제 7 장  2차회로

1.  2계 방정식

* 2차회로에 대한 2계미분방정식의 일반형 :

[eqn: {d^{2} x } over {dt^{2}} + a_1 dx over dt + a_0 `x = f(t)],

( [eqn: a_1`,`` a_0`]: 실상수(real constant))

[eqn: cases{a~:~rm"real constant" ## x~:~rm"voltage or current" ## f`(t) ~:~rm"forcing function"}]

* 전체응답(total response)의 형태는 다음과 같다.

(고유응답 : 과도해)   (강제 응답: 정상해)

[eqn: x(t) &=x_n (t) + x_f `(t) = rmbold"natural response" + rmbold"forced response" ##&=rmbold"complementary solution" + rmbold"particular solution"]

(보조해)                  (특수해)

단, 편의상 [eqn: x_n`(t)]는 [eqn: x_n`]으로,  [eqn: x_f ``(t)]는 [eqn: x_f] 로 표기한다.

[eqn: cdot]고유응답(보조해)은 제차 미분방정식을 만족.

[eqn: {d^{2} x_n } over dt^{2} + a_1 {d`x_n} over dt + a_0 `x_n = 0`]

[eqn: cdot]강제응답은 원래의 비제차 미분방정식을 만족.

[eqn: {d^{2} x_f } over dt^{2} + a_1 {d `x_f } over dt + a_0 `x_f = f`(t)]

[eqn: cdot]전체응답(total response)은 원래의 비제차 미분방정식을 만족.

[eqn: d^{2} over dt^{2} (x_n + x_f `) + a_1 d over dt (x_n + x_f `) + a_0 (x_n + x_f `) = f`(t)]

2. 고유응답

* 고유응답 [eqn: x_n`(t)] 은 제차 미분방정식을 만족해야 한다.

[eqn: under{{d^{2} x } over dt^{2} + a_1 dx over dt + a_0 `x = 0} ~cdots~(a)]

[eqn: cdot] 고유응답에 대한 시험고유해 : [eqn: x_n (t) = K `e^st``]

- [eqn: x_n`(t)]를 식 [eqn: (a)]에 대입 [eqn: ->]  특성방정식 :

[eqn: K`s^2 `e^st + K `s `a_1 ``e^st + K `a_0 ``e^st = 0`],  or  [eqn: K `e^st `(s^2 + a_1 s + a_0 `) = 0`]

[eqn: THEREFORE ~~under{s^{2} + a_1 s + a_0 =0`}]  :   특성방정식

- 특성방정식의 해 (근의 공식) :

[eqn: s_1,2 = {-a_1 +- sqrt {a_1^2 - 4a_0 }} over 2`]

[eqn: cdot]두 개의 고유해가 구해짐 :

[eqn: cases{x_{n`1} = K_1 `e^{s_1 t`} ## x_{n`2} = K_2 `e^{s_2 t`}}]

- 두 개의 서로 다른 고유해의 선형 조합도 해.

[eqn: x_n =x_{n`1} + x_{n`2} = K_1 `e^{s_1 t} + K_2 `e^{s_2 t`}]

<증명>

[eqn: & d^{2} over dt^{2} ( x_n1 + x_n2 ) + a_1 d over dt (x_n1 + x_n2 ) + a_0 (x_n1 + x_n2 ) ## &= left({d^{2} x_n1 } over dt^{2} + a_1 {dx_n1 } over dt + a_0 `x_n1 right) + left( {d^{2} x_n2 } over dt^{2} + a_1 dx_n2 over dt + a_0 `x_n2 right) ## &= 0+0 = 0`]

예제 ) 다음의 미분방정식을 만족하는 고유해를 구하라.

[eqn: {d^{2} i_2 } over dt^{2} + 10 di_2 over dt + 16i_2 = 0`]

<해>

[eqn: s^2 + 10s + 16 =0 ~->~(s+2) (s+8)=0`]  [eqn: ->]  [eqn: s_1 =-2,~s_2 =-8`]

[eqn: THEREFORE ~~under{i_2 = K_1 `e^{s_1 t} + K_2 `e^{s_2 t} = K_1 `e^-2t + K_2 `e^-8t`}] :  일반해

[eqn: HOOKRIGHT] [eqn: i_2 (0-)] 와 [eqn: di_2 over dt (0-)]가 [eqn: K_1`] 및 [eqn: K_2`]를 구하기 위해 필요.

[eqn: cdot]여기서, [eqn: s_1`]과 [eqn: s_2`]([eqn: s_1`,~s_2`] : 실수 또는 복소수)는 회로의

특성지수(characteristic  exponent)라 한다.

* 판별식과 근의 성질 사이의 관계 :

[eqn: s^2 + a_1 s +a_0 =0`]        [eqn: <->]         [eqn: s^2 + 2 zeta omega_0 s + omega_0^2 = 0`]

[eqn: omega_0^2 =a_0`], [eqn: 2 zeta omega_0 =a_1`]로 치환

단,  [eqn: cases{omega_0 ~:~rm"undamped natural frequency" ## zeta ~`~:~ rm"damping ratio"}]

특성방정식이 [eqn: s^2 + a_1 s +a_0 =0`]인 회로는 다음과 같은 특성을 갖는다 :

. 비감쇠 고유주파수 (undamped natural frequency) :  [eqn: omega_0 = + root{a_0 `}]

. 감쇠비 (damping ratio) :  [eqn: zeta = a_1 over {2 root{a_0`}}]

. 특성지수 (characteristic exponent) :

[eqn: s_1,2 = left( -zeta +- root{zeta^2 -1} `right) omega_0 =-zeta omega_0 +- j `root{1-zeta^2} omega_0`]

[eqn: =sigma +-j omega`]

예) 다음의 특성방정식을 갖는 회로의 비감쇠 고유주파수, 감쇠비 그리고

특성지수는?

[eqn: s^2 + 2s +16 =0`]

[eqn: ->]  [eqn: cases{omega_0 = + root{16}=4` ## zeta=2/(2) (4) = 1 /4`}]

[eqn: THEREFORE ~~under{s_{1,2} = left( - 1 over 4 +- sqrt{ [-15/16] } right) (4) = -1 +- j sqrt 15`}]

예제) 다음의 병렬 RLC 회로에서 비감쇠 고유주파수와 감쇠비를 구하라.

<해> 마디방정식 :

[eqn: v over R + 1 over L int from t_0 to t v( tau) d tau + i_L (t_0 ) + C dv over dt = i_g`] :  미적분방정식

- 미분하고, [eqn: C`]로 나누면,

[eqn: {d^{2} v} over dt^{2} + 1 over RC dv over dt + 1 over LC v = 1 over C {d`i_g }over dt`] :  묘사방정식

- 특성방정식 :

[eqn: s^2 + 1 over RC s + 1 over LC = 0`]  [eqn: <->]  [eqn: s^2 + a_1 s + a_0 =0`]

[eqn: cdot]따라서, 비감쇠 고유주파수와 감쇠비 :

[eqn: omega_0 = 1 over sqrt LC`]

[eqn: zeta_p = 1 over 2R sqrt { L over C}]

[eqn: cdot]특성지수 [eqn: s_i`]  대  감쇠비 [eqn: zeta`] 의 관계식:

1) [eqn: zeta<1`]  [eqn: ->]  [eqn: D= zeta^2 -1 <0`]  [eqn: ->]  [eqn: s_1 ,s_2`] : 복소수 (켤레)      : 미흡제동

under damping

2) [eqn: zeta>1`]  [eqn: ->]  [eqn: D=zeta^2 -1>0`]  [eqn: ->]  [eqn: s_1 ,s_2`] : 서로 다른 두 실근 : 과제동

over damping

3) [eqn: zeta=1`] [eqn: ->]  [eqn: D=zeta^2 -1 =0`] [eqn: ->]  [eqn: s_1 , s_2`] : 중근              : 임계제동

critical damping

- 임계병렬저항(critical parallel resistance) : [eqn: zeta=1`]일 때의 저항

[eqn: zeta_p = 1 over 2R sqrt { L over C}] = 1 로부터,

[eqn: R_cp = 1 over 2 sqrt{ L over C`}]

[eqn: cdot]특성지수(characteristic exponent)의 일반형 :

[eqn: s = sigma + j omega`]  ([eqn: sigma`<`0`])

(1) 과제동(Overdamping)의 경우 ([eqn: zeta `>`1`]) : [eqn: R`<R_cp`]

[eqn: cdot]특성지수 :

[eqn: s_1 ,s_2 = `-zeta omega_0 +- omega_0 root{zeta^2 -1`} =sigma_1 ,sigma_2`]  (서로 다른 음의 두 실수)

[eqn: cdot]고유응답 :

[eqn: x_n (t) = K_1 `e^{ sigma_1 t} + K_2 `e^{ sigma_2 t`}]

(2) 미흡제동(Underdamping)의 경우 ([eqn: zeta<1`]) : [eqn: R`>R_cp`]

[eqn: cdot]특성지수 :

[eqn: under{s_1 ,s_2} &= `-zeta omega_0 +- omega_0 root{zeta^2 -1`} = `-zeta omega_0 +- j omega_0 root{1-zeta^2`} ##&= under{sigma +- j omega}, ~(omega neq 0 )]

[eqn: cdot]고유응답 :

[eqn: x_n (t) = e^{sigma`t} (K_1 `e^{+j omega t} +K_2 `e^{-j omega t}``)]

이 식을 정리하면

- [eqn: e^{ j omega t} = cos omega t + j `sin omega t`] 이므로,

[eqn: x_n (t)= e^{sigma`t} (K_1 e^{ +j omega t} + K_2 e^{ -j omega t}}``)]

[eqn: x_{ n } (t)=e^{ at } [K_{ 1(cos`wt+j`sin`wt)+K_{ 2(cos`wt-j`sin`wt)]#``````````````````````````````````````````````````````=`e^{ at } [(K_{ 1+K_{ 2)cos``wt]+j(K_{ 1-K_{ 2)`sin`wt]#````````````````````````````````````````````````````````=`e^{ at } [Acos``wt+B`sin`wt]`````````````````````````````````````````````````````]

단, [eqn: A=K_{ 1+K_{ 2,`````````````B=j(K_{ 1-K_{ 2)]

(3) 임계제동(Critical Damping)의 경우 ([eqn: zeta =1]) : [eqn: R=R_cp`]

[eqn: cdot]특성지수 :

[eqn: under{s_1 ,s_2`}&= `-zeta omega_0 +- omega_0 root{zeta^2 -1`} ##&= - omega_0 = under{sigma`}]

[eqn: cdot]고유응답 :  해 [eqn: x_n (t)= K_1 e^sigmat + K_2 e^sigmat =(K_1 +K_2 )e^sigmat =Ke^sigmat`] (?)

- 시험해 :  [eqn: x_n (t) = h(t)e^st`]

- [eqn: x_n (t)]를 2계 제차 미분방정식에 대입 :

[eqn: &{d^{2} x } over dt^{2} + a_1 dx over dt + a_0 `x ##&= d^{2} over dt^{2} [h(t) e^st `] +a_1 d over dt [ h(t) e^st `] + a_0 [h(t) e^st `] ##&= d over dt bigg[ dh(t) over dt e^st + h(t) s `e^st right] + a_1 bigg[dh(t) over dt e^st + h(t) s`e^st right] + a_0 `h(t) e^st` ##&= left[ {d^{2} h(t)} over dt^{2} e^st + dh(t) over dt s`e^st + dh(t) over dt s`e^st + h(t) s^2 e^st right] + a_1 dh(t) over dt e^st ##&~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~+a_1 h(t) s `e^st + a_0 `h(t) e^st` ##&= under{e^st `left[ h(t) (s^2 + a_1 s+ a_0 ) + dh(t) over dt (2s+a_1 ) + {d^{2} h(t)} over dt^{2} right] =0`}]

- [eqn: s=sigma`]가 특성방정식을 만족하므로 :

□) [eqn: s^2 + a_1 s +a_0 = (s-s_1 )(s-s_2 )=(s-sigma )^2 = s^2 -2sigma s+sigma^2 =0`]

□) [eqn: under{a_1 = -2 sigma`}]  [eqn: ->]  [eqn: under{(2s+a_1 )=2 sigma - 2 sigma =0`}]

□)  [eqn: THEREFORE ~~under{{d^{2} h(t)} over dt^{2} = 0}]  이어야 한다 [eqn: ->]  [eqn: THEREFORE ~~under{h(t) = K_1 + K_2 t`}]

- 따라서, 고유응답

[eqn: x_n (t) = K_1 `e^sigmat + K_2 `t ``e^{sigma`t`}] :  [eqn: t`]-다중형식([eqn: t`]-multiplied form)

예제) 다음의 직렬 RLC 회로에 대해 고유응답과 감쇠비 ([eqn: zeta`])를 구하라.

<해>

[eqn: cdot]KVL에 의한 망로방정식 :

[eqn: L di over dt + R i + 1 over C int_-inf^t i `dt =v_g`]

- 양변을 미분하고, [eqn: L`]로 나누면,

[eqn: L {d^{2} i} over dt^{2} + R {di} over dt + 1 over C i = {d `v_g} over dt`]

고로,   [eqn: {d^{2} i } over dt^{2} + R over L di over dt + 1 over LC i = 1 over L dv_g over dt`]

[eqn: cdot]특성방정식 :

[eqn: s^2 + R over L s + 1 over LC = 0`]  [eqn: <->]  [eqn: s^2 + 2 zeta omega_0 s + omega_0^2 = 0`]

[eqn: cdot]비감쇠 고유주파수 :

[eqn: omega_0 = 1 over sqrt{LC`}]

[eqn: cdot]감쇠비(damping ratio) :

[eqn: zeta_s = R over {2 sqrt C/L}`]

[eqn: HOOKRIGHT] 임계직렬저항 ([eqn: zeta=1`]) :    [eqn: R_{c`s} = 2 sqrt {L over C}`]

(예) 다음 직렬 RLC 회로에서 [eqn: L=1`rm[H]]이고 [eqn: C=1/4`rm[F]] 일 때, [eqn: R`]에 따라

고유해가 어떻게 변하는 가를 살펴보자.

- 비강제 방정식 :

[eqn: {d^{2} i} over dt^{2} + R di over dt + 4`i =0`]

- 특성방정식 :  [eqn: s^2 +Rs +4 = 0`] [eqn: <->]  [eqn: s^2 +a_1 +a_0 =0`]

[eqn: THEREFORE ~~cases{omega_0 = + root{a_0}=root{4}=2`rm[rad/s] ## zeta= a_1 over {2 root{a_0}} = R over {2 root{4}} = R over 4` ## s_1 ,s_2 =`-zeta omega_0 +- omega_0 root{zeta^2 -1}}]

- 임계저항 :  [eqn: R_{c`s} = 4``[Omega]]  ( for [eqn: zeta=1`])

[eqn: cdot]감쇠 특성과  [eqn: R`]과의 관계 :

(1) 과제동의 경우 : [eqn: R`>`R_cr =4``[Omega]] ([eqn: zeta>1`])

(예)  If [eqn: R=5``[Omega]],  [eqn: s^2 + Rs + 4 = s^2 + 5s + 4= under{(s+1)(s+4) =0`}].

[eqn: HOOKRIGHT] [eqn: s_1 = -1,~s_2 =-4`]

[eqn: THEREFORE ~~under{i_n (t) = K_1 `e^-t + K_2 `e^-4t`}]

(2) 임계제동의 경우 : [eqn: R=R_{c`s} =4``[Omega]] ([eqn: zeta=1`])

[eqn: s^2 + Rs + 4 = s^2 + 4s + 4=under{(s+2)^2 =0`}] [eqn: ->] [eqn: s_1 ,s_2 =-2`]

[eqn: THEREFORE ~~under{i_n = K_1 `e^-2t + K_2 ``t ``e^-2t`}]

(3) 미흡제동의 경우 : [eqn: R`<`R_{c`s} =4``[Omega]] ([eqn: zeta`<`1`])

(예)  If [eqn: R=2``[Omega]],  [eqn: s^2 + 2s + 4= under{(s+1-j root3 `)`(s+1+j root3 `) =0`}]

[eqn: HOOKRIGHT][eqn: s_1 = -1 +j root3`,~s_2 =-1 -j root3`]

[eqn: THEREFORE ~~under{i_n (t)= K_1 `e^-t cos sqrt {3`}t `+ K_2 `e^-t sin sqrt {3`}t`}]

(4) 비감쇠(undamping)의 경우 : [eqn: R=0`] ([eqn: zeta=0`])

[eqn: s^2 + Rs + 4 = s^2 + 4=under{(s-j``2)(s+j``2) =0`}]

[eqn: HOOKRIGHT] [eqn: s_1 = j``2`,~s_2 = -j``2`]

[eqn: THEREFORE ~~under{i_n = B_1 cos 2t + B_2 sin 2t`}]  (oscillation: 진동)

[eqn: cdot]2차회로의 고유응답 그래프:

( oscillation )

- 임계제동회로가 정상상태(예: [eqn: 1`rm[V]] )에 가장 빠르게 수렴함을 보여준다.

예제 ) 다음 병렬 RLC 회로에서,[eqn: R=5/3 ``[Omega]],[eqn: L=2``rm[H]],[eqn: C= 1/10 ``rm[F]] 라 하자

단, [eqn: v(0-)=4`rm[V]], [eqn: i_L (0-)=0`] 및 [eqn: i_g (t) =0`]일 때 [eqn: v(t)]를 구하시오

<해>

* 독립전원이 없으므로 (ig = 0), 오직 고유응답만 존재.

[eqn: cdot]묘사방정식 :

[eqn: v over R + 1 over L int_-inf^t v `dt + C dv over dt =i_g`]

[eqn: THEREFORE ~~{d^{2} v} over dt^{2} + 1 over RC dv over dt + 1 over LC v = 1 over C di_g over dt`]

따라서     [eqn: {d^{2} v} over dt^{2} + 6 dv over dt + 5v =0`]

- 특성방정식 :  [eqn: s^2 +6s +5 =under{(s+1)(s+5)=0`}]

[eqn: HOOKRIGHT] [eqn: s_1 =-1, ~s_2 =-5`]

* 고유응답 :

[eqn: v(t) = K_1 `e^-t + K_2 `e^-5t`]   (일반해 : 과제동의 경우)

[eqn: cdot][eqn: v(0+)]와 [eqn: dv over dt bigg|_0+]로 부터 [eqn: K_1`]과 [eqn: K_2`]를 결정 : (미정계수 2개 - 방정식 2개)

i) [eqn: v(0+)=4`rm[V]]

ii) 주어진 회로에 KCL을 적용하여 [eqn: dv over dt bigg|_0+]를 구하면,

[eqn: v(0) over R + 1 over L int_-inf^0 v(0) `dt + C dv(0) over dt =i_g`(0)]  : t=0  에서

[eqn: 1 over R v(0) + i_L (0) + C dv(0) over dt =0`]

[eqn: ->] [eqn: 3 over 5 v(0) + i_L(0) + 1 over 10 dv(0) over dt = 0`]

[eqn: HOOKRIGHT] At [eqn: t=0+],

[eqn: 3 over 5 (4) + 0 + 1 over 10 dv over dt bigg|_0+ = 0`]

[eqn: THEREFORE ~~dv over dt bigg|_0+ = -24` rm[V/s]]

- 따라서,

[eqn: cases{v(0+) = 4 = K_1 + K_2` ## dv over dt bigg|_0+ = -24 =-K_1 -5K_2`#}]

[eqn: ->] [eqn: under{K_1 =-1 , ~K_2 =5`}]

[eqn: THEREFORE ~~under{v(t) = 5 e^-5t - e^-t} ``rm[V]]  :  완전해

3. 강제응답

* 일반 2차회로의 강제응답 [eqn: x_f ``(t)]는 원래의 강제미분방정식을 만족해야 한다.

[eqn: {d^{2} x_f } over dt^{2} + a_1 {d`x_f} over dt + a_0 `x_f = f`(t)]

예제) 다음의 회로에서 [eqn: v_g =16``rm[V]]일 때, [eqn: i_2 (t)]의 전체(일반)해를 구하라.

<풀이 1> 예제 7.1로부터,  묘사방정식 :

[eqn: under{{d^{2} i_2} over dt^{2} + 10 di_2 over dt + 16`i_2 = 32} ~cdots~ (1)]

[eqn: cdot]고유응답 :

[eqn: s^2 +10s +16 = (s+2)(s+8) = 0`]  [eqn: ->]  [eqn: s_1 =-2 ,~s_2 =-8`]

[eqn: THEREFORE ~~under{i_2n (t) = K_1 `e^-2t + K_2 `e^-8t`}]

[eqn: cdot]강제응답 :

if [eqn: i_2f = A`] : 시험함수

(1) 식에서 : [eqn: 0 + 0 + 16 cdot A = 32`]  [eqn: ->]  [eqn: THEREFORE ~~under{A=2`}]

[eqn: cdot]완전해 (일반해) : 초기조건이 없음

[eqn: under{i_2 = i_2n + i_2f = K_1 `e^-2t + K_2 `e^-8t + 2`}]

<풀이 2> 회로도로부터 직접 강제해를 구할 수도 있다. [eqn: ->] 강제해는 직류정상

상태의 값과 같아야 한다. (인덕터는 단락회로로, 커패시터는 개방회로로 대치)

[eqn: ->]  [eqn: i_2f = v_g over 8 = 16 over 8 = 2``rm[A]]

예제 ) 그림 7.1의 회로에서 [eqn: v_g =20cos 4 t ``rm[V]]일 때 [eqn: i_2 (t)]의 전체(일반) 해를

구하라.

<해> 예제 7.1로부터,

[eqn: under{{d^{2} i_2} over dt^{2} + 10 di_2 over dt + 16i_2 = 2v_g =40cos4t} ~cdots~ (1)]

[eqn: cdot]강제응답 :  시험강제함수를 식 (1)에 대입,

[eqn: i_2f = A{rm cos}4t +B{rm sin}4t`]  [eqn: ->]  (1)

[eqn: 40B{rm cos}4t - 40A{rm sin}4t = 40 cos 4t~] [eqn: ->] [eqn: cases{40B = 40` ## -40A =0`}] [eqn: ->] [eqn: cases{A=0` ## B=1`}]

[eqn: THEREFORE ~~under{i_2f = 0 cdot cos 4t +1 cdot sin 4t = sin4t`}]

[eqn: cdot]고유응답 :

[eqn: {d^{2} i_2} over dt^{2} + 10 di_2 over dt + 16i_2 =0`]  [eqn: ->]  [eqn: s^2 + 10s + 16 = (s+2)(s+8) =0`]

[eqn: HOOKRIGHT] [eqn: s_1 =-2,~s_2 =-8`]

[eqn: THEREFORE ~~under{i_2n (t) =K_1 `e^-2t + K_2 `e^-8t`}] :  (과제동)

[eqn: cdot]전체(일반)해 :

[eqn: under{i_2 = i_2n + i_2f = K_1 `e^-2t + K_2 `e^-8t + sin4t`}]

* 일반 강제함수 [eqn: f(t)]와 이에 대응하는 시험강제해 [eqn: x_f `(t)] :

표 7.1  일반 강제함수에 대한 시험강제해.

강제항 [eqn: f`(t)]	시험강제해 [eqn: x_f `(t)]
[eqn: k`]	[eqn: A`]
[eqn: t`]	[eqn: At+B`]
[eqn: t^{2}`]	[eqn: At^{2} +B`t +C`]
[eqn: t^{n}`]	[eqn: At^{n} +Bt^{n-1} + cdots + F`t +G`]
[eqn: e^{sigma t`}]	[eqn: Ae^{sigma t`}]
[eqn: e^st`]	[eqn: Ae^st`]
[eqn: sin omega t, cos omega t`]	[eqn: A sin omega t + B cos omega t`]
[eqn: e^{sigma t} sin omega t, e^{sigma t} cos omega t`]	[eqn: e^{sigma t} ( A sin omega t + B cos omega t`)]
[eqn: t `e^{sigma t} sin omega t, t `e^{sigma t} cos omega t`]	[eqn: & t `e^{sigma t} (A sin omega t +B cos omega t`) #& ~~~+e^{sigma t} (C sin omega t + D cos omega t`)]

예제) 중첩원리를 사용하여 다음 방정식의 강제응답을 구하라.

[eqn: {d^{2} i} over dt^{2} + 3 di over dt + 2i =4+ 60e^-7t`]

<해>

[eqn: cdot][eqn: i_{f ``1}]과 [eqn: i_{f```2}]를 다음 두 식을 만족하는 강제응답의 두 성분이라 두자.

[eqn: cases{{d^{2} i_f1} over dt^{2} + 3 di_f1 over dt + 2i_f1 =4 ~cdots~ (1) ## {d^{2} i_f2} over dt^{2} + 3 di_f2 over dt + 2i_f2 =60 e^-7t ~cdots~ (2)}]

[eqn: cdot]시험함수를 사용하여 강제응답을 구하면 :

(1) [eqn: i_{f``1} = A`] [eqn: ->] 식 (1)  :  [eqn: 2A= 4]  [eqn: ->] [eqn: A=2`]    [eqn: THEREFORE ~~ under{i_{f``1} =2`rm[A]}]

(2) [eqn: i_{f``2} =B e^-7t`] [eqn: ->] 식 (2)  :  [eqn: B`e^-7t `[49-3(7) +2] = 60`e^-7t~] [eqn: ->] [eqn: B=2`]

[eqn: THEREFORE ~~ under{i_{f``2} =2`e^-7t`}]

(3) 따라서,  [eqn: under{i_f =i_f1 + i_f2 = 2 + 2e^-7t~}]

* 지금까지, 시험고유해와 시험강제해는 서로 완전히 독립적으로 선정되었다.

* 고유해의 형식은 묘사방정식의 좌변에만 종속되었고,

반면에 강제해는 우변 [[eqn: f(t)] 자신 ]에만 종속되었다.

* 시험고유해 및 시험강제해 형식이 독립적으로 결정될 수 없는 하나의 조건이 있다.

* 다음 묘사방정식에서, 시험강제해는 고유해 내의 한 항과 일치한다.

[eqn: {d^{2} v} over dt^{2} + 3 dv over dt + 2v=6`e^-t`]

[eqn: cdot]고유해 :  [eqn: s^2 +3s +2 = (s+1)(s+2) = 0`] [eqn: ->]  [eqn: s_1 =-1,~s_2 =-2`]

[eqn: THEREFORE ~~under{v_n (t)= K_1 `e^-t + K_2 `e^-2t`}]

[eqn: cdot]강제해 : [eqn: f(t)=6`e^-t`]이므로,  시험해가 [eqn: v_f `(t)= A`e^-t`] 가 된다. 그러나,         [eqn: under{v_n `(t)}]와 같은 형식이고,  묘사방정식에 대입하면  0 = 0 의 수식이 되므로,

강제방정식의 해가 될 수 없다.

□ 시험강제해를 [eqn: t`]-다중형식인 [eqn: under{v_f `(t)= A`t``e^-t`}] 로 한 차수 높여서

사용해야만 한다.

- [eqn: under{v_f `(t)= A`t``e^-t`}] 로 부터 다음의 도함수들을 구해서 묘사방정식에 대입,

[eqn: cases{dv_f over dt = A`e^-t - A`t`e^-t` ## {d^{2} v_f} over dt^{2} = -A`e^-t + A`t`e^-t - A`e^-t`}]

그러면,

[eqn: A`e^-t `(-2+3) = 6`e^-t`]  [eqn: ->]  [eqn: A=6`]

[eqn: THEREFORE ~~under{v_f `(t)= 6`t`e^-t`}]

[eqn: cdot]전체(일반)해 :   [eqn: v(t) = v_n (t) + v_f `(t) = K_1 `e^-t + K_2 `e^-2t + 6`t`e^-t`]

시험강제해가 고유해의 한 항과 일치할 때는 [eqn: t`]-다중 시험강제해가 필요.

그래도 여전히  일치하는 항이 있으면  다시  [eqn: t`]-다중을 하여,  일치하는

항이 없을 때까지 계속.

예제 ) 다음 미분방정식에 대한 전체해(total solution)를 구하라.

[eqn: {d^{2} v} over dt^{2} = f(t)]

<해>

[eqn: cdot]고유해 :

- 특성방정식 : [eqn: s^2 =0`] [eqn: ->] [eqn: s_1 =s_2 =0`]  (중근)

[eqn: THEREFORE ~~under{v_n (t)= K_1 `e^st + K_2 `t`e^st = K_1 + K_2 `t`}]

[eqn: cdot]강제해 :

(1) If [eqn: f(t)=2`],  [eqn: {d^{2} v} over dt^{2} =2`]

- 시험강제해 :  [eqn: v_f `(t)=A`]

- 이는 [eqn: v_n (t)]의 한 항 ([eqn: K_1`])에 일치하므로, [eqn: t`]-다중 [eqn: v_f `(t)]는,  [eqn: v_f `(t)=At`]

- 이것 또한 [eqn: v_n (t)]의 한 항([eqn: K_2 `t`] )에 일치하므로, 다시 [eqn: t`]-다중한 [eqn: under{v_f `(t)= A`t^{2}`}]

- [eqn: under{v_f `(t)= A`t^{2}`}] 를 강제미분방정식에 대입,

[eqn: 2A = 2`]  [eqn: ->]  [eqn: A=1`]  [eqn: ->]  [eqn: THEREFORE ~~under{v_f `(t)=t^{2}`}]

[eqn: cdot][eqn: f(t)=2`]에 대한 전체해(total solution) :

[eqn: under{v(t) = v_n (t) + v_f `(t) = K_1 + K_2 `t +t^{2}`}]

(2) If [eqn: f(t)=t`],  [eqn: {d^{2} v} over dt^{2} =t`]

시험강제해 : [eqn: v_f `(t)=At +B`]

- 이는 [eqn: v_n (t)]의 항들과 일치하므로, 새로운 시험해 형식을 구하기 위해 [eqn: t`]-다중.     ([eqn: t`]-다중 형식에서 오직 더 높은 차의 항만 유지될 필요가 있다)

[eqn: v_f `(t)=At^{2}`], ( 더 이상 [eqn: v_n (t)] 내의 항과 일치하지 않음 )

- 그러나, 이는 강제미분방정식을 만족하지 않음 :

[eqn: {d^{2} v_f} over dt^{2} = d^{2} over dt^{2} (At^{2} ) = 2A` neq t`]

- 따라서 한번 더 최종 [eqn: t`]-다중이 필요 : [eqn: under{v_f `(t)=At^{3}`}]

[eqn: ->] 이는 강제미분방정식을 만족.

[eqn: d^{2} over dt^{2} (At^{3} `) = 6At`]

- [eqn: {d^{2} v(t)} over dt^{2} =f(t) =t`]와 비교,   □ [eqn: A= 1 over 6`]

[eqn: under{v_f `(t)= 1 over 6 t^{3}`}]

[eqn: cdot][eqn: f(t)=t`] 에 대한 전체해(total solution) :

[eqn: v(t) = K_1 + K_2 `t + 1 over 6 t^{3}`]

4. 전체응답 (Total Response)

* 전체(일반)응답 내의 미지상수들을 결정하기 위해, 인덕터 전류 또는 커패시터 전압의 두 개의 초기조건이 사용.

예) 다음의 직렬 RLC 회로에서, [eqn: v_C (0) =-6`rm[V]]이고 [eqn: i(0) =1`rm[A]] 일 때,

전류 [eqn: i(t)]를 구하라.

<해>

[eqn: cdot]KVL에 의한 망로방정식 :

[eqn: 5i + 4 int_0^t i(tau) d tau + v_C (0) + di over dt = 2 e^-2t`]

- 미분,

[eqn: {d^{2} i} over dt^{2} + 5 di over dt + 4i = -4e^-2t ~cdots~ (1)]

- 특성방정식 : [eqn: s^2 +5s +4 = (s+1)(s+4) = 0]

[eqn: HOOKRIGHT] [eqn: s_1 =-1,~s_2 =-4`]  (과제동)

[eqn: cdot]고유응답 : [eqn: i_n = K_1 `e^-t + K_2 `e^-4t`]

[eqn: cdot]강제응답 :

- 시험강제해 [eqn: i_f `(t)=Ae^-2t`]를 식 (1)에 대입,

[eqn: (4-10+4)Ae^-2t = -4e^-2t~] [eqn: ->]  [eqn: A=2`]

[eqn: THEREFORE ~~under{i_f `(t)=2e^-2t`}]

[eqn: cdot]전체응답(total response) : [eqn: under{i(t) = i_n (t)+ i_f `(t)= K_1 `e^-t + K_2 `e^-4t + 2`e^-2t`}]

- 초기조건을 이용하여 [eqn: K_1`]과 [eqn: K_2`] 결정 :

[eqn: cases{i(0) = K_1 + K_2 +2` ## di over dt bigg|_t=0 = -K_1 - 4K_2 -4` #}]

[eqn: HOOKRIGHT] 이 두 방정식은 초기조건 [eqn: i(0)]와 [eqn: di(t) over dt bigg|_t=0`]를 알면

[eqn: K_1`]과 [eqn: K_2`]를 결정하는 데 사용.

① [eqn: i(0)] : 주어진 값 [eqn: ->] [eqn: i(0)=1`rm[A]]

② [eqn: di(t) over dt bigg|_t=0`] :  원래의 KVL 방정식에서 구함.

즉, [eqn: left[ 5`i(t) + 4 int_0^t i(tau) d tau + v_C (0) + {d`i(t)} over dt bigg]_t=0 = left[2 `e^-2t` right]_t=0`]

[eqn: 5`i(0) + di(t) over dt bigg|_{t=0} + v_C (0) =2`]

[eqn: THEREFORE ~~di over dt bigg|_t=0 &= 2 -v_C (0) -5 i(0)=2 +6 -5 cdot 1 = 3 ~~ ##&( BECAUSE ~v_C (0)=-6`rm[V])]

[eqn: THEREFORE ~~cases{K_1 + K_2 =-1` ## -K_1 -4 K_2 =7`}] [eqn: ->] [eqn: under{K_1 =1,~K_2 =-2`}]

[eqn: cdot]완전해 : [eqn: under{i(t) = e^-t -2 e^-4t + 2e^-2t ```rm[A]}]