]]

[eqn: THEREFORE ~~under{i_2 =4.47 cos(5t+rm 163^o )}``rm[A]]

[eqn: THEREFORE ~~under{i=i_1 + i_2 =1.70 cos(10t-rm 128^o ) +4.47 cos(5t + 163^o )}``rm[A]]

9.5 페이저 도

* 페이저 도(phasor diagram) : 전압과 전류에 대한 페이저(복소수)는 ac 정상상태 회로해석을 위해 복소평면에 벡터로 표현.

예제 9.11) 다음 그림 9.19의 RLC 직렬 페이저 회로에 대한 페이저 도를 그려라.

<해>

[eqn: cdot]기준 페이저(reference phasor) : 전류[eqn: rmboldI`]가 모든 소자에 공통이므로 기준 페              이저로[eqn: rmboldI`]를 선택.

[eqn: {rmboldI}{=|rmboldI}`| rm angle 0^o`]

[eqn: cdot]전압 페이저 :

[eqn: cases{{rmboldV}_R =R rmboldI` it =R{|rmboldI}|rm angle 0^o` ## {rmboldV}_L ={j omega L rmboldI}= omega L{|rmboldI}| rm angle 90^o`` ## {rmboldV}_C = -j 1 over {omega `C} {rmboldI} = 1 over {omega `C} {|rmbold I}| rm angle -90^o`}][eqn: RARROW][eqn: {rmboldV}_g {=rmboldV}_R {+ rmboldV}_L {+ rmboldV}_C`]

[eqn: cdot]페이저 도 : 복소평면 상에서 원운동의 [eqn: t=0`]일 때의 순간 사진.

(모든 벡터는 시계반대방향으로 함께 회전) : 그림 9.20;

(Vg는I에 앞선다(lead))  (Vg는I에 뒤진다(lag))  (Vg,I : 동상(in phase))

[eqn: cdot](c)에서, 전류와 전압은 동상(in phase)이다. 왜냐하면 유도성(inductive) 리액턴스 성분과 용량성(capacitive) 리액턴스 성분이 서로 정확히 상쇄된다.

[eqn: {rmboldI}= {rmboldV}_g over {``Z} = {rmboldV}_g over {R +j`[omegaL- (1/omegaC)]}] [eqn: RARROW] [eqn: (c)~:{rmboldI}= {rmboldV}_g over {``R}`]

[eqn: left( BECAUSE ~~omegaL- 1 over omegaC =0~~ RARROW ~~omega= 1 over root{LC} right)]

[eqn: cdot]([eqn: omega`]가 zero와 무한대 사이에서 변할 때) 고정된 전류응답에 대한 페이저[eqn: {rmboldV}_g`]의 궤적(locus) : 그림 9.21 ;

예제 9.12) 다음 그림 9.22 (a)의 회로에서[eqn: {rmboldV}_C`]를 구하고, 모든 전류와 전압에 대한 페이저 도를 그려라.

<해>

[eqn: cdot][eqn: {rmboldV}_C`]를 기준 페이저로 사용하고, 비례원리(proportionality principle)에 의한 해를 위해 임시로[eqn: {rmboldV}_C =1 rm angle 0^o`]라 두면,[eqn: {rmboldI}_3`]는[eqn: {rmboldV}_C`]보다 [eqn: rm 90^o`] 앞서야 한다(lead) : 그림 9.22 (b) ;

[eqn: cdot][eqn: {rmboldV}_C`]에 대한 기준값을 사용,

[eqn: {rmboldI}_3 = {rmboldV}_C over {-j`2} = {1 rm angle 0^o} over {-j`2}= 1 over 2 rm angle 90^o`] [eqn: RARROW][eqn: {rmboldV}_L_2 =(j`3) left( 1 over 2 rm angle 90^o right) = under{3 over 2 rm angle 180^o`}]

[eqn: THEREFORE ~{rmboldV}_R {=rmboldV}_C {+rmboldV}_L_2` =1 rm angle 0^o + 3 over 2 rm angle 180^o = 1 over 2 rm angle 180^o`]

[eqn: THEREFORE ~~{rmboldI}_2 = {rmboldV}_R over {1/2} {= 2 rmboldV}_R = under{1 rm angle 180^o`}]

[eqn: cdot][eqn: {rmboldI}_1`]은 [eqn: {rmboldI}_2`]와[eqn: {rmboldI}_3`]의 벡터 합이므로,

[eqn: {rmboldI}_1 {= rmboldI}_2 {+rmboldI}_3 =1 rm angle 180^o + 1 over 2 angle 90^o = 1.12 rm angle 153^o`]

[eqn: cdot]비례원리에 의해, 전원을 스케일링하는 것은 모든 페이저를 동일한 인자로 스케일 할 것이다. 스케일링 인자는,

[eqn: alpha ={2 rm angle 30^o} over {1.12 rm angle 153^o} = 1.79 rm angle -123^o`]

[eqn: HOOKRIGHT] 모든 페이저는 [eqn: 1.79`]의 인자로 커지며, 시계방향으로 [eqn: rm 123^o`] 회전되어야 한다.

[eqn: cdot]따라서, 구하고자 하는 해는 :

[eqn: under{{rmboldV}_C =alpha`(1 rm angle 0^o ) = 1.79 angle -123^o`}]

[eqn: cdot]벡터 도(diagram)에서 모든 페이저를 같은 양으로 회전하는 것은 그들의 페이저 관계를 바꾸지 않음에 주의.

예제 9.13) 다음 그림 9.23의 RL 페이저 회로에서 [eqn: R`]이 변화할 때[eqn: {rmboldI}]의 궤적을           구하라.

<해>

[eqn: cdot]회로를 통해 흐르는 전류 :

[eqn: {rmboldI}= {V_m rm angle 0^o} over {R +j omegaL} = {V_m (R-j omega L)} over {R^2 + omega^2 L^2} = {RV_m} over {R^2 + omega^2 L^2} +j `{-omega L V_m} over {R^2 + omega^2 L^2}`]

[eqn: cdot]만약[eqn: {rmboldI}=x+jy`]라 두면,

[eqn: cases{x= {Re rmboldI} = RV_m over {R^2 + omega^2 L^2}~cdots~(1) ## y= {Im rmboldI} = {-omega L V_m} over {R^2 + omega^2 L^2}~cdots~(2)}] [eqn: RARROW] [eqn: x over y = - R over omegaL`] [eqn: RARROW] [eqn: R= - {omega L x} over y`]

[eqn: R`]을 식(1)에 대입,

[eqn: x = {left(- {omega L x} over y right) V_m} over {left(- {omega L x} over y right)^2 + omega^2 L^2}= {left(- {omega Lx} over y right)^2 V_m cdot y^2} over {omega^2 L^2 x^2 + omega^2 L^2 y^2} ={-omega Lx y} over {omega^2 L^2 (x^2 +y^2 `)}]

[eqn: THEREFORE ~~under{x^2 + y^2 = - {V_m ``y} over omegaL`}] [eqn: RARROW] [eqn: under{x^2 + left( y+ V_m over {2 omega L} right)^2 = left( V_m over {2 omega L} right)^2`}]

[eqn: HOOKRIGHT] 중심이 [eqn: [0,`-(V_m /2 omega L)]]에 있고, 반경이 [eqn: V_m `/ 2 omega L`]인 원의 방정식.

[eqn: cdot]식(1)에 의해, [eqn: x>=0`], 따라서 궤적은 실제로 페이저 도 내에 점선으로 그려진 반원이다. : 그림 9.24 ;

[eqn: LRARROW ~~cases{{|rmboldI}|= {{|rmboldV}|} over root{R^2 + omega^2 L^2}` ## theta= - tan^-1 {omega L} over R`}]

9.6 SPICE와 교류정상상태

[생략]

* 요 약 : Self-study

Report

<문제> 9.2, 9.5, 9.8, 9.12, 9.24, 9.35, 9.37, 9.39, 9.40(SPICE), 9.45

(10 문제)