제 8 장  정현파 전원과 페이저

* 차례

8.1 정현파의 성질

8.2 RLC 회로의 예

8.3 복소전원

8.4 페이저

8.5 페이저의 전류-전압 법칙

8.6 임피던스와 어드미턴스

8.7 키르히호프의 법칙과 등가 임피던스

8.8 페이저 회로

* 여기량 (즉, 전원)의 가장 중요한 형태는 정현파(sinusoid).

예) 진자의 운동, 빛 또는 음파의 전파, 현악기의 현(줄) 또는 강철 빔의 진동.

* 그 중요성 때문에, 정현파 여기량을 갖는 회로 또는 교류회로를 자세히 살펴본다.

8.1 정현파의 성질

* 정현파 (sine wave) : 그림 8.1

[eqn: v(t)=V_m sin omega t`]

[eqn: HOOKRIGHT] [eqn: cases{``v(t)~:~rm"instantaneous value"~[V] ## V_m ~:~rm"amplitude, or maximum value"~[V] ## ``omega ~:~rm"radian frequency, or angular frequency"~[rad/s]}]

* 정현파는 주기함수(periodic function).

[eqn: v`(t+T`)=v(t),~rm"for all"~ it t`] ([eqn: T``]: 주기(period) )

[eqn: cdot]주기(period)와 주파수(frequency) :

- 주기 (period)       : [eqn: T= 2pi over omega ``[sec]]

- 주파수 (Frequency) : [eqn: f = 1 over T = omega over 2pi ``rm[Hz]] [eqn: <-] 독일 물리학자

Heinrich R. Hertz (1857-1894)

* 주파수(frequency)와 라디안 주파수(radian frequency) 사이의 관계 :

[eqn: omega = 2 pi`f``rm[rad/sec]]

* 정현파의 보다 일반적인 표현 :

[eqn: v(t) = V_m sin(omegat+ phi)]

[eqn: HOOKRIGHT] [eqn: phi`] : 위상각(phase angle), 또는 위상(phase)

[eqn: cdot]위상각[eqn: phi`]도 라디안으로 나타내어야 하지만,

도(degree)로 나타내는 것에 익숙.

따라서,

[eqn: cases{v(t)= V_m sin LEFT(2t + pi over 4 RIGHT) ## v(t)= V_m sin LEFT( 2t + rm45^o RIGHT)}]

[eqn: cdot]위상의 앞섬(leading)과 뒤짐(lagging) : 그림 8.2

주파수가 같은 두 정현파의 위상 비교를 위해서는

sine 함수 또는 cosine 함수로 통일.

[eqn: cases{v_1 (t)= V_m1 sin (omegat + alpha)## v_2 (t)= V_m2 sin (omegat +beta)}]  [eqn: ->]  [eqn: cases{v_1 (t) ~rm"leads"~itv_2 (t)~rm"by"~alpha-beta` ## v_2 (t) ~rm"laggs"~it v_1 (t)~rm"by"~alpha-beta`}]

예)       [eqn: cases{v_1 (t)=V_m sin (omega t +phi) =V_m sin omega `left(t + phi over omega right) ## v_2 (t)=V_m sin omega t`}]

[eqn: HOOKRIGHT] [eqn: v_1 (t)]는 [eqn: v_2 (t)]보다 [eqn: phi``rm[rad]] 또는[eqn: phi over omega ``[sec]] 만큼 앞선다(lead)

[eqn: cases{v_1 (t)= 4 sin (2t + rm30^o `) ## v_2 (t)= 6 sin (2t - rm12^o `)}]

[eqn: HOOKRIGHT] [eqn: v_1 (t)]는 [eqn: v_2 (t)]보다 [eqn: rm 30-(-12)=42^o`] 만큼 앞선다(lead)

[eqn: cdot]sine 함수와 cosine 함수 :

[eqn: cases{cos left(omega t- pi over 2 right) =sin omega `t` ## sin left( omegat + pi over 2 right)= cos omega t`#}] [eqn: ->] [eqn: under{v(t)=V_m sin (omega t + phi)=V_m cos left( omega t + phi - pi over 2 right)}]

[eqn: cdot]반주기 이동(half-period shift)과 한주기 이동(full-period shift) :

[eqn: cases{sin(omegat +- pi ) = -sin omega t` ## cos(omegat +- pi) = -cos omega t`}]     [eqn: cases{sin(omega t +- 2 pi) = sin omega t` ## cos(omega t +- 2pi) = cos omega t`}]

예제 8.1) 다음 두 정현파에 대해, 양의 진폭을 갖는 sine 파 또는 cosine 파로    통일하여 위상의 앞섬(leading) 또는 뒤짐(lagging)을 결정하라.

[eqn: cases{v_1 = 4 cos(2t + rm30^o ) ~cdots~(1)## v_2 = -2sin(2t + rm18^o )~cdots~(2)}]

<해>

[eqn: cdot][eqn: -sin omega t = sin(omega t + rm180^o )] 이므로,

식(2) :

[eqn: v_2 & =2sin(2t+rm18^o +180^o ) ## &=2cos(2t+rm18^o + 180^o -90^o ) ##&= under{2 cos(2t+ rm108^o )}]

[eqn: cdot]따라서,   [eqn: v_1`]은 [eqn: v_2`]보다[eqn: rm 30^o -108^o =-78^o`] 앞선다(lead)

[eqn: ->] [eqn: v_1`]은 [eqn: v_2`]보다 [eqn: rm78^o`] 뒤진다(lag)

* sine 파와 cosine 파의 선형 결합 : 그림 8.3

[eqn: under{A cos omega t+B sin omega t} &=SQRT{A^2 + B^2}``left [ A over SQRT{A^2 +B^2} cos omega t + B over SQRT{A^2 + B^2} sin omega t ``right] ## &=SQRT{A^2 + B^2}``left[ cos theta cos omega t + sin omega t sin theta ``right] ##&= under{root{A^2 + B^2} cos (omega t - theta`)}]

[eqn: HOOKRIGHT] [eqn: theta=tan^-1 B over A`]

* 정현파의 직각좌표계 표현

[eqn: HOOKRIGHT] 정현파를 sine 성분과 cosine 성분으로 분해

[eqn: M cos (omega t-theta`) =A cos omega t + B sin omega t`]

(∵ Mcos(□t-□) = Mcos□t·cos□ + Msin□t·sin□

= Mcos□·cos□t + Msin□·sin□t

A                B          )

여기서,

[eqn: A=M cos theta`],  [eqn: B=M sin theta`]

예제 8.2) 다음 정현파의 위상각을 구하라.

[eqn: -5 cos3t +12sin3t & =SQRT{5^2 +12^2} cos left[3t-tan^-1 left(12 over -5 right) right] ##&=13 cos(3t-rm112.6^o )]

<해>

[eqn: cdot][eqn: tan^-1 (12/-5)=rm112.6^o`] 는 제2사분면에 있다.

8.2 RLC 회로의 예

예) 다음 그림 8.4의 [eqn: RLC`] 직렬회로에서 강제망로전류 [eqn: i``]를 구하라.

* By KVL,

[eqn: 2 di over dt + 2i +10 INT _{0+}^{t } i(tau) d tau + v_C (0+)= 15cos2t`]

[eqn: 2 {d^{2} i} over dt^{2} + 2 di over dt +10i=-30 sin 2t`]

[eqn: THEREFORE~~under{{d^{2}i} over dt^{2} + di over dt + 5i =-15sin2t`}~cdots~(1)] :  묘사방정식

[eqn: cdot]시험강제해 : [eqn: i=A cos2t + B sin2t`]  [eqn: ->]  식(1)에 대입

[eqn: &(-4A cos 2t -4 B sin 2t)+(-2A sin 2t+2B cos 2t) ##&~~+5(A cos 2t + B sin 2t)=-15 sin 2t`]

→ [eqn: (A+2B) cos 2t + (-2A+B) sin 2t = -15 sin 2t`]

[eqn: THEREFORE ~~cases{A+2B=0` ## -2A+B~=-15`}]  [eqn: ->]  [eqn: under{A=6,~B=-3`}]

[eqn: cdot]따라서, 강제해의 직각좌표계 표현 :

[eqn: under{i =6 cos2t-3 sin2t}`rm[A]]

[eqn: cdot]두 항의 결합,

[eqn: cases{M= SQRT { 6^2 +3^2}=3 SQRT{5}` ## theta= tan^-1 left(- 3 over 6 right)= rm-26.6^o`}]

[eqn: THEREFORE ~~under{i=M cos(omega t-theta`) =3 SQRT{5} cos(2t+rm26.6^o )}`rm[A]]

8.3 복소전원

* 정현파 전원(sinusoidal source)을 갖는 회로를 다루는 또 다른 방법

= 주어진 전원을 복소전원(complex source)으로 대치.

* 복소수 : 복소평면 상의 한 점.

* 직각좌표와 극좌표 사이의 관계 : 그림 8.5,

(1) 직각좌표 형식 (Rectangular form) :

[eqn: A=a+jb`]

[eqn: cases{j=root{-1}~:~rm"imaginary number of unit length" ## a=Re~A, ~b=Im~A`}]

(2) 극좌표 형식 (Polar form) :

[eqn: A=LEFT | A RIGHT | ANGLE alpha`]

[eqn: cases{|A|=root{a^2 + b^2}~``:~rm"magnitude of "it A` ## ANGLE alpha=tan^-1 b over a ~:~rm"phase angle"}]

(3) 삼각함수 형식 (Trigonometric form) :

[eqn: A=|A| cos alpha + j `|A| sin alpha = |A| (cos alpha + j sin alpha)]

[eqn: cases{|A| cos alpha = Re ~A` ## |A| sin alpha = Im~A`}]

(4) 지수함수형 극좌표 형식(Exponential polar form) :

[eqn: cdot]오일러의 항등식(Euler's identity) :

[eqn: under{e^{j theta }=cos theta +j sin theta`}]

[eqn: cdot]따라서, 지수함수 형식 :

[eqn: A= |A| (cos alpha + j sin alpha) =|A|e^{j alpha`}]

* [eqn: e^{j theta}`]의 극좌표 형식 :

[eqn: e^{j theta} =1 ANGLE theta`]

[eqn: HOOKRIGHT] [eqn: |e^{j theta} `|=root{cos^2 theta + sin^2 theta`}=1]

예제 8.3) 다음 복소수의 극좌표 형식과 지수함수형 극좌표 형식을 구하라.

[eqn: A=4+j``3`]

<해>

[eqn: cdot]극좌표 형식 :

- [eqn: |A|=root{4^2 + 3^2}=5`] 이고 [eqn: alpha=tan^-1 3 over 4 =rm36.9^o`] 이므로,

[eqn: under{A=5 ANGLE rm36.9^o`}]

[eqn: cdot]지수함수형 극좌표 형식 :

[eqn: under{A=5 `e^{j rm36.9^o`}}]

* 복소지수함수(complex exponential function) : [eqn: e^{j omega t}`] : 그림 8.6 (a)

[eqn: e^{j omega t} = 1 ANGLE omega t`]

복소지수함수 [eqn: e^{j omega t}`]는 복소평면 상에서 단위원을 따르는 자취를 가지며,   시간 [eqn: t=0`]일 때 양의 실수축에서 출발하여 반시계방향(counterclockwise)으로 이동하여,  매 [eqn: T= 2pi/omega`] 초 마다  하나의 완전한 원 (또는 주기)를  완성한다.

[eqn: cdot][eqn: cos omega t`] : 이 점의 수평축 상의 투영(projection)[eqn: =] 실수부(real part)

[eqn: cdot][eqn: sin omega t`] : 이 점의 수직축 상의 투영(projection)[eqn: =] 허수부(imaginary part)

* 일반 복소지수함수 : [eqn: V_m ``e^{j (omega t+phi)}] : 그림 8.6 (b)

[eqn: cdot]오일러의 항등식 :

[eqn: under{V_m `e^{j (omega t + phi)}=V_m `cos(omega t+phi) + j V_m `sin (omega t +phi)}}]

[eqn: THEREFORE ~~cases{Re `LEFT[V_m `e^{j(omega t +phi)} RIGHT]=V_m cos(omega t+ phi)## Im `LEFT[V_m `e^{j(omega t +phi)} RIGHT]=V_m sin(omega t+ phi)}]

* 복소수의 회로에의 적용 : 중첩(superposition) : 그림 8.7

복소전원의 실수부의 응답은  응답의 실수부이며,

복소전원의 허수부의 응답은  응답의 허수부이다.

* [eqn: v_g = V_m `e^{j(omegat +phi)}]에 대한 강제응답은 동일한 주파수[eqn: omega`]를 갖는 복소지수함수     [eqn: i=I_m `e^{j (omega t + theta)}] 가 된다.

[eqn: V_m `cos(omega t + phi)]에 대한 응답은 [eqn: V_m `e^{j (omega t +phi)}]에 대한 응답의 실수부이며,

[eqn: V_m sin(omega t + phi)]에 대한 응답은 [eqn: V_m `e^{j (omega t +phi)}]에 대한 응답의 허수부이다.

예제 8.4) 앞의 그림 8.4의 직렬 RLC 회로에서 복소전원을 사용하여 망로전류 [eqn: i``]            를 구하라.

<해>

[eqn: cdot]정현파 전원[eqn: 15 cos 2t`]를 복소전원 [eqn: 15e^{j `2t`}]로 대치,

by KVL,      [eqn: 2 di over dt + 2i+ 10 INT _{ 0+}^{t } i(tau) d tau +v_C (0+)=15 e^{j`2t`}]

[eqn: THEREFORE ~~under{{d^{2} i} over {dt^{2}} + di over dt +5i = 15j `e^{j`2t`}}]  :  묘사방정식

[eqn: cdot]시험해 [eqn: i=A`e^{j`2t`}] 를 대입,

[eqn: (-4+j`2+5)A e^{j`2t}=15j e^{j`2t`}] [eqn: ->] [eqn: A= 15j over {1+j`2} = 3 SQRT{5} ANGLE rm 26.6^o`]

[eqn: THEREFORE ~~under{i= (3 SQRT{5} ANGLE rm 26.6^o ) it e^{j`2t} = 3 SQRT{5} e^{j(2t+rm 26.6^o )}} rm[A]]

[eqn: THEREFORE] [eqn: cases{v_g =15cos 2t~->~ under{i(t)}=Re `left[3 SQRT{5} e^{j`(2t+rm26.6^o `)} right] = under{3 SQRT{5} cos (2t+ rm26.6^o ) ``rm [A]} ## v_g =15 sin 2t ~->~ i(t)=Im `left[3 SQRT{5} `e^{j`(2t+ rm26.6^o )} right] = 3 SQRT{5} sin(2t+ rm26.6^o ) ``rm[A]}]

예제 8.5) 다음 식의 강제응답 [eqn: i_f``]를 구하라.

[eqn: {d^{2} i} over {dt^{2}} + 2 di over dt + 8i = 12 SQRT{2}cos(2t+rm15^o `)]

<해>

[eqn: cdot]먼저, 실수강제함수를 복소강제함수로 대치,

[eqn: v_1 = 12 SQRT{2} `e^{j(2t+rm15^o`)}]

[eqn: cdot]복소응답 [eqn: i_1`]은 다음 식(1)을 만족.

[eqn: under{{d^{2} i_1} over {dt^{2}} + 2 di_1 over dt +8i_1 = 12 SQRT{2}e^{j`(2t+rm15^o`)}}~cdots~(1)]

[eqn: cdot]시험강제해를 대입 :

[eqn: i_1 = Ae^{j`2t`}] [eqn: ->] 식(1)에 대입 : [eqn: (-4+j`4+8)A`e^{j`2t}=12 SQRT{2}`e^{j`(2t+rm15^o`)}]

[eqn: HOOKRIGHT] [eqn: A={12 SQRT{2}e^{j rm15^o }} over {4+4`j}}={12 SQRT{2} ANGLE rm15^o} over {4 SQRT{2} ANGLE rm45^o} = 3 ANGLE rm-30^o`]

[eqn: THEREFORE ~~under{i_1 = (3 ANGLE rm-30^o `)it e^{j`2t`}}]

[eqn: cdot]원래의 강제함수[eqn: 12 root{2} cos(2t+rm15^o )]에 대한 응답은  응답 [eqn: i_1`]의 실수부 :

[eqn: i_f = Re `[i_1 ]= 3 cos(2t-rm30^o )]

8.4 페이저

* 앞 절의 결과는 페이저(phasor)를 사용하면 더욱 간단해진다.

[eqn: cdot]페이저를 사용한 회로해석법 :

General Electric 사의 전기공학자, Charles Proteus Steinmetz (1865-1923)가 창안,

* 주파수[eqn: omega`]인 정현파 여기량에 대한 회로의 강제응답 :

각 정현파 전원은 cosine 함수로 표현.

[eqn: under{v_g (t) = V_m cos(omega t + phi)}]

[eqn: cdot]이 전원을 복소지수전원으로 대치.

[eqn: under{v_g1 (t) = V_m `e^{j`(omega t + phi`)}}]

[eqn: cdot][eqn: v_g1 (t)]의 페이저 표현 :

[eqn: v_g1 (t) &= V_m `e^{j`(omega t + phi`)}=V_m e^{j omega t} e^{j phi`} =left[V_m ``e^{j phi} `right] `e^{j omega t`} ##&=under{{rm bold V} e^{j omega t`}}]

- 일반적으로, 각각의 전류와 각각의 전압은 다음과 같은 형식이 된다.

[eqn: i_1 (t) {=rm bold I}`e^{j omega t`}]

[eqn: v_1 (t) {=rm boldV}`e^{j omega t`}]

[eqn: HOOKRIGHT][eqn: rmbold I`]와[eqn: rm bold V`]를 페이저로 정의,

즉, 전류와 전압의 표현식에서[eqn: e^{j omega t`}]를 곱하는 복소수.

[eqn: {rmbold I}=I_m e^{j phi`}], [eqn: {rmbold V}=V_m e^{j phi`}]

[eqn: cdot]정현파 전원과 페이저 사이의 관계 :

[eqn: V_m cos( omegat + phi ) &= Re``(V_m `e^{j`(omegat+phi)})=Re `left(V_m ``e^{j phi} e^{j omega t} ``right) ##&=Re{left(rmbold V}e^{j omega t} ``right)]

□페이저 변환 :

[eqn: cases{P``[V_m cos(omegat+phi)] {=rmboldV}=V_m e^{j phi}` ## P^-1 {rm[boldV}]=V_m cos (omegat+phi)}]

[eqn: cdot][eqn: {rmbold V}=V_m e^{j theta}{=|rmbold V}|e^{j theta`}] 이므로, 지수함수형 극좌표 형식을 사용.

[eqn: v(t)=Re {(``|rm bold V} | e^{j theta} e^{j omegat}``) {=`|rm boldV}| cos(omegat+theta)`]

[eqn: HOOKRIGHT] 정현파의 진폭은 그 페이저의 크기이며,

정현파의 위상각은 그 페이저의 각도이다.

예제 8.6) 다음 그림 8.8의 회로에서 복소지수전원을 사용하여, [eqn: v_g (t)=6 cos 2t``]   에 대한 망로전류 [eqn: i`]를 구하라.

<해>

[eqn: cdot][eqn: v_g =6 cos 2t = Re(6 e^{j`2t``})]이므로, 복소지수전원으로 [eqn: v_g1 =6 e^{j`2t}`] 를 사용.

[eqn: cdot]묘사방정식 :

[eqn: under{di over dt +4i =6 e^{j`2t}`}~cdots~(1)]

[eqn: cdot]시험강제해를 식(1)에 대입 :  [eqn: i_1 =Ae^{j`2t}`][eqn: ->] 식(1)

[eqn: (j`2+4)Ae^{j`2t}`=6e^{j`2t}`]  [eqn: ->]  [eqn: A= 6 over {4+j`2} =1.34 ANGLE rm-26.6^o`]

[eqn: THEREFORE ~~under{i_1 = (1.34 ANGLE -rm26.6^o )it e^{j`2t}} ``rm[A]]

[eqn: cdot]따라서, 강제해 :

[eqn: THEREFORE ~~under{i=Re `(i_1 ) = 1.34cos(2t-rm26.6^o ) ``rm[A]}]

* 정현파 전원이 sine 함수 형식[eqn: V_m sin (omega t +phi)]로 주어지면, 먼저 cosine 함수 형식으로 변환.

[eqn: sin(omegat+phi)=cos(omegat + phi -rm90^o )]

[eqn: cdot]cosine 전원과 sine 전원에 대한 복소전원과 전원 페이저

전원	복소전원	전원 페이저
[eqn: A cos (omega t + phi)]	[eqn: Ae^{j(omega t+phi)}]	[eqn: A ANGLE phi =A e^{j phi}`]
[eqn: A sin (omega t +phi)]	[eqn: Ae^{j(omega t +phi-rm 90^o )}]	[eqn: A ANGLE phi-{rm90^o} =A e^{j rm(phi-90^o )}]

예제 8.7) 다음 그림 8.9 (a)의 회로에서, [eqn: v_g =36 cos (2t+rm 30^o )``rm[V]] 및           [eqn: under{i_g =2sin (2t`-rm15^o )rm[A]}]에 대한 강제응답 [eqn: i(t)]를 구하라.

<해>

[eqn: cdot]전원을 지수함수형 전원으로 대치 : 그림 8.9 (b)

[eqn: cases{36 cos (2t rm+30^o )~->~it 36 `e^{j(2t+rm30^o )} ## 2 sin (2t rm-15^o )=2 cos(2t rm-15^o -90^o ) ## ~~~~~~~~~~~~~```= 2 cos(2t rm-105^o )~->~it 2 `e^{j (2t-rm105^o )}}]

[eqn: cdot]망로 1에서 KVL 방정식,

[eqn: 4 i_1 + 3 d over dt left[ i_1 - 2e^{j(2t rm-105^o )} right]= 36e^{j(2t rm+30^o )}]

[eqn: THEREFORE ~~under{di_1 over dt + 4 over 3 i_1 = 12`e^{j(2t rm+30^o )} -j`4`e^{j(2t rm-105^o )}=(12e^{j `30^o}-j`4 e^{-105^o} `)e^{j`2t}}]

여기서,

[eqn: 12 `e^{j rm30^o}-j`4`e^{-j rm105^o`} =12 ANGLE rm30^o - 4 ANGLE rm-15^o = 9.6 ANGLE rm47.1^o`]

[eqn: THEREFORE ~~under{di_1 over dt + 4 over 3 i_1 = (9.6 ANGLE rm47.1^o )it e^{j`2t}}`]

[eqn: cdot]시험강제해 [eqn: i_1 =A`e^{j`2t}`] 를 대입 :

[eqn: left(j`2A+ 4 over 3 A right)e^{j`2t} = (9.6ANGLE rm47.1^o ) it e^{j``2t`}]

[eqn: THEREFORE ~~A = {9.6 ANGLE rm47.1^o } over {4/3 + j `2} = 4.0 ANGLE rm-9.2^o`]

[eqn: THEREFORE]  [eqn: i(t) = Re`[A e^{j`2t} `]= 4.0 cos(2t rm-9.2^o )``rm[A]]

8.5 페이저의 전류-전압 법칙

* 저항, 인덕터 및 커패시터에 대한 페이저 전압과 페이저 전류 사이의 관계는 저항에 대한 옴의 법칙과 매우 유사. (유사 옴의 법칙).

* 모든 전류와 전압이 [eqn: Ae^{j omega t}`] 의 형식으로 된 회로를 생각하자.

이는 정현파 전원이 복소지수로 대치된 경우이고, 오직 강제응답에만 관심을 두자.

(1) 저항회로에 대한 I-V 관계 : 그림 8.10

[eqn: cases{v {=rm boldV} e^{j omegat}` ## i {=rm bold I} `e^{j omegat}`}]  [eqn: ->]  [eqn: v=Ri`]  [eqn: ->]  [eqn: under{{rm boldV} e^{j omegat} {=R rm bold I} e^{j omega t}`}]

[eqn: cdot]인자 [eqn: e^{j omega t}`]를 제거,

[eqn: {rm boldV}{=R rm bold I}]

- [eqn: {rmbold V}=V_m e^{j phi_V}`] 이고[eqn: {rmbold I}=I_m e^{j phi_I}`] 이므로,

[eqn: under{V_m `e^{j phi_V}=(RI_m `) `e^{j phi_I`}}]  [eqn: ->]  [eqn: cases{V_m = R I_m` ## phi_V =phi_I~:~ under{v~and~i~rm"are in phase"}}]

예제 8.8) 다음 저항회로에서[eqn: v=10cos(100t rm+30^o ) ``rm[V]]에 대한 전류[eqn: i`]를 구하라.

<해>

[eqn: cdot]페이저 전압과 전류 :

[eqn: {rm boldV} = 10 ANGLE rm30^o ``rm[V]] [eqn: ->][eqn: {rm bold I} ={rm bold V} over R = {10 ANGLE rm30^o } over 5 = 2 ANGLE rm 30^o ``rm[A]]

[eqn: cdot]시간 영역에서의 전류 :

[eqn: under{i = 2 cos(100t rm+30^o )} ``rm[A]]

그림 8.11,

(2) 인덕터 회로에 대한 I-V 관계 :

[eqn: cdot]복소전류와 전압을 시간영역 관계식에 대입,

[eqn: v = L di over dt`] [eqn: ->] [eqn: under{V_m `e^{j(omega t + phi_V )}} = L d over dt left[ I_m `e^{j(omega t+phi_I )} right] = under{j omega LI_m `e^{j(omega t+ phi_I )}}]

[eqn: THEREFORE ~~under{V_m `e^{j phi_V} =j omega L I_m `e^{j phi_I}`}]

[eqn: cdot]따라서, 페이저 관계식 :

[eqn: {rm bold V} {= j omega L rm bold I}`]

그림 8.12

[eqn: cdot]인덕터에 흐르는 전류가 [eqn: i=I_m cos(omega t + phi_I `)]로 주어지면, 페이저 전류는 :

[eqn: {rmbold I}=I_m anglephi_I`]

- 따라서, 페이저 전압 :

[eqn: {rm bold V}=(j omega L)(I_m anglephi_I )=omega L I_m angle phi_I rm+90^o` ~~left( BECAUSE ~~it j=e^{j rm90^o } ``right)]

- 따라서, 시간영역에서의 전압 :

[eqn: v= omega LI_m cos(omega t + phi_I rm+90^o )] : 전류는 전압보다 [eqn: rm90^o`] 뒤진다(lag).

그림 8.13,

(3) 커패시터 회로에 대한 I-V 관계 :

[eqn: cdot]복소전류와 전압을 시간영역 관계식에 대입,

[eqn: i = C dv over dt`] [eqn: ->] [eqn: under{I_m `e^{j(omegat+phi_I `)}} = C d over dt left[V_m `e^{j(omega t + phi_V `)} right] = under{j omega C V_m `e^{j(omega t + phi_V `)}}]

[eqn: cdot]따라서, 페이저 관계식은 : [eqn: {rm bold I} {= j omega C rmbold V}`] 이므로,

[eqn: {rm bold V } = {rm bold I} over {j omega C} =-j 1 over {omega C}{rmboldI}`]

그림 8.14,

[eqn: cdot]만약 커패시터 전압이 [eqn: v=V_m cos(omega t + phi_V`)]로 주어지면, 페이저 전압은,

[eqn: {rmbold V}=V_m anglephi_V`]

- 따라서, 페이저 전류 :

[eqn: {rm bold I}=(j omega C)(V_m angle phi_V )=omega C `V_m angle phi_V rm+90^o`~~left( BECAUSE ~~it j=e^{j rm90^o } ``right)]

- 따라서, 시간영역에서의 전류 :

[eqn: i= omega C V_m cos(omega t + phi_V rm+90^o )] : 전류는 전압보다 [eqn: rm90^o`] 앞선다(lead).

그림 8.15,

예제 8.9) [eqn: v=10 cos(100t rm+30^o`)]가 인가될 때, [eqn: 1``rm[mu F]] 커패시터를 통해 흐르는 전류 [eqn: i(t)]를 구하라.

<해>

[eqn: {rm bold I } = j(100)(10^-6 ) (10 ANGLE rm30^o ) ``rm[A] =1 angle rm 120^o` rm[mA]]

[eqn: THEREFORE ~~under{i(t)= cos(100t rm+120^o`)``rm[mA]}]

8.6 임피던스와 어드미턴스

* 그림 8.16과 같이 접속가능한 두 단자를 갖는 일반회로에서, 시간영역 전압과 전류가 다음 식과 같으면,

[eqn: cases{v = V_m cos (omega t + phi_V `) ## i = I_m cos( omega t +phi_I `)}]

- 페이저 :

[eqn: cases{{rm bold V} = V_m ANGLE phi_V =V_m e^{j phi_V}` ## {rm bold I} = I_m ANGLE phi_I =I_m e^{j phi_I}``}]

그림 8.16,

[eqn: cdot]임피던스 :

[eqn: rm Z= {bold V} over {bold I`}= it{V_m angle phi_V} over {I_m angle phi_I} = under{V_m over I_m angle phi_V -phi_I `=rm|Z| angle phi_Z`}```rm[Omega]]

- 따라서, I-V 관계 : ( Ohm's law )

[eqn: rm {bold V} = Z {bold I}`]

- 임피던스의 크기(magnitude)와 위상(phase) :

[eqn: {rm |Z| } = V_m over I_m ,~~phi_Z = phi_V - phi_I`]

[eqn: cdot]임피던스는 두 복소수의 비인 복소수이지만, 대응하는 정현파 시간영역함수가 없으므로 페이저가 아니다.

* 임피던스의 직각좌표 형식 :

[eqn: Z = R +jX``rm[Omega]]

[eqn: HOOKRIGHT] [eqn: cases{R=Re rm[Z]~:~it "resistive component, or resistance"``rm[Omega] ## X=Im rm[Z] ~:~it"reactive component, or reactance"``rm[Omega]}`]

[eqn: cdot]임피던스의 일반 표현 :

[eqn: under{{rm Z}(j omega)=R(omega) + j `X(omega)}``rm[Omega]]

[eqn: HOOKRIGHT] [eqn: cases{{rm Z=Z}(j omega)~:~rm"complex function of "it j omega` ##``` R=R(omega),``X=X(omega)~:~rm"real function of "omega`}]

[eqn: cdot]따라서,

[eqn: cases{{rm|Z|} = SQRT { R^2 +X^2 `},~phi_Z = tan^-1 X over R` ## ~R {=rm|Z|} cos phi_Z`,~X {=rm|Z|} sin phi_Z`}]

그림 8.17,

: 임피던스 삼각형

(impedance triangle)

예제 8.10) 앞의 그림 8.16에서 임피던스를 극좌표 형식과 직각좌표 형식으로 구             하라.

[eqn: <-]   [eqn: cases{{rmbold V}=10 angle rm 56.9^o```rm[V] ## ``{rm bold I}=2 angle rm20^o }]

<해>

[eqn: cases{Z = {10 ANGLE rm56.9^o} over {2 ANGLE rm20^o} = 5 ANGLE rm36.9^o ``rm[OMEGA] ~:~rm"polar form"`## Z = 5(cos rm36.9^o + it j sin rm36.9^o ) = it 4 + j`3 ``rm[OMEGA]~:~rm"rectangular form"`}]

* 저항, 인덕터 및 커패시터의 임피던스 :

[eqn: Z_R = R`]

[eqn: Z_L = j omega L = omega L ANGLE rm90^o`]

[eqn: Z_C = 1 over {j omega `C} = - j 1 over{omega `C} = 1over {omega `C} ANGLE rm-90^o`]

[eqn: cdot]유도성(inductive) 리액턴스와 용량성(capacitive) 리액턴스 : [eqn: X_L`], [eqn: X_C`]

[eqn: Z_L = j `omega L = j `X_L`][eqn: ->] [eqn: X_L = omega L`], ([eqn: X_L `>`0`])

[eqn: Z_C = 1 over {j `omega `C} = j `left(- 1 over {omega `C} right) = j `X_C`] [eqn: ->] [eqn: X_C = - 1over{omega C}`],  ([eqn: X_C `<`0`])

* 어드미턴스(admittance) :

[eqn: Y= 1 over Z = G + j B`], or [eqn: Y(j omega) = 1 over {Z (j omega)} = G`(omega) + j B(omega`)][eqn: rm[S]],[eqn: [mho]]

[eqn: HOOKRIGHT] [eqn: cases{G=Re`[Y`]~:``rmbold"conductance"``[S],[mho]` ## B=Im`[Y`]~:``rmbold"susceptance"``[S],[mho]`}]

[eqn: cdot][eqn: Y`] 성분과 [eqn: Z`] 성분 사이의 관계 :

[eqn: Y &=G+jB = 1 over Z = 1 over {R+jX}` = 1 over {R+j`X} cdot {R-jX} over {R-j`X} ##&= {R-jX} over {R^2 +X^2} = R over {R^2 + X^2} +j `left( - X over {R^2 + X^2} right)]

[eqn: THEREFORE ~~cases{G= R over {R^2 +X^2}` ## B= - X over {R^2 +X^2}`}]

예제 8.11) 다음 임피던스에 대한 어드미턴스를 구하라.

[eqn: Z = 4+j`3`]

<해>

[eqn: Y = 1 over {4+j`3} = {4-j`3} over {4^2 + 3^2 } = 4 over 25 - j `3 over 25`]

[eqn: THEREFORE ~~cases{G= 4 over 25` ## B= - 3 over 25`}]

* 저항, 인덕터 및 커패시터의 어드미턴스 :

[eqn: cases{Y_R = G` ## Y_L = 1over {j omega L}` ## Y_C = j omega C`}]

8.7 키르히호프의 법칙과 등가 임피던스

(1) Kirchhoff's Voltage Law

* 복소 여기량 [eqn: V_m `e^{j(omegat+theta)}`]를 회로에 인가하면, 회로 내의 소자들에 복소전압이 나타난다.

[eqn: cdot]루프를 따라 KVL을 적용 : KVL은 페이저에 대해서도 성립.

[eqn: sum_i=1^N V_i e^{j(omegat+theta_i )} &= V_1 e^{j(omega t + theta _1 )}+V_2 e^{j(omega t + theta _2 )}+cdots +V_N e^{j(omega t + theta _N )}` ##&= 0`]

[eqn: HOOKRIGHT] [eqn: V_1 `e^{j theta_1} + V_2 `e^{j theta_2} + ~cdots~ + V_N ``e^{j theta_N}`=0`]

[eqn: {rm bold V}_1 {+rm bold V}_2 + ~cdots~ {+rm bold V}_N = 0`]

여기서, [eqn: {rm bold V}_n = V_n `ANGLE theta_n , ~~n = 1,2, cdots, N~]

(2) Kirchhoff's Current Law

* [eqn: N``]개의 가지들이 접속된 어떤 마디에서 KCL을 적용 :

KCL은 페이저에 대해서도 성립.

[eqn: {rm bold I}_1 {+rm bold I}_2 + ~cdots~ {+rm bold I}_n = 0`]

여기서

[eqn: {rm bold I}_n = I_n ANGLE theta _n , ~~n = 1,2, cdots, N``]

예제 8.12) 직렬로 접속된 [eqn: N``]개의 임피던스를 갖는 다음 그림 8.18의 회로에서    등가 임피던스를 구하라.

<해>

[eqn: cdot]단일 페이저 전류[eqn: rmbold I`]가 각각의 소자에 흐르므로,

[eqn: {rm bold V}_1 {= Z_1 rm bold I}, {rm bold V}_2 {= Z_2 rm bold I} ,~cdots~ ,{rm bold V}_N {= Z_N rm bold I}`]

- By KVL,

[eqn: {rm bold V} &={rm bold V}_1 {+rm bold V}_2 + ~cdots~ {+rm bold V}_N ##&=under{ (Z_1 +Z_2 + cdots +Z_N `){rm bold I}`}= under{Z_eq {rm bold I}`}]

- 따라서, 등가 임피던스 :

[eqn: Z_eq = Z_1 +Z_2 + cdots +Z_N ``]

* [eqn: N``]개의 병렬 어드미턴스의 등가 어드미턴스 :

[eqn: Y_eq = Y_1 +Y_2 + cdots +Y_N ``]

[eqn: cdot]두 개의 병렬소자 ([eqn: N=2`])의 경우,

[eqn: Z_eq = 1 over Y_eq = 1 over {Y_1 + Y_2 } = {Z_1 Z_2 } over { Z_1 +Z_2 }`]

예제 8.13) 다음 그림 8.19의 [eqn: RLC`] 회로에서 망로전류 [eqn: i(t)]를 구하라.

<해>

[eqn: cdot]페이저 회로에서 KVL 적용,

[eqn: {Z_C rm bold I} + {Z_L rm bold I} + {R rm bold I} = 15 ANGLE rm0^o`] [eqn: ->] [eqn: {(2+j`4-j``5)rmboldI}=15 rm angle0^o`]

[eqn: THEREFORE ~~under{{(2-j`) rm bold I} = 15 ANGLE rm0^o`}]  [eqn: ->] [eqn: {rm bold I} = {15 rm angle 0^o} over {2-j} = 3 SQRT{5} ANGLE rm26.6^o ``rm[A]]

[eqn: THEREFORE ~~under{i(t) = 3 SQRT{5} cos(2t + rm26.6^o )}``rm[A]]

[eqn: cdot]등가 임피던스에 의해,

[eqn: cases{Z_R = R = 2` ## Z_L = j omega L=j `4` ## Z_C = 1 /j omega C =-j 5`}]  [eqn: ->]  [eqn: Z = j`4 + 2 + (-j`5) = 2 -j ``rm[OMEGA]]

[eqn: THEREFORE ~~{rm bold I} = {rm bold V} over {`Z} = {15 rm ANGLE 0^o}over{2-j} = 3 SQRT { 5} ANGLE rm26.6^o ``rm[A]]

[eqn: THEREFORE ~~under{i(t)=3 root{5} cos(2t+rm 26.6^o )``rm[A]}]

예제 8.14) 다음 그림 8.20의 회로에서 직-병렬 등가 임피던스를 사용하여  정상상태전류 [eqn: i(t)]를 구하라.

<해>

[eqn: cdot]직-병렬 등가 임피던스를 사용,

[eqn: cases{Z_1 = {3(2-j`2)} over {3+(2-j`2)} = 1.45 - j`` 0.621``rm[OMEGA] ## Z_2 = {(-j`1)(Z_1 +j`1)}over{-j`1 +(Z_1 +j`1)} = 0.583 - j``0.75``rm[OMEGA]``}]

[eqn: THEREFORE ~~Z_eq = 1over 2 + Z_2 = 1.083 - j``0.75``rm[OMEGA]]

[eqn: THEREFORE ~~{rm bold I} = {12 ANGLE rm14^o} over {Z_eq} = {12 ANGLE rm14^o} over {1.083 - j``0.75} = 9.11 ANGLE rm48.7^o``rm[A]]

[eqn: THEREFORE ~~under{i(t) = 9.11 cos (t rm+48.7^o )}`` rm[A]]

8.8 페이저 회로

* 페이저 회로(phasor circuit) :

전압과 전류를 갖는 시간영역회로를 그들의 페이저로 대치하고,

소자들은 그들의 임피던스로 나타낸 회로.

[eqn: ->] 이 회로로부터 구해지는 묘사방정식은 페이저 방정식이다.

예제 8.15) 다음 그림 8.21 (a)의 회로에서 정상상태전류 [eqn: i(t)]를 구하라.

<해>

[eqn: cdot]페이저 회로는 전압원과 전류를 그들의 페이저로 대치하고, 소자들은 그들의 임피던스로 대치함으로써 구해진다 : 그림 (b)

[eqn: cdot]전원 단자에서 본 임피던스 :

[eqn: Z = 1+ {(3+j`3) (-j`3)} over {3+j`3-j`3} =4-j`3 ``rm[OMEGA]]

[eqn: cdot]전원 단자를 통해 흐르는 전류 :

[eqn: THEREFORE ~~{rm bold I}_1 = {5 ANGLE rm0^o } over {4-j``3} = {5 ANGLE rm0^o } over {5 ANGLE rm-36.9^o }={1 ANGLE rm36.9^o }`]

[eqn: cdot]전류분배법칙에 의해,

[eqn: {rm bold I} = {3+j`3} over {3+j`3-j`3} {rm bold I}_1 = SQRT{2} ANGLE rm81.9^o ~rm[A]]

[eqn: THEREFORE ~~under{i(t) = SQRT{2} cos(3t rm+ 81.9^o ) ``rm[A]}]

예제 8.16) 종속전원을 포함하는 다음 그림 8.22 (a)의 회로에서 정상상태전류 [eqn: i(t)]를 구하라.

<해>

[eqn: cdot]대응하는 페이저 회로 : 그림 8.22 (b)

[eqn: cdot]By KCL,

[eqn: {rm bold I} + {{rmbold V}_1 `- `1 over 2 {rm bold V}_1``} over {-j `2} =3 angle rm0^o`]

[eqn: HOOKRIGHT][eqn: {-j`2 rmboldI}`+` 1 over 2 {rmboldV}_1 = {-j`2 rmboldI}+ 1 over 2 {(4 rmboldI}) =-j`6 rm angle 0^o`]

[eqn: THEREFORE ~~{rm bold I} = {-j`6} over {2-j`2} = {6 ANGLE rm-90^o } over {2 SQRT{2} ANGLE rm-45^o }= 3 over SQRT{2}} ANGLE rm-45^o ``rm[A]]

[eqn: THEREFORE ~~under{i(t) = 3 over SQRT{2} cos(4t rm-45^o )} ``rm[A]]

* Op-amp 회로 :

[eqn: cases{i = 0` ## v=0`}]   [eqn: ->]   [eqn: cases{{rm bold I}=0` ## {rm bold V}=0`}]

* 페이저 해석은 오직 안정회로(stable circuit)에서만 정상상태응답을 구하는 데 사용됨.

예제 8.17) 다음 그림 8.23 (a)의 불안정회로에서 묘사방정식과 망로전류 [eqn: i_n (t)]              및 [eqn: i_f`(t)]를 구하라.

<해>

(1) 고유응답 :

[eqn: cdot]왼쪽 루프를 따라 KVL 적용,

[eqn: i + INT _{ 0+}^{t } LEFT(i - 3v over 2 RIGHT) `d tau + v_C `(0+ ) + d over dt LEFT(i - 3v over 2 RIGHT) = 4 cos 3t`]

[eqn: cdot][eqn: v=i`] 를 대입한 후 미분,

[eqn: {d^{2} i} over {dt^{2}} - 2 di over dt +i `= -24 sin 3t`]

[eqn: cdot]특성방정식과 고유응답 :

[eqn: s^2 -2s +1 = (s-1 )^2 = 0`]  [eqn: ->]  [eqn: s_1 , ``s_2 =1`] (중근)

[eqn: THEREFORE ~~under{i_n (t)= K_1 `e^t +K_2 t ``e^t`}]

[eqn: HOOKRIGHT] 고유응답은 [eqn: t``->``inf]로 감에 따라 감쇠하지 않고 오히려 증가하므로, 회로는 정상상태응답을 가질 수 없다.

(2) 강제응답 :

[eqn: cdot]대응하는 페이저 등가회로 :

[eqn: cdot]By KVL,

[eqn: {rmboldI} + left(j`3 -j 1 over 3 right) left({rmboldI}- 3 over 2 {rmboldV} right) =4 rm angle 0^o`]

[eqn: HOOKRIGHT ~{rm bold I} + j`8 over 3 LEFT({rm bold I} - 3 over 2 {rm bold V} RIGHT) = 4 ANGLE rm0^o ``rm[V]]

[eqn: cdot][eqn: rm{bold V}={bold I}`] 를 대입,

[eqn: {rm bold I} = {4 ANGLE rm0^o } over {1-j`4/3} = 2.4 ANGLE rm53.1^o ``rm[A]]

[eqn: THEREFORE ~~under{i_f ``(t) = 2.4 cos(3t rm+53.1^o )} ``rm[A]]

* 요 약 : Self-study

Report

<문제> 8.7, 8.9, 8.13(a)(b)(d), 8.14(a)(c), 8.20, 8.31, 8.34, 8.36, 8.41, 8.47

(10 문제)