제 7 장  2차회로

* 차례

7.1 두 개의 저장소자를 가진 회로

7.2 2계 방정식

7.3 고유응답

7.4 강제응답

7.5 전체응답

7.6 단위스텝응답

* 2차회로 : 두 개의 저장소자를 포함 → 2계 미분 방정식

7.1 두 개의 저장소자를 가진 회로

* 하나의 인덕터와 하나의 커패시터, 또는 직렬/병렬 등가 단일소자로 나타낼 수 없는 동일 종류의 두 소자를 포함하는 회로는  2계미분방정식으로 나타내어진다.

예제 7.1) 다음 회로가 2차회로임을 보여라.

(1) 두 개의 인덕터를 가진 회로 : 그림 7.1

<해>

[eqn: cdot]망로방정식 :

[eqn: cases{2 di_1 over dt + 12 `i_1 - 4 `i_2 = v_g ~cdots~ (1) ## -4i_1 + di_2 over dt + 4 i_2 = 0 ~cdots~ (2)}]

- 식 (2)로 부터,

[eqn: i_1 = 1 over 4 left ( di_2 over dt + 4 i_2 right)]

[eqn: THEREFORE ~~di_1 over dt = 1 over 4 left ( {d^{2} i_2 } over {d `t^{2}} + 4 di_2 over dt right)]

- [eqn: i_1`]과 [eqn: di_1 over dt`]를 식 (1)에 대입,

[eqn: 2 cdot left[ 1 over 4 left( {d^{2} i_2} over dt^{2}} + 4 di_2 over dt right) right] + 12 cdot left[ 1 over 4 left( di_2 over dt + 4 i_2 right) right]-4i_2 =v_g`]

[eqn: {d^{2} i_2} over dt^{2} + 10 di_2 over dt + 16i_2 = 2 v_g`]  :  2차회로

[eqn: HOOKRIGHT] 묘사방정식(describing equation)

(2) 하나의 인덕터와 하나의 커패시터를 가진 회로 (직렬 RLC 회로) : 그림 7.2

[eqn: cdot]KVL에 의한 망로방정식 :

[eqn: R`i + 1 over C int from t_0 to t i ( tau ) d tau + v_C (t_0 ) + L di over dt = v_g`]

- 미분하고, [eqn: L`]로 나누면,

[eqn: {d^{2} i } over dt^{2} + R over L di over dt + 1 over LC i = 1 over L dv_g over dt`]

(3) 예외 : 두 개의 저장소자를 가진 1차회로 : 그림 7.3

[eqn: cdot]마디방정식 :

[eqn: cases{C_1 dv_1 over dt + 1 over R_1 (v_1 -v_g )=0` ## C_2 dv_2 over dt + 1 over R_2 (v_2 -v_g )=0`}] [eqn: ->] [eqn: cases{dv_1 over dt + v_1 = v_g` ## dv_2 over dt + 2 v_2 = 2 v_g`}]

[eqn: HOOKRIGHT] 비결합 1계 미방

(2차회로가 아님)

7.2 2계 방정식

* 1차회로에 대한 1계미분방정식의 일반형 :

[eqn: dx over dt + ax = f(t)]  : 1계 미방

[eqn: cases{a~:~rm"real constant" ## x~:~rm"voltage or current" ## f`(t) ~:~rm"forcing function"}]

* 2차회로에 대한 2계미분방정식의 일반형 :

[eqn: {d^{2} x } over {dt^{2}} + a_1 dx over dt + a_0 `x = f(t)],  ([eqn: a_1`,`` a_0`] : 실상수(real constant))

* 전체응답(total response)은 강제미분방정식을 만족.

[eqn: x(t) &=x_n (t) + x_f `(t) = rmbold"natural response" + rmbold"forced response" ##&=rmbold"complementary solution" + rmbold"particular solution"]

(보조해)                  (특수해)

[eqn: cdot]고유응답(보조해)은 비강제(제차) 미분방정식을 만족.

[eqn: {d^{2} x_n } over dt^{2} + a_1 {d`x_n} over dt + a_0 `x_n = 0`]

[eqn: cdot]강제응답은 원래의 강제미분방정식을 만족.

[eqn: {d^{2} x_f } over dt^{2} + a_1 {d `x_f } over dt + a_0 `x_f = f`(t)]

[eqn: cdot]전체응답(total response)은 원래의 강제미분방정식을 만족.

[eqn: d^{2} over dt^{2} (x_n + x_f `) + a_1 d over dt (x_n + x_f `) + a_0 (x_n + x_f `) = f`(t)]

7.3 고유응답

* 고유응답 [eqn: x_n`] ([eqn: x=x_n + x_f`] )은 비강제 미분방정식을 만족해야 한다.

[eqn: under{{d^{2} x } over dt^{2} + a_1 dx over dt + a_0 `x = 0} ~cdots~(a)]

[eqn: cdot]시험고유해 : [eqn: x_n (t) = K `e^st``]

- [eqn: x_n`(t)]를 식 [eqn: (a)]에 대입 [eqn: ->]  특성방정식 :

[eqn: K`s^2 `e^st + K `s `a_1 ``e^st + K `a_0 ``e^st = 0`],  or  [eqn: K `e^st `(s^2 + a_1 s + a_0 `) = 0`]

[eqn: THEREFORE ~~under{s^{2} + a_1 s + a_0 =0`}]  :   특성방정식

- 특성방정식의 해 (근의 공식) :

[eqn: s_1,2 = {-a_1 +- sqrt {a_1^2 - 4a_0 }} over 2`]

[eqn: cdot]두 개의 고유해가 구해짐 :

[eqn: cases{x_{n`1} = K_1 `e^{s_1 t`} ## x_{n`2} = K_2 `e^{s_2 t`}}]

- 두 개의 서로 다른 고유해의 선형 조합도 해.

[eqn: x_n =x_{n`1} + x_{n`2} = K_1 `e^{s_1 t} + K_2 `e^{s_2 t`}]

<증명>

[eqn: & d^{2} over dt^{2} ( x_n1 + x_n2 ) + a_1 d over dt (x_n1 + x_n2 ) + a_0 (x_n1 + x_n2 ) ## &= left({d^{2} x_n1 } over dt^{2} + a_1 {dx_n1 } over dt + a_0 `x_n1 right) + left( {d^{2} x_n2 } over dt^{2} + a_1 dx_n2 over dt + a_0 `x_n2 right) ## &= 0+0 = 0`]

예제 7.2) 다음 미분방정식을 만족하는 고유해를 구하라.

[eqn: {d^{2} i_2 } over dt^{2} + 10 di_2 over dt + 16i_2 = 0`]

<해>

[eqn: s^2 + 10s + 16 =0 ~->~(s+2) (s+8)=0`]  [eqn: ->]  [eqn: s_1 =-2,~s_2 =-8`]

[eqn: THEREFORE ~~under{i_2 = K_1 `e^{s_1 t} + K_2 `e^{s_2 t} = K_1 `e^-2t + K_2 `e^-8t`}] :  일반해

[eqn: HOOKRIGHT] [eqn: i_2 (0-)] 와 [eqn: di_2 over dt (0-)]가 [eqn: K_1`] 및 [eqn: K_2`]를 구하기 위해 필요.

[eqn: cdot][eqn: s_1`]과 [eqn: s_2`]([eqn: s_1`,~s_2`] : 실수 또는 복소수)는 회로의 특성지수(characteristic         exponent)라 한다.

* 판별식과 근의 성질 사이의 관계 :

[eqn: s^2 + 2 zeta omega_0 s + omega_0^2 = 0`]  [eqn: <->]  [eqn: s^2 + a_1 s +a_0 =0`]

여기서

[eqn: cases{omega_0 ~:~rm"undamped natural frequency" ## zeta ~`~:~ rm"damping ratio"}]

- [eqn: s^2 + a_1 s + a_0 =0`]와 비교하면,  [eqn: omega_0^2 =a_0`] and [eqn: 2 zeta omega_0 =a_1`].

[eqn: cdot]따라서, [eqn: s_1`]과 [eqn: s_2`]는 [eqn: omega_0`]와 [eqn: zeta`]의 항으로 표현 가능 :

특성방정식이 [eqn: s^2 + a_1 s +a_0 =0`]인 회로는 다음과 같은 특성을 갖는다 :

비감쇠 고유주파수 (undamped natural frequency) :  [eqn: omega_0 = + root{a_0 `}]

감쇠비 (damping ratio) :  [eqn: zeta = a_1 over {2 root{a_0`}}]

특성지수 (characteristic exponent) :

[eqn: s_1,2 = left( -zeta +- root{zeta^2 -1} `right) omega_0 =-zeta omega_0 +- j `root{1-zeta^2} omega_0`]

[eqn: =sigma +-j omega`]

예) 다음 특성방정식을 갖는 회로의 특성지수 :

[eqn: s^2 + 2s +16 =0`]  [eqn: ->]  [eqn: cases{omega_0 = + root{16}=4` ## zeta=2/(2) (4) = 1 /4`}]

[eqn: THEREFORE ~~under{s_{1,2} = left( - 1 over 4 +- sqrt{ [-15/16] } right) (4) = -1 +- j sqrt 15`}]

예제 7.3) 다음 그림 7.4의 병렬 RLC 회로에서 비감쇠 고유주파수와 감쇠비를 구하라.

<해>

[eqn: cdot]마디방정식 :

[eqn: v over R + 1 over L int from t_0 to t v( tau) d tau + i_L (t_0 ) + C dv over dt = i_g`] :  미적분방정식

- 미분하고, [eqn: C`]로 나누면,

[eqn: {d^{2} v} over dt^{2} + 1 over RC dv over dt + 1 over LC v = 1 over C {d`i_g }over dt`] :  묘사방정식

- 특성방정식 :

[eqn: s^2 + 1 over RC s + 1 over LC = 0`]  [eqn: <->]  [eqn: s^2 + a_1 s + a_0 =0`]

[eqn: cdot]따라서, 비감쇠 고유주파수와 감쇠비 :

[eqn: omega_0 = 1 over sqrt LC`]

[eqn: zeta_p = 1 over 2R sqrt { L over C}]

[eqn: cdot]특성지수 [eqn: s_i`]  대  감쇠비 [eqn: zeta`] :

1) [eqn: zeta<1`]  [eqn: ->]  [eqn: D= zeta^2 -1 <0`]  [eqn: ->]  [eqn: s_1 ,s_2`] : 복소수 (켤레)      : 미흡제동

2) [eqn: zeta>1`]  [eqn: ->]  [eqn: D=zeta^2 -1>0`]  [eqn: ->]  [eqn: s_1 ,s_2`] : 서로 다른 두 실근 : 과제동

3) [eqn: zeta=1`] [eqn: ->]  [eqn: D=zeta^2 -1 =0`] [eqn: ->]  [eqn: s_1 , s_2`] : 중근              : 임계제동

- 임계병렬저항(critical parallel resistance) : [eqn: zeta=1`]일 때의 저항

[eqn: R_cp = 1 over 2 sqrt{ L over C`}]

[eqn: cdot]특성지수(characteristic exponent)의 일반형 :

[eqn: s = sigma + j omega`]  ([eqn: sigma`<`0`])

(1) 과제동(Overdamping)의 경우 ([eqn: zeta `>`1`]) : [eqn: R`<R_cp`]

[eqn: cdot]특성지수 :

[eqn: s_1 ,s_2 = `-zeta omega_0 +- omega_0 root{zeta^2 -1`} =sigma_1 ,sigma_2`]  (서로 다른 음의 두 실수)

[eqn: cdot]고유응답 :

[eqn: x_n (t) = K_1 `e^{ sigma_1 t} + K_2 `e^{ sigma_2 t`}]

(2) 미흡제동(Underdamping)의 경우 ([eqn: zeta<1`]) : [eqn: R`>R_cp`]

[eqn: cdot]특성지수 :

[eqn: under{s_1 ,s_2} &= `-zeta omega_0 +- omega_0 root{zeta^2 -1`} = `-zeta omega_0 +- j omega_0 root{1-zeta^2`} ##&= under{sigma +- j omega}, ~(omega neq 0 )]

[eqn: cdot]고유응답 :

[eqn: x_n (t) = e^{sigma`t} (K_1 `e^{+j omega t} +K_2 `e^{-j omega t}``)]

- 순전히 실수소자법칙과 전원을 가진 실제회로에서, [eqn: x_n (t)]는 실수.

실수 [eqn: x_n (t)]에 대해, [eqn: K_1`]과 [eqn: K_2`]는 켤레복소수.

[eqn: x_n (t)= (K_1 e^{ +j omega t} + K_1`^* e^{ -j omega t}}``) e^{sigma`t} = 2 Re left{K_1 e^{+j omega t} ``right} e^{sigma`t`}]

- [eqn: e^{ j omega t} = cos omega t + j `sin omega t`] 이므로,

[eqn: Re `left{K_1 `e^{+j omega t} ``right} &= Re `left{ [Re(K_1 ) + j`Im(K_1 )]`[cos omega t + j` sin omega t]`right} ##&= Re`(K_1 ) cos omega t - Im`(K_1 ) sin omega t`]

- 만약 [eqn: cases{Re`(K_1 ) = 1 over 2 B_1 ~rm"or"~ it B_1 = 2 `Re `(K_1 ) ## Im`(K_1 ) = 1 over 2 B_2 ~rm"or"~ it B_2 = 2 `Im`(K_1 )}] 라 두면,

[eqn: Re `left{K_1 `e^{+j omega t} ``right} &= 1 over 2 B_1 cos omega t - 1 over 2 B_2 sin omega t`]

[eqn: THEREFORE ~~ x_n (t) =2 Re `left{ K_1 `e^{+j omega t} ``right} `e^{sigma t`} = B_1 e^{sigma t} cos omega t - B_2 `e^{sigma t} sin omega t`]

- [eqn: -B_2`]를 [eqn: B_2`]로 대치하면,

[eqn: x_n (t) = B_1 e^sigmat cos omega t + B_2 `e^sigmat sin omega t`]

(3) 임계제동(Critical Damping)의 경우 ([eqn: zeta =1]) : [eqn: R=R_cp`]

[eqn: cdot]특성지수 :

[eqn: under{s_1 ,s_2`}&= `-zeta omega_0 +- omega_0 root{zeta^2 -1`} ##&= - omega_0 = under{sigma`}]

[eqn: cdot]고유응답 :  해 [eqn: x_n (t)= K_1 e^sigmat + K_2 e^sigmat =(K_1 +K_2 )e^sigmat =Ke^sigmat`] (?)

- 시험해 :  [eqn: x_n (t) = h(t)e^st`]

- [eqn: x_n (t)]를 2계 제차미분방정식에 대입 :

[eqn: &{d^{2} x } over dt^{2} + a_1 dx over dt + a_0 `x = d^{2} over dt^{2} [h(t) e^st `] +a_1 d over dt [ h(t) e^st `] + a_0 [h(t) e^st `] ##&~~= d over dt bigg[ dh(t) over dt e^st + h(t) s `e^st right] + a_1 bigg[dh(t) over dt e^st + h(t) s`e^st right] + a_0 `h(t) e^st` ##&~~= left[ {d^{2} h(t)} over dt^{2} e^st + dh(t) over dt s`e^st + dh(t) over dt s`e^st + h(t) s^2 e^st right] + a_1 dh(t) over dt e^st ##&~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~+a_1 h(t) s `e^st + a_0 `h(t) e^st` ##&~~= under{e^st `left[ h(t) (s^2 + a_1 s+ a_0 ) + dh(t) over dt (2s+a_1 ) + {d^{2} h(t)} over dt^{2} right] =0`}]

- [eqn: s=sigma`]가 특성방정식을 만족하므로 :

[eqn: s^2 + a_1 s +a_0 = (s-s_1 )(s-s_2 )=(s-sigma )^2 = s^2 -2sigma s+sigma^2 =0`]

[eqn: under{a_1 = -2 sigma`}]  [eqn: ->]  [eqn: under{(2s+a_1 )=2 sigma - 2 sigma =0`}]

[eqn: THEREFORE ~~under{{d^{2} h(t)} over dt^{2} = 0}]  [eqn: ->]  [eqn: THEREFORE ~~under{h(t) = K_1 + K_2 t`}]

- 따라서, 고유응답

[eqn: x_n (t) = K_1 `e^sigmat + K_2 `t ``e^{sigma`t`}] :  [eqn: t`]-다중형식([eqn: t`]-multiplied form)

예제 7.4) 앞의 그림 7.2의 직렬 RLC 회로에 대해 고유응답 대 감쇠비 ([eqn: zeta`])를 구   하라.

<해>

[eqn: cdot]묘사방정식 : by KVL,

[eqn: L di over dt + R i + 1 over C int_-inf^t i `dt =v_g`]  [eqn: ->]  [eqn: L {d^{2} i} over dt^{2} + R {di} over dt + 1 over C i = {d `v_g} over dt`]

[eqn: THEREFORE ~~under{{d^{2} i} over {dt^{2}} + R over L di over dt + 1 over LC i = 1 over L dv_g over dt`}]

[eqn: cdot]특성방정식 :

[eqn: s^2 + R over L s + 1 over LC = 0`]  [eqn: <->]  [eqn: s^2 + 2 zeta omega_0 s + omega_0^2 = 0`]

[eqn: cdot]비감쇠 고유주파수 :

[eqn: omega_0 = 1 over sqrt{LC`}]

[eqn: cdot]감쇠비(damping ratio) :

[eqn: zeta_s = R over {2 sqrt C/L}`]

[eqn: HOOKRIGHT] 임계직렬저항 ([eqn: zeta=1`]) :    [eqn: R_{c`s} = 2 sqrt {L over C}`]

* 다음 직렬 RLC 회로에서 [eqn: L=1`rm[H]]이고 [eqn: C=1/4`rm[F]] 일 때, [eqn: R`]에 따라 고유해가 어떻게 변하는 가를 살펴보면,

- 비강제 방정식 :

[eqn: {d^{2} i} over dt^{2} + R di over dt + 4`i =0`]

- 특성방정식 :  [eqn: s^2 +Rs +4 = 0`] [eqn: <->]  [eqn: s^2 +a_1 +a_0 =0`]

[eqn: THEREFORE ~~cases{omega_0 = + root{a_0}=root{4}=2`rm[rad/s] ## zeta= a_1 over {2 root{a_0}} = R over {2 root{4}} = R over 4` ## s_1 ,s_2 =`-zeta omega_0 +- omega_0 root{zeta^2 -1}}]

- 임계저항 :  [eqn: R_{c`s} = 4``[Omega]]  ( for [eqn: zeta=1`])

[eqn: cdot]감쇠 특성  대  [eqn: R`] :

(1) 과제동의 경우 : [eqn: R`>`R_cr =4``[Omega]] ([eqn: zeta>1`])

(예)  If [eqn: R=5``[Omega]],  [eqn: s^2 + Rs + 4 = s^2 + 5s + 4= under{(s+1)(s+4) =0`}].

[eqn: HOOKRIGHT] [eqn: s_1 = -1,~s_2 =-4`]

[eqn: THEREFORE ~~under{i_n (t) = K_1 `e^-t + K_2 `e^-4t`}]

(2) 임계제동의 경우 : [eqn: R=R_{c`s} =4``[Omega]] ([eqn: zeta=1`])

[eqn: s^2 + Rs + 4 = s^2 + 4s + 4=under{(s+2)^2 =0`}] [eqn: ->] [eqn: s_1 ,s_2 =-2`]

[eqn: THEREFORE ~~under{i_n = K_1 `e^-2t + K_2 ``t ``e^-2t`}]

(3) 미흡제동의 경우 : [eqn: R`<`R_{c`s} =4``[Omega]] ([eqn: zeta`<`1`])

(예)  If [eqn: R=2``[Omega]],  [eqn: s^2 + 2s + 4= under{(s+1-j root3 `)`(s+1+j root3 `) =0`}]

[eqn: HOOKRIGHT][eqn: s_1 = -1 +j root3`,~s_2 =-1 -j root3`]

[eqn: THEREFORE ~~under{i_n (t)= K_1 `e^-t cos sqrt {3`}t `+ K_2 `e^-t sin sqrt {3`}t`}]

(4) 비감쇠(undamping)의 경우 : [eqn: R=0`] ([eqn: zeta=0`])

[eqn: s^2 + Rs + 4 = s^2 + 4=under{(s-j``2)(s+j``2) =0`}]

[eqn: HOOKRIGHT] [eqn: s_1 = j``2`,~s_2 = -j``2`]

[eqn: THEREFORE ~~under{i_n = B_1 cos 2t + B_2 sin 2t`}]

[eqn: cdot]2차회로의 고유응답 : 그림 7.5

예제 7.5) 그림 7.4의 병렬 RLC 회로에서,[eqn: R=5/3 ``[Omega]],[eqn: L=2``rm[H]],[eqn: C= 1/10 ``rm[F]]

라 하자.  [eqn: v(0-)=4`rm[V]], [eqn: i_L (0-)=0`] 및 [eqn: i_g (t) =0`]일 때 [eqn: v(t)]를 구

하라.

<해>

* 독립전원이 없으므로, 오직 고유응답만 존재.

[eqn: cdot]묘사방정식 :

[eqn: v over R + 1 over L int_-inf^t v `dt + C dv over dt =i_g`]

[eqn: THEREFORE ~~{d^{2} v} over dt^{2} + 1 over RC dv over dt + 1 over LC v = 1 over C di_g over dt`]

또는          [eqn: {d^{2} v} over dt^{2} + 6 dv over dt + 5v =0`]

- 특성방정식 :  [eqn: s^2 +6s +5 =under{(s+1)(s+5)=0`}]

[eqn: HOOKRIGHT] [eqn: s_1 =-1, ~s_2 =-5`]

* 고유응답 :

[eqn: v(t) = K_1 `e^-t + K_2 `e^-5t`]   (일반해 : 과제동의 경우)

[eqn: cdot][eqn: v(0+)]와 [eqn: dv over dt bigg|_0+]로 부터 [eqn: K_1`]과 [eqn: K_2`]를 결정 :

i) [eqn: v(0+)=4`rm[V]]

ii) 주어진 회로에 KCL응 적용하여 [eqn: dv over dt bigg|_0+]를 구하면,

[eqn: 1 over R v + i_L + C dv over dt =0`] [eqn: ->] [eqn: 3 over 5 v + i_L + 1 over 10 dv over dt = 0`]

[eqn: HOOKRIGHT] At [eqn: t=0+],  [eqn: 3 over 5 (4) + 0 + 1 over 10 dv over dt bigg|_0+ = 0`]

[eqn: THEREFORE ~~dv over dt bigg|_0+ = -24` rm[V/s]]

- 따라서,

[eqn: cases{v(0+) = 4 = K_1 + K_2` ## dv over dt bigg|_0+ = -24 =-K_1 -5K_2`#}]   [eqn: ->] [eqn: under{K_1 =-1 , ~K_2 =5`}]

[eqn: THEREFORE ~~under{v(t) = 5 e^-5t - e^-t} ``rm[V]]  :  완전해

7.4 강제응답

* 일반 2차회로의 강제응답 [eqn: x_f ``(t)]는 원래의 강제미분방정식을 만족해야 한다.

[eqn: {d^{2} x_f } over dt^{2} + a_1 {d`x_f} over dt + a_0 `x_f = f`(t)]

예제 7.6) 앞의 그림 7.1의 회로에서 [eqn: v_g =16``rm[V]]일 때 [eqn: i_2 (t)]의 전체(일반)해를 구하라.

<해>

[eqn: cdot]예제 7.1로부터,  묘사방정식 :

[eqn: under{{d^{2} i_2} over dt^{2} + 10 di_2 over dt + 16`i_2 =2 v_g = 32} ~cdots~ (1)]

[eqn: cdot]고유응답 :

[eqn: s^2 +10s +16 = (s+2)(s+8) = 0`]  [eqn: ->]  [eqn: s_1 =-2 ,~s_2 =-8`]

[eqn: THEREFORE ~~under{i_2n = K_1 `e^-2t + K_2 `e^-8t`}]

[eqn: cdot]강제응답 :

[eqn: i_2f = A`]  [eqn: ->]  (1) : [eqn: 0 + 0 + 16 cdot A = 32`]  [eqn: ->]  [eqn: THEREFORE ~~under{A=2`}]

[eqn: cdot]전체해  (일반해) :

[eqn: under{i_2 = i_2n + i_2f = K_1 `e^-2t + K_2 `e^-8t + 2`}]

* 회로도로부터 직접 강제해를 강제해를 구할 수도 있다.

[eqn: ->] 상수 강제해는 직류정상상태 값과 같아야 한다 (인덕터는 단락회로로, 커패시터는 개방회로로 대치)

[eqn: ->]  [eqn: i_2f = v_g over 8 = 16 over 8 = 2``rm[A]]

예제 7.7) 앞의 그림 7.1의 회로에서 [eqn: v_g =20cos 4 t ``rm[V]]일 때 [eqn: i_2 (t)]의 전체(일반)   해를 구하라.

<해>

[eqn: cdot]예제 7.1로부터,

[eqn: under{{d^{2} i_2} over dt^{2} + 10 di_2 over dt + 16i_2 = 2v_g =40cos4t} ~cdots~ (1)]

[eqn: cdot]강제응답 :

- 시험강제함수를 식 (1)에 대입,

[eqn: i_2f = A{rm cos}4t +B{rm sin}4t`]  [eqn: ->]  (1)

[eqn: 40B{rm cos}4t - 40A{rm sin}4t = 40 cos 4t~] [eqn: ->] [eqn: cases{40B = 40` ## -40A =0`}] [eqn: ->] [eqn: cases{A=0` ## B=1`}]

[eqn: THEREFORE ~~under{i_2f = 0 cdot cos 4t +1 cdot sin 4t = sin4t`}]

[eqn: cdot]고유응답 :

[eqn: {d^{2} i_2} over dt^{2} + 10 di_2 over dt + 16i_2 =0`]  [eqn: ->]  [eqn: s^2 + 10s + 16 = (s+2)(s+8) =0`]

[eqn: HOOKRIGHT] [eqn: s_1 =-2,~s_2 =-8`]

[eqn: THEREFORE ~~under{i_2n (t) =K_1 `e^-2t + K_2 `e^-8t`}] :  (과제동)

[eqn: cdot]전체(일반)해 :

[eqn: under{i_2 = i_2n + i_2f = K_1 `e^-2t + K_2 `e^-8t + sin4t`}]

* 일반 강제함수 [eqn: f(t)]와 이에 대응하는 시험강제해 [eqn: x_f `(t)] :

표 7.1  일반 강제함수에 대한 시험강제해.

강제항 [eqn: f`(t)]	시험강제해 [eqn: x_f `(t)]
[eqn: k`]	[eqn: A`]
[eqn: t`]	[eqn: At+B`]
[eqn: t^{2}`]	[eqn: At^{2} +B`t +C`]
[eqn: t^{n}`]	[eqn: At^{n} +Bt^{n-1} + cdots + F`t +G`]
[eqn: e^{sigma t`}]	[eqn: Ae^{sigma t`}]
[eqn: e^st`]	[eqn: Ae^st`]
[eqn: sin omega t, cos omega t`]	[eqn: A sin omega t + B cos omega t`]
[eqn: e^{sigma t} sin omega t, e^{sigma t} cos omega t`]	[eqn: e^{sigma t} ( A sin omega t + B cos omega t`)]
[eqn: t `e^{sigma t} sin omega t, t `e^{sigma t} cos omega t`]	[eqn: & t `e^{sigma t} (A sin omega t +B cos omega t`) #& ~~~+e^{sigma t} (C sin omega t + D cos omega t`)]

예제 7.8) 중첩원리를 사용하여 다음 방정식의 강제응답을 구하라.

[eqn: {d^{2} i} over dt^{2} + 3 di over dt + 2i =4+ 60e^-7t`]

<해>

[eqn: cdot][eqn: i_{f ``1}]과 [eqn: i_{f```2}]를 다음 두 식을 만족하는 강제응답의 두 성분이라 두자.

[eqn: cases{{d^{2} i_f1} over dt^{2} + 3 di_f1 over dt + 2i_f1 =4 ~cdots~ (1) ## {d^{2} i_f2} over dt^{2} + 3 di_f2 over dt + 2i_f2 =60 e^-7t ~cdots~ (2)}]

[eqn: cdot]시험함수를 사용하여 강제응답을 구하면 :

(1) [eqn: i_{f``1} = A`] [eqn: ->] 식 (1)  :  [eqn: 2A= 4]  [eqn: ->]  [eqn: A=2`]

[eqn: THEREFORE ~~ under{i_{f``1} =2`rm[A]}]

(2) [eqn: i_{f``2} =B e^-7t`] [eqn: ->] 식 (2)  :  [eqn: B`e^-7t `[49-3(7) +2] = 60`e^-7t~] [eqn: ->] [eqn: B=2`]

[eqn: THEREFORE ~~ under{i_{f``2} =2`e^-7t`}]

(3) 따라서,  [eqn: under{i_f =i_f1 + i_f2 = 2 + 2e^-7t~}]

* 지금까지, 시험고유해와 시험강제해는 서로 완전히 독립적으로 선정되었다.

* 고유해의 형식은 묘사방정식의 좌변에만 종속되었고, 반면에 강제해는 우변 [[eqn: f(t)] 자신 ]에만 종속되었다.

* 시험고유해 및 시험강제해 형식이 독립적으로 결정될 수 없는 하나의 조건이 있다.

* 다음 묘사방정식에서, 시험강제해는 고유해 내의 한 항과 일치한다.

[eqn: {d^{2} v} over dt^{2} + 3 dv over dt + 2v=6`e^-t`]

[eqn: cdot]고유해 :  [eqn: s^2 +3s +2 = (s+1)(s+2) = 0`] [eqn: ->]  [eqn: s_1 =-1,~s_2 =-2`]

[eqn: THEREFORE ~~under{v_n (t)= K_1 `e^-t + K_2 `e^-2t`}]

[eqn: cdot]강제해 : [eqn: f(t)=6`e^-t`]이므로, 시험해를 다음과 같이 선정.

[eqn: v_f `(t)= A`e^-t`]

그러나, 함수 [eqn: A`e^-t`]는 실제로 고유해의 특별한 경우 ([eqn: K_1 =A,~K_2 =0`])이며, 강제방정식의 해는 아니다.

[eqn: HOOKRIGHT]  ∴ 시험강제해를 [eqn: t`]-다중형식으로 수정.

[eqn: under{v_f `(t)= A`t``e^-t`}]

- 다음의 도함수들을 묘사방정식에 대입,

[eqn: cases{dv_f over dt = A`e^-t - A`t`e^-t` ## {d^{2} v_f} over dt^{2} = -A`e^-t + A`t`e^-t - A`e^-t`}]

그러면,

[eqn: A`e^-t `(-2+3) = 6`e^-t`]  [eqn: ->]  [eqn: A=6`]

[eqn: THEREFORE ~~under{v_f `(t)= 6`t`e^-t`}]

[eqn: cdot]전체(일반)해 :   [eqn: v(t) = v_n (t) + v_f `(t) = K_1 `e^-t + K_2 `e^-2t + 6`t`e^-t`]

시험강제해가 고유해의 한 항과 일치할 때는 [eqn: t`]-다중 시험강제해가 필요.

그래도 여전히  일치하는 항이 있으면  다시  [eqn: t`]-다중을 하여,  일치하는

항이 없을 때까지 계속.

예제 7.9) 다음 미분방정식에 대한 전체해(total solution)를 구하라.

[eqn: {d^{2} v} over dt^{2} = f(t)]

<해>

[eqn: cdot]고유해 :

- 특성방정식 : [eqn: s^2 =0`] [eqn: ->] [eqn: s_1 =s_2 =0`]  (중근)

[eqn: THEREFORE ~~under{v_n (t)= K_1 `e^st + K_2 `t`e^st = K_1 + K_2 `t`}]

[eqn: cdot]강제해 :

(1) If [eqn: f(t)=2`],   시험강제해 :  [eqn: v_f `(t)=A`]

[eqn: {d^{2} v} over dt^{2} =2`]

- 이는 [eqn: v_n (t)]의 한 항 ([eqn: K_1`])에 일치하므로, [eqn: t`]-다중 [eqn: v_f `(t)]는,

[eqn: v_f `(t)=At`]

- 이는 여전히 [eqn: v_n (t)]의 한 항 ([eqn: K_2 `t`] )에 일치하므로, 다시 [eqn: t`]-다중,

[eqn: under{v_f `(t)= A`t^{2}`}]

- [eqn: v_f `(t)]를 강제미분방정식에 대입,

[eqn: 2A = 2`]  [eqn: ->]  [eqn: A=1`]  [eqn: ->]  [eqn: THEREFORE ~~under{v_f `(t)=t^{2}`}]

[eqn: cdot][eqn: f(t)=2`]에 대한 전체해(total solution) :

[eqn: under{v(t) = v_n (t) + v_f `(t) = K_1 + K_2 `t +t^{2}`}]

(2) If [eqn: f(t)=t`],  시험강제해 : [eqn: v_f `(t)=At +B`]

[eqn: {d^{2} v} over dt^{2} =t`]

- 이는 [eqn: v_n (t)]의 항들과 일치하므로, 새로운 시험해 형식을 구하기 위해 [eqn: t`]-다중.     ([eqn: t`]-다중 형식에서 오직 더 높은 차의 항만 유지될 필요가 있다)

[eqn: v_f `(t)=At^{2}`], ( 더 이상 [eqn: v_n (t)] 내의 항과 일치하지 않음 )

- 그러나, 이는 강제미분방정식을 만족하지 않음 :

[eqn: {d^{2} v_f} over dt^{2} = d^{2} over dt^{2} (At^{2} ) = 2A` neq t`]

- 따라서 한번 더 최종 [eqn: t`]-다중이 필요 : [eqn: under{v_f `(t)=At^{3}`}]

[eqn: ->] 이는 강제미분방정식을 만족.

[eqn: d^{2} over dt^{2} (At^{3} `) = 6At`]

- [eqn: {d^{2} v(t)} over dt^{2} =f(t) =t`]와 비교,   ∴ [eqn: A= 1 over 6`]

[eqn: under{v_f `(t)= 1 over 6 t^{3}`}]

[eqn: cdot][eqn: f(t)=t`] 에 대한 전체해(total solution) :

[eqn: v(t) = K_1 + K_2 `t + 1 over 6 t^{3}`]

7.5 전체응답 (Total Response)

* 전체(일반)응답 내의 미지상수들을 결정하기 위해, 인덕터 전류 또는 커패시터 전압의 두 개의 초기조건이 사용.

예) 다음 그림 7.6의 직렬 RLC 회로에서, [eqn: v_C (0) =-6`rm[V]]이고 [eqn: i(0) =1`rm[A]] 일 때,  전류 [eqn: i(t)]를 구하라.

<해>

[eqn: cdot]KVL에 의한 망로방정식 :

[eqn: 5i + 4 int_0^t i(tau) d tau + v_C (0) + di over dt = 2 e^-2t`]

- 미분,

[eqn: {d^{2} i} over dt^{2} + 5 di over dt + 4i = -4e^-2t ~cdots~ (1)]

- 특성방정식 : [eqn: s^2 +5s +4 = (s+1)(s+4) = 0]

[eqn: HOOKRIGHT] [eqn: s_1 =-1,~s_2 =-4`]  (과제동)

[eqn: cdot]고유응답 : [eqn: i_n = K_1 `e^-t + K_2 `e^-4t`]

[eqn: cdot]강제응답 :

- 시험강제해 [eqn: i_f `(t)=Ae^-2t`]를 식 (1)에 대입,

[eqn: (4-10+4)Ae^-2t = -4e^-2t~] [eqn: ->]  [eqn: A=2`]

[eqn: THEREFORE ~~under{i_f `(t)=2e^-2t`}]

[eqn: cdot]전체응답(total response) : [eqn: under{i(t) = i_n (t)+ i_f `(t)= K_1 `e^-t + K_2 `e^-4t + 2`e^-2t`}]

- 초기조건을 이용하여 [eqn: K_1`]과 [eqn: K_2`] 결정 :

[eqn: cases{i(0) = K_1 + K_2 +2` ## di over dt bigg|_t=0 = -K_1 - 4K_2 -4` #}]

[eqn: HOOKRIGHT] 이 두 방정식은 초기조건 [eqn: i(0)]와 [eqn: di(t) over dt bigg|_t=0`]를 알면 [eqn: K_1`]과 [eqn: K_2`]를 결정하는 데 사용.

① [eqn: i(0)] : 주어진 값 [eqn: ->] [eqn: i(0)=1`rm[A]]

② [eqn: di(t) over dt bigg|_t=0`] :  원래의 KVL 방정식에서 구함.

[eqn: left[ 5`i(t) + 4 int_0^t i(tau) d tau + v_C (0) + {d`i(t)} over dt bigg]_t=0 = left[2 `e^-2t` right]_t=0`]

[eqn: 5`i(0) + di(t) over dt bigg|_{t=0} + v_C (0) =2`]

[eqn: THEREFORE ~~di over dt bigg|_t=0 &= 2 -v_C (0) -5 i(0) ##&=2 +6 -5 cdot 1 = 3 ~~( BECAUSE ~v_C (0)=-6`rm[V])]

[eqn: THEREFORE ~~cases{K_1 + K_2 =-1` ## -K_1 -4 K_2 =7`}] [eqn: ->] [eqn: under{K_1 =1,~K_2 =-2`}]

[eqn: cdot]완전해 : [eqn: under{i(t) = e^-t -2 e^-4t + 2e^-2t ```rm[A]}]

예제 7.10) [eqn: t=0-]에서 다음 그림 7.7의 회로가 직류정상상태에 있다고 할 때,    [eqn: t`>`0`]에서의 [eqn: v_1 (t)]와 [eqn: v_2 (t)]를 구하라.

<해>

[eqn: cdot]초기조건 [eqn: v_1 (0-)]와 [eqn: v_2 (0-)]를 결정 :

- [eqn: t`<`0`]에서 직류정상상태에 있으므로,  커패시터들은 개방회로.

[eqn: THEREFORE ~~v_1 (0-) -v_2 (0-) = 12 cdot 1 = 12 `rm[V]]

[eqn: HOOKRIGHT] [eqn: cases{v_1 (0-)=12`rm[V] ## v_2 (0-)=0`rm[V]}] [eqn: ->][eqn: THEREFORE ~~ cases{v_1 (0+) =v_1 (0-)=12` ## v_2 (0+) = v_2 (0-) =0`}]

[eqn: cdot][eqn: t`>=`0`]에서 KCL에 의한 마디방정식 :

[eqn: cases{dv_1 over dt + (v_1 - v_2 `) = 12 ~cdots~(1) ## 2 dv_2 over dt + 3v_2 - v_1 = 0 ~cdots~ (2) ~<-~ 2 {d v_2} over dt + v_2 over {1/2} + 1 over 1 (v_2 -v_1 )=0`}]

[eqn: cdot][eqn: v_1`]에 대한 묘사방정식과 그 해 :

- 식 (1)로부터,

[eqn: under{v_2 = dv_1 over dt + v_1 -12} ~cdots~ (3)]

- 식 (3)을 식 (2)에 대입, [eqn: v_1`]에 대한 묘사방정식 :

[eqn: 2 d over dt right ( dv_1 over dt + v_1 -12 right) +3 right( dv_1 over dt + v_1 -12 right) -v_1 = 0`]

[eqn: THEREFORE ~~under{{d^{2} v_1} over dt^{2} + 5 over 2 dv_1 over dt + v_1 = 18`}~cdots~ (4)]

(1) [eqn: v_1 (t)]의 고유응답 :

- 특성방정식 : [eqn: s^2 + 5 over 2 s +1 = (s+2)(s+ 1 over 2 ) = 0]

[eqn: HOOKRIGHT] [eqn: under{s_1 =-2,~s_2 =- 1 over 2`}]

[eqn: THEREFORE ~~under{v_1n (t)= K_1 `e^-2t + K_2 `e^-t/2`}]

(2) [eqn: v_1 (t)]의 강제응답 : [eqn: v_1f `(t) =A`][eqn: ->] 식(4) [eqn: RARROW]  [eqn: under{v_1f `(t)=18`}]

(3) 전체해 : [eqn: under{v_n = K_1 `e^-2t + K_2 `e^-t/2 + 18`}~cdots~ (5)]

(4) 완전해 :

[eqn: cdot]식(5)로 부터,

[eqn: cases{v_1 (0+) = K_1 + K_2 +18` ## dv_1 over dt bigg|_0+ = -2K_1 - 1 over 2 K_2`#}]

[eqn: cdot]초기조건 [eqn: v_1 (0+)]와 [eqn: dv_1 over dt bigg|_0+]의 결정 :

① [eqn: under{v_1 (0+)=12`}]

② [eqn: dv_1 over dt bigg|_0+] :

- [eqn: C dv over dt = i_1`] 이므로, [eqn: ->] [eqn: dv over dt = i_1 over C],  [eqn: dv_1 over dt bigg|_0+ = {i_1 (0+) }over 1]

- 마디 1에서, by KCL : [eqn: i_1 (0+) + 1 over 1 [v_1 (0+) -v_2 (0+)] =12`]

[eqn: i_1 (0+)+ 1 over 1 [12-0] =12`] [eqn: ->] [eqn: THEREFORE ~~under{i_1 (0+) = 12 -12 =0`}]

[eqn: THEREFORE ~~ under{dv_1 over dt bigg|_0+ = {i_1 (0+)} over 1 = 0`}]

[eqn: cdot][eqn: K_1`]과 [eqn: K_2`]의 결정 [eqn: ->]  완전해

[eqn: cases{K_1 + K_2 =-6` ## -2K_1 - 1 over 2 K_2 =0`}] [eqn: ->]  [eqn: K_1 =2`],  [eqn: K_2 =-8`]

[eqn: THEREFORE ~~under{v_1 (t) = 2`e^-2t - 8`e^-t/2 +18``rm[V]}]

[eqn: cdot][eqn: v_2 (t)]의 완전해 : 식(3)으로 부터,

[eqn: v_2 (t) &= dv_1 over dt + v_1 -12` ##&= d over dt right( 2`e^-2t - 8`e^-t/2 + 18 right) + right( 2`e^-2t - 8`e^-t/2 + 18 right) -12` ##&= under{-2`e^-2t - 4`e^-t/2 +`6}```rm [V]]

* 일반적으로, 2계묘사방정식은 두 개의 초기조건 (미지변수의 값과 그 1차 도함수의 [eqn: t=0+] 에서의 값)이 필요.

- [eqn: v_C (t)] : [eqn: v_C (0+)] and [eqn: dv_C over dt Bigg|_0+ = 1 over C i_C Bigg|_0+]

- [eqn: i_L (t)] : [eqn: i_L (0+)] and [eqn: di_L over dt Bigg|_0+ = 1 over L v_L Bigg|_0+]

예제 7.11) [eqn: t=0-]에서 직류정상상태에 있는 다음 그림 7.8의 회로에서, [eqn: t`>`0`]에   서의 [eqn: i_1 (t)]를 구하라.

<해>

[eqn: cdot][eqn: v_g (t)=12 u(-t)]이므로,  [eqn: v_C (0-)=12`rm[V]] 및 [eqn: i_1 (0-) =12`rm[A]].

[eqn: cdot][eqn: t`>`0`]에 대한 망로방정식 :

[eqn: cases{1 over 2 di_1 over dt + (i_1 - i_2 ) = 0 ~cdots~ (1) ~<-~v_g (t)=12 u(-t)` ## i_2 + 2 int from 0+ to t i_2 (tau) d tau + v_C (0+) + (i_2 -i_1 ) = 0 ~cdots~ (2)}]

- 식(2)를 미분,  [eqn: di_2 over dt + 2 i_2 + di_2 over dt - di_1 over dt =0`]

[eqn: 2 di_2 over dt - di_1 over dt + 2i_2 = 0 ~cdots~ (3)]

- 식(1)로 부터,  [eqn: i_2 = 1 over 2 di_1 over dt + i_1`]  [eqn: ->]  식(3)에 대입 :

[eqn: 2 d over dt right( 1 over 2 di_1 over dt + i_1 right) - di_1 over dt + 2right( 1 over 2 di_1 over dt + i_1 right)=0`]

[eqn: cdot][eqn: i_1 (t)]에 대한 묘사방정식 :

[eqn: THEREFORE ~~under{{d^{2} i_1} over dt^{2} + 2 di_1 over dt +2i_1 = 0`}~cdots~(4)]

[eqn: cdot]특성방정식 : [eqn: s^2 + 2s+s = 0`] [eqn: ->] [eqn: under{s_1 =-1 +j ,~s_2 =-1 -j`}]

[eqn: cdot]전체해 : [eqn: under{i_1 (t) = i_1n (t)= B_1 `e^-t cos t + B_2 `e^-t sin t`}~cdots~(5)]

[eqn: cdot]완전해 :

- [eqn: B_1`]과 [eqn: B_2`] 결정 :  [eqn: i_1 (0+)]와 [eqn: di_1 over dt bigg|_0+]가 필요.

[eqn: ->]  [eqn: under{i_1 (0+) =12`rm[A]}]

- 오른쪽 망로방정식,  by KVL :

[eqn: i_2 (0+) +12 + [i_2 (0+) - 12] = 0`] [eqn: ->] [eqn: THEREFORE ~~ under{i_2 (0+)=0`}]

- 외부 루프에 대한 KVL 방정식 :

[eqn: v_L (0+) +1(0) + 12 = 0`] [eqn: ->] [eqn: under{v_L (0+) =-12`rm[V]}]

- [eqn: di_L over dt bigg|_0+ = 1 over L v_L bigg|_0+`]이므로,  [eqn: under{di_1 over dt bigg|_0+ = 2 v_L (0+) = -24`}]

- 식(5)로 부터,

[eqn: cases{i_1 (0+) = B_1 = 12`## di_1 over dt bigg|_0+ = -B_1 + B_2 = -24`#}]  [eqn: ->]  [eqn: under{B_1 =12,~B_2 =-12`}]

- 따라서,

[eqn: under{i_1 (t)= 12 `e^-t `(cost - sint`)``rm[A]}]

7.6 단위스텝응답

* 2차회로의 단위스텝응답은 1차회로의 단위스텝응답보다 훨씬 더 다양한 모습을 나타낸다.

예제 7.12) 다음 그림 7.10의 직렬 RLC 회로에서 단위스텝전원에 대한 응답       [eqn: v_C (t)]를 구하라.

<해>

[eqn: cdot]초기조건 : [eqn: i(0-)=0`], [eqn: v_C (0-)=0`]

[eqn: cdot][eqn: t`>`0`]에서 KVL에 의한 망로방정식 :  제차미분방정식

[eqn: 1 di over dt + Ri +4 int from 0+ to t i (tau) d tau + v_C (0+)=1 ~cdots~ (1)]

[eqn: THEREFORE ~~under{{d^{2} i }over dt^{2} + R di over dt +4i = 0`} ~cdots~ (2)]  [eqn: ->] [eqn: s^2 + R s + 4 =0`]

[eqn: cdot]임계저항 : [eqn: under{R_cs = 2 root{ L over C} =2 root{1 over (1/4)}=4`rm [Omega]}]

(1) 임계제동의 경우 : [eqn: R=R_cs =4 `rm[Omega]]

[eqn: s^2 + 4s + 4 = (s+2)^2`=0`]  [eqn: ->]  [eqn: s_1 = s_2 =-2`]

[eqn: under{i(t) = i_n (t)= K_1 `e^-2t + K_2 `t `e^-2t`}]

- [eqn: K_1`]과 [eqn: K_2`]의 결정 :

① [eqn: i(0+) = i(0-)=0`]

② [eqn: di over dt bigg|_0+] : 식(1)로 부터,

[eqn: left[1 di over dt + Ri +4 int from 0+ to t i (tau) d tau + v_C (0+) right]_{t=0+}=1`]

[eqn: di over dt (0+) + Ri(0+) + 4 int from 0+ to 0+ i (tau) d tau + under{v_C (0+)} =1`]

[eqn: THEREFORE ~~under{di over dt bigg|_0+ = 1 - R`i (0+) = 1},~~[ BECAUSE ~i(0+)=0`]]

-  [eqn: cases{i=K_1 `e^-2t + K_2 `t`` e^-2t` ## di over dt = -2K_1 `e^-2t + K_2 `e^-2t -2 K_2 `t`` e^-2t`}] 이므로,

[eqn: cases{i(0+)=K_1 + 0 =0` ## di over dt bigg|_0+ = -2K_1 + K_2 -0=1`#}]  [eqn: ->]  [eqn: under{K_1 =0,~K_2 =1`}]

[eqn: cdot]완전해 : [eqn: under{i(t) = t ``e^-2t ``rm[A]}]

[eqn: cdot]응답 [eqn: v_C (t)] :

- 원래의 회로에서 KVL 방정식 :

[eqn: R`i(t) + 1 di(t) over dt + v_C `(t)=u(t)]

- 따라서, [eqn: t`>`0`] 에 대해,

[eqn: v_C` (t) &=1-R`i(t) - di(t) over dt` = 1-4 i(t) - di(t) over dt` ##&=1-4(t`e^-2t ``) - d over dt (t`e^-2t``) ##&= under{1-e^-2t -2t`e^-2t} `rm[V]]

(2) 과제동의 경우 : [eqn: R=5 `[Omega] `>`R_cs`]

- 묘사방정식 : 식(2)로 부터,

[eqn: {d^{2} i} over dt^{2} + 5 di over dt + 4 i =0`] [eqn: ->] [eqn: s^2 + 5s + 4 = (s+1)(s+4)=0`]

[eqn: HOOKRIGHT] [eqn: under{s_1 =-1,~s_2 =-4`}]

[eqn: under{i(t)= i_n (t) = K_1 `e^-t + K_2 `e^-4t`}]

- [eqn: K_1`]과 [eqn: K_2`] :

[eqn: cases{i(t)=K_1 e^-t + K_2 e^-4t` ## di(t) over dt = -K_1 e^-t -4K_2 e^-4t`}] [eqn: ->] [eqn: cases{i(0+) = 0 = K_1 + K_2` ## di over dt bigg|_0+ = 1 =-K_1 - 4K_2`#}]

[eqn: THEREFORE ~~under{K_1 = 1 over 3`,~ K_2 = - 1 over 3`}]

[eqn: THEREFORE ~~under{i(t) = 1 over 3 (e^-t -e^-4t ``)}``rm[A]]

- 따라서,

[eqn: v_C `(t) &=1-Ri(t)- di(t) over dt` ##&=1- 5 over 3 (e^-t -e^-4t ``) - 1 over 3 d over dt (e^-t - e^-4t ``) ##&= under{1- 4 over 3 e^-t + 1 over 3 e^-4t}`` rm[V]]

(3) 미흡제동의 경우 : [eqn: R= 1 over 4 `[Omega] `<`R_cs`]

- 묘사방정식 : 식(2)로 부터,

[eqn: {d^{2} i} over dt^{2} + 1 over 4 di over dt + 4 i =0`] [eqn: ->] [eqn: s^2 + 1 over 4 s + 4 = 0]

[eqn: THEREFORE ~~under{s_1 , s_2 = - 1 over 8 +- j root{255/8`}}]

[eqn: THEREFORE ~~under{i = K_1 `e^-t/8 cos sqrt255/8 t `+` K_2 `e^-t/8 sin sqrt255/8 t`}]

- [eqn: K_1`]과 [eqn: K_2`] :

[eqn: cases{i = K_1 `e^-t/8 cos sqrt255/8 t `+` K_2 `e^-t/8 sin sqrt255/8 t`## di(t) over dt = - 1 over 8 K_1 e^-t/8 sin root{255/8}t - root{255/8} K_1 e^-t/8 sin root{255/8}t` ## ~~~~~~~~- 1 over 8 K_2 e^-t/8 sin root{255/8}t + root{255/8} K_2 e^-t/8 cos root{255/8}t`}]

[eqn: THEREFORE ~~cases{i(0+) = 0 = K_1` ## di over dt bigg|_0+ = 1 =- 1 over 8 K_1 + sqrt255/8 K_2`#}] [eqn: ->] [eqn: under{K_1 =0,~K_2 = root{ 8/255}`}]

[eqn: THEREFORE ~~under{i(t) = 8 over sqrt255 e^-t/8 sin sqrt{255over8} t}``rm[A]]

- 따라서,

[eqn: v_C (t) &= 1- R `i(t)- di(t) over dt` ##&=1 - 1 over 4 right(8 over sqrt255 e^-t/8 sin sqrt{255over8} t right ) - d over dt right(8 over sqrt255 e^-t/8 sin sqrt{255over8} t right ) ## &= under{1 - e^-t/8 left( cos sqrt{255 over 8}t + 1 over sqrt 255 sin sqrt{255 over 8} t right)}``rm[V]]

- 임계제동회로가 [eqn: 1`rm[V]]의 정상상태에 가장 빠르게 수렴함을 보여준다.

* 요 약 : Self-study

Report

<문제> 7.1, 7.12, 7.16, 7.27, 7.32, 7.35, 7.44

(7 문제)