제 6 장  1차회로

* 차례

6.1 전원이 없는 간단한 [eqn: RC`], [eqn: RL`] 회로

6.2 시상수

6.3 전원이 없는 일반 1차회로

6.4 직류전원이 있는 회로

6.5 1차회로에서의 중첩

6.6 단위스텝함수

6.7 스텝응답과 펄스응답

6.8 SPICE와 과도응답

[eqn: cdot]1차회로(first-order circuit) : [eqn: RC`] 또는 [eqn: RL`] 회로 (1계미분방정식)

[eqn: cdot]회로응답(circuit response)

[eqn: =] 고유응답(natural response) 또는 무전원응답 (source-free response)

[eqn: +] 강제응답(forced response) by 강제함수(forcing function)

6.1 전원이 없는 간단한 [eqn: RC`],  [eqn: RL`] 회로

* 초기전압 [eqn: v_C `(0) =V_0 ``rm[V]]인 간단한 [eqn: RC`] 회로 : 그림 6.1,

전원이 없으므로, 회로응답([eqn: v`] 또는 [eqn: i`])은 전적으로 커패시터에 저장된 에너지에 기인.

[eqn: cdot][eqn: t=0`]에서의 초기저장에너지 :

[eqn: under{w_C (0) = 1 over 2 CV_0^{2}}``rm[J]]

[eqn: cdot]변수분리법에 의해 [eqn: t`>`0`]에서의 [eqn: v(t)]를 구하면,

[eqn: C dv over dt + v over R = 0`]  [eqn: ->]  [eqn: dv over dt + 1 over RC v = 0`] (1계 미방) :  제차방정식

[eqn: HOOKRIGHT] [eqn: under{dv over v = - 1 over RC dt`}] :  변수분리

[eqn: THEREFORE ~~int dv over v = - 1 over RC int dt`]  [eqn: ->]  [eqn: ln(v) = - t over RC + k`]

[eqn: THEREFORE ~~under{v(t) = e^{- t over RC +k} = e^k e^{- t over RC} = K `e^{-(t/RC`)}}] :  일반해

- [eqn: v(0) = K e ^0 = K = V_0`]이므로, 고유응답(완전해)는

[eqn: v(t) = V_0 `e^{-(t/RC`)}]                       (6.5)

[eqn: HOOKRIGHT] [eqn: THEREFORE ~~under{i(t)= v(t) over R = V_0 over R e^{-t/RC`}}]

그림 6.2,

[eqn: cdot]따라서, [eqn: C`]에 저장되는 에너지 :

[eqn: under{w_C (t)} &= 1 over 2 C `v^2 (t) = 1 over 2 C ``[V_0 e^{-(t/RC`)}]^2 = under{1 over 2 C V_0^{2} ``e^-2t/RC`} ##&= under{w_C (0) e ^-2t/RC`}}]

[eqn: cdot][eqn: R`]에서 소비되는 전력과 에너지 :

[eqn: p_R (t) = v_R^{2} over R = {[V_0 e^{-(t/RC`)} ]^2} over R`]

[eqn: w_R (t) &= int_0^t p_R (tau) d tau = V_0^{2} over R int_0^t e^{-2 tau/RC} d tau` ##&= 1 over 2 C `V_0^{2} ``left( 1-e ^-2t/RC ``right) = w_C (0) left( 1- e^-2t/RC ``right)]

[eqn: THEREFORE ~~under{w_C (0) - w_C (t) = w_R (t)`}]

예제 6.1) [eqn: C=1`rm[mu F]], [eqn: R=1`rm[k Omega]], 커패시터의 초기전압[eqn: v(0) = V_0 =5`rm[V]]인    다음 그림 6.1의 회로에서 전류[eqn: i(t)]와 [eqn: R`]에 의해 소비되는 최대전력    을 구하라.

<해>

[eqn: cdot]식 (6.5)에서,

[eqn: under{v(t) = V_0 `e^-t/RC = 5 `e^{-1000`t} `rm[V]}]

[eqn: THEREFORE ~~under{i(t) = v(t) over R = 0.005 `e^{-1000`t} `rm[A]}]

[eqn: THEREFORE ~~under{p_R (t) = v(t) `i(t) = 0.025 `e^{-2000`t} `rm[W]}]

[eqn: HOOKRIGHT] [eqn: under{p_"R`max"} =p_R (0)= 0.025 `rm[W] = under{25`rm[mW]}]

* 초기전류 [eqn: i(0) =I_0 ``rm[A]]인 간단한 [eqn: RL`] 회로 : 그림 6.3

전원이 없으므로, 회로응답([eqn: v`] 또는 [eqn: i`])은 전적으로 인덕터에 저장된 에너지에 기인.

[eqn: cdot][eqn: t=0`]에서의 초기저장에너지 :

[eqn: w_L (0) = 1 over 2 L `I_0^{2`}`rm[J]]

[eqn: cdot]인덕터 전류[eqn: i(t)]를 구하기 위해,  KVL 적용,

[eqn: L di over dt + R i = 0]  [eqn: ->]  [eqn: di over dt + R over L i = 0] :  제차방정식

[eqn: cdot][eqn: RC`] 회로와 마찬가지로 변수분리법에 의해 [eqn: i(t)]를 구할 수 있지만,

이번에는 시험고유해법 사용.

[eqn: under{i(t) = K `e^st`}] :   시험고유해

- 이 시험고유해를 미분방정식에 대입,

[eqn: d over dt (K e^st ``) + R over L (K e^st ``) = 0`]  [eqn: ->]  [eqn: left( s + R over L right) ( K e^st ``) = 0`]

[eqn: ->]  [eqn: under{s + R over L = 0`}] (특성방정식 : characteristic equation) [eqn: ->]  [eqn: s = - R over L]

[eqn: THEREFORE ~~under{i(t) = K e^{- R over L t}`}]  :   일반해

- [eqn: i(0) = I_0 = K e^0 = K`]이므로, 고유응답(완전해)은

[eqn: i(t) = I_0 ``e^{- R over L t`}]                          (6.10)

예제 6.2) [eqn: R=2``[Omega]], [eqn: L=1`rm[H]] 이고 시간 [eqn: t_0 =10`rm[sec]]에서 초기전류

[eqn: i(t_0 )=3`rm[A]]인 다음 그림 6.3의 회로에서 [eqn: i(t)]를 구하라.

<해>

[eqn: cdot]KVL 방정식 :

[eqn: L di over dt + R i = 0]  [eqn: ->]  [eqn: di over dt + R over L i = 0]  [eqn: ->]  [eqn: di over dt +2i `=0`]

[eqn: cdot]특성방정식과 해 :

[eqn: s+2 =0`]  [eqn: ->]  [eqn: s=-2`]

[eqn: THEREFORE ~~under{i(t) = K e^-2t`}]  [eqn: ->]  [eqn: i(t_0 ) = 3 = K e&^-2(10)`]  [eqn: ->]  [eqn: K=3`e^+20`]

[eqn: THEREFORE ~~under{i(t) = 3 `e^20 `e^-2t =3 `e^-2(t-10)`rm[A]}]

그림 6.4,

6.2 시상수

* 시상수(time constant : [eqn: tau`]) : 고유응답이 [eqn: under{1/e = e^-1 =0.368``(36.8``%)}]로 감소         하는 데 걸리는 시간.

1) 간단한 RC 회로의 고유응답 (커패시터 전압) : 그림 6.5 (a)

[eqn: under{v(t)=V_0 `e^{-t/RC`}}]  [eqn: <->]  [eqn: i(t)= v(t) over R = V_0 over R e^-t/RC`]

- 시상수의 정의에 의해,

[eqn: v`(t + tau ) / v(t) = 1 / e`]  [eqn: ->]  [eqn: v`(t+ tau ) = e^-1 v`(t)]

- [eqn: under{v(t)=V_0 `e^{-t/RC`}}]를 대입,  [eqn: under{V_0 `e^-(t+tau)/RC = e^-1 `V_0 ``e^-t/RC`}].

[eqn: HOOKRIGHT] [eqn: e^-tau/RC = e^-1`]

[eqn: cdot]따라서, 시상수 : ([eqn: tau/RC =1`])

[eqn: tau = RC`rm[s]]

[eqn: HOOKRIGHT] [eqn: tau`]의 단위 : [eqn: Omega-rm F =[V/A]`[C/V]=[C/A] =[s]]

[eqn: cdot][eqn: tau`]를 사용하여 고유응답을 나타내면,

[eqn: under{v(t) = V_0 ``e^-t/tau`}]

2) 간단한 RL 회로의 고유응답 (인덕터 전류) : 그림 6.5 (b)

[eqn: under{i(t) = I_0 `e^-(R/L)t`}]

- 시상수의 정의에 의해,

[eqn: under{I_0 ``e^{-(R/L)(t+tau) } = e^-1 I_0 ``e^-(R/L)t`}]  [eqn: ->]  [eqn: under{e^{-(R/L)tau} =e^-1`}]

[eqn: cdot]따라서, 시상수 : ([eqn: (R/L) tau=1`])

[eqn: tau = L over R `rm[s]]

[eqn: HOOKRIGHT] [eqn: tau`]의 단위 : [eqn: rm[H/Omega]=[V/(A/s)]/[V/A]=[s]]

[eqn: cdot][eqn: tau`]를 사용하여 고유응답을 나타내면,

[eqn: under{i(t) = I_0 ``e ^-t/tau`}]

* 4 또는 5 시상수 후에는 응답은 사실상 0.

[eqn: cases{e^-1 =0.368, ~e^-2 =0.135, ~e^-3 =0.0498` ## under{e^-4 =0.0183}, ~under{e^-5 =0.0067}`}]

* RC 회로에서, [eqn: v(t)]와 [eqn: i(t)]는 시상수 [eqn: tau=RC`]로써 지수함수적으로 감쇠.

[eqn: ->] 모든 전류와 전압은 동일한 시상수[eqn: tau`]로 감쇠하는 지수함수.

* 지수함수에서, [eqn: t=0`]에서 곡선에의 접선은 시간축과 [eqn: t=tau`]에서 교차한다 :

그림 6.6,

[eqn: cdot][eqn: t=0`]에서 곡선에 접하는 직선의 방정식 :

[eqn: under{v_1 (t) = mt + V_0`}]

- Since [eqn: v=V_0 ``e^{-t/tau`}],

[eqn: dv over dt = - V_0 over tau e^-(t/tau)`]  [eqn: ->]  [eqn: dv over dt bigg|_t=0 = dv over dt (0) = - V_0 over tau`]

[eqn: THEREFORE ~~under{m=- V_0 over tau`}]

[eqn: THEREFORE ~~under{v_1 (t) = - V_0 over tau t + V_0`}]  [eqn: ->]  [eqn: v_1 (tau)=0`]

예제 6.3) 다음 그림 6.7의 회로는 스위치가 개방되기 직전에 직류정상상태에 있었다고 한다. 커패시터 전압 [eqn: v(t)]를 구하라.

<해>

[eqn: cdot]직류정상상태에서, 커패시터는 개방회로로 대치.

이 개방회로의 왼쪽 저항은,

[eqn: R_eq = 8 + (3)(6) over {3+6 } = 10`rm[Omega]]

[eqn: cdot]전압분배에 의해,

[eqn: v(0- ) = R_eq over {R_eq +15} 100 = 40 `rm[V]]

[eqn: THEREFORE ~~under{v(0+)=v(0-)=40`rm[V]}]

[eqn: cdot][eqn: t>0`]에서, 회로는 그림 (b)와 같이 전원이 없는 회로이며 [eqn: R_eq =10`rm[Omega]]이다.

[eqn: THEREFORE ~~under{tau = R_eq C = (10) (1) = 10} `rm[s]]

[eqn: THEREFORE ~~under{v(t) = 40 `e^{- t over tau} =40 `e^{- t over 10}}`rm[V]]

6.3 전원이 없는 일반 1차회로

예제 6.4) 다음 그림 6.8의 RC 회로에서 시상수를 구하라.

<해>

[eqn: cdot]등가회로 :

[eqn: C_eq = (4)(12) over 4+12 = 3`rm[F]],  [eqn: R_eq = (20)(5) over (20+5) = 4` rm[Omega]]

[eqn: cdot]시상수 :

[eqn: tau = R_eq C_eq = 4 cdot 3 = 12 `rm[s]]

예제 6.5) 다음 그림 6.9의 RL 회로에서 시상수를 구하라.

<해>

[eqn: cdot][eqn: R_eq`]를 구하기 위해, 그림 (b)에 보인 것처럼 시험전류[eqn: i`]를 회로 내에 흘러 들   어가게 하고 전압[eqn: v`]를 구한다. 그러면 [eqn: R_eq = v/i`] 로 구해진다.

[eqn: cdot]회로 (b)는 하나의 전류원을 가진 3 망로회로. 따라서 오직 두 개의 망로 방정식이 필요.

[eqn: cases{rm"mesh-1"~:~it 4 i_1 -2 i_2 -1 i =0` ## rm"mesh-2"~:~it -2 i_1 +5 i_2 -1 i=0`}]  [eqn: ->]  [eqn: cases{4 i_1 -2 i_2 = i` ## -2 i_1 +5 i_2 =i`}]

- 행렬식 : [eqn: bmatrix {~~4 & -2 # -2 & ~~``5``} bmatrix{i_1 # `i_2`} = bmatrix{i # ``i``}]

- 역행렬법에 의한 해 :

[eqn: bmatrix {i_1 # `i_2`} = 1 over 16 bmatrix{5 & 2 # 2 & 4} bmatrix{i # ``i``} = 1 over 16 bmatrix{7i # ``6i``}]

[eqn: cdot]외부회로에 KVL 적용,

[eqn: v = v_ab = 1i_1 + 2 i_2 = 7 over 16 i + 2 cdot 6 over 16 i = 19 over 16 i`]

[eqn: THEREFORE ~~under{R_eq = v over i = 19 over 16` rm[Omega]}]

[eqn: THEREFORE ~~under{tau = L over R_eq = 0.038 over 19/16 = 0.032 `rm[s] = 32 `rm[ms]}]

예제 6.6) [eqn: t=0`]에서 다음 그림 6.10의 회로의 출력은 [eqn: v_2 (0) =V_0`]이고, [eqn: t>0`]에서   [eqn: v_g (t)=0`]라 하자. [eqn: t>0`]에서 [eqn: v_2 (t)]를 구하라.

<해>

[eqn: cdot]가상단락원리에 의해, 마디 1의 전압은 0.

마디 1에서 KCL 방정식 :

[eqn: {v_g -0} over R_A + {v_2 -0} over R_F + C ``{d(v_2 -0)} over dt =0`]

[eqn: cdot]Since [eqn: v_g =0`] for [eqn: t>0`],    [eqn: v_2 over R_F + C dv_2 over dt =0`]

[eqn: THEREFORE ~~under{dv_2 over dt + 1 over {R_F `C} v_2 = 0`}]

[eqn: HOOKRIGHT]  제차방정식 [eqn: <-] 강제함수[eqn: =] 0

[eqn: cdot]특성방정식 :  [eqn: s+ 1 over {R_F `C} =0`] [eqn: ->] [eqn: s= - 1 over {R_F `C}`]

[eqn: cdot]따라서, 해는

[eqn: under{v_2 (t) =v_2 (0) `e^{- t over {R_F `C}} = V_0 ``e^{- t over {R_F `C`}}}]   [eqn: <-]  [eqn: under{v_2 (t)=K e^st`}]

6.4 직류전원이 있는 회로

* 초기저장에너지와 직류 독립전류원 또는 직류 독립전압원이 있는 회로.

* 다음 그림 6.11의 회로를 고려 :

[eqn: <-] [eqn: v(0-)=V_0 `rm[V]]

[eqn: cdot]스위칭 후, 윗쪽 마디에서 마디 방정식 :

[eqn: C dv over dt + v over R = I_0`] [eqn: ->] [eqn: dv over dt + 1 over RC v = I_0 over C`] (1계 미방)

[eqn: HOOKRIGHT] 비제차방정식 [eqn: <-] 강제함수[eqn: neq] 0

[eqn: cdot]비제차 미분방정식의 해 :

1) 강제해 :

[eqn: cdot]강제함수가 상수 ([eqn: I_0 /C`] )이므로, 시험강제해로 상수를 선택.

[eqn: v_f `(t) = A`]

[eqn: cdot][eqn: v_f `(t) = A`]를 미분방정식에 대입,

[eqn: d over dt A + A over RC = I_0 over C`]  [eqn: ->]  [eqn: A over RC = I_0 over C`]

[eqn: THEREFORE ~~under{v_f `(t) = A= R I_0 `}] :  강제해

2) 고유해 :

[eqn: cdot][eqn: v_n (t)]를 입력이 없는 미분방정식(제차방정식)의 해라 두면,

[eqn: dv_n over dt + left( 1 over RC right) v_n = 0`]

[eqn: cdot]시험고유해 및 특성방정식 :

[eqn: under{v_n = K e^st`}]  [eqn: ->]  [eqn: s+ 1 over RC = 0]  [eqn: ->]  [eqn: THEREFORE ~~under{v_n = K `e^-(1/RC)t`}]

3) 일반해 :

[eqn: cdot]일반해 [eqn: =] 강제해 [eqn: +] 고유해 :

[eqn: v(t) &=v_n (t) + v_f` (t) =K e^{- t over RC} +R I_0`]

[eqn: cdot]일반해를 미분방정식에 대입,

[eqn: dv(t) over dt + 1 over RC v(t) &= d over dt ( v_n + v_f ) + 1 over RC ( v_n + v_f ) ##&= left[ dv_n over dt + 1 over RC v_n right] + left[ dv_f over dt + 1 over RC v_f right] ##&= [0] + left[ I_0 over C right] = I_0 over C`]

[eqn: HOOKRIGHT] [eqn: v(t)=v_n (t) + v_f `(t)]는  고유해 [eqn: v_n (t)]에 있는 임의상수 [eqn: K`]의 값에 관계없이  강제함수가 있는 미분방정식을 만족.

4) 완전해 (최종해) :

[eqn: cdot]초기값을 사용하여 미지상수[eqn: K~]를 결정.

- Since [eqn: v(t) = v_n (t) + v_f `(t) = K `e^{- t over RC} + RI_0`],

[eqn: v(0+) = V_0 = K cdot 1 + RI_0`]  [eqn: ->]  [eqn: THEREFORE ~~under{K = V_0 - RI_0`}]

[eqn: THEREFORE ~~under{v(t) = (V_0 - RI_0 ) e^-(1/RC)t + RI_0`}]  :   완전해

* 강제함수가 있는 비제차 미분방정식의 해를 구하는 절차 :

1. 강제함수와 동일한 형식의 시험강제해를 선택하고, 이를 강제함수가 있는 미분방정식에 대입하여 강제해를 구한다.

2. 시험고유해 [eqn: K`e^st`]를 선택하고, 강제함수가 없는 제차 미분방정식에 대입한 후, 특성방정식을 풀어 [eqn: s`]를 구한다.

3. 전체(일반)해는 미지상수 [eqn: K`]를 포함하는 고유해와 강제해의 합이다. 초기값을 사용하여 [eqn: K`]의 값을 구하면 완전해가 구해진다.

예제 6.7) 다음 그림 6.12의 회로에서 [eqn: t`>`0`]에 대한 [eqn: i(t)]를 구하라.

<해>

* [eqn: t=0`] 이전에는 이 회로가 직류정상상태에 있었다고 가정하면, 회로는 다음과     같이 된다 : 그림 6.13 (a),

[eqn: cdot]인덕터는 단락회로로 동작하므로,

[eqn: i_L (0-)= i + i_1 = 12 over 2 + 16 over 4 = 10`rm[A]]

* [eqn: t`>`0`]에서, 회로는 다음과 같이 된다 : 그림 6.13 (b),

[eqn: cdot]KVL 적용,

[eqn: 1 cdot di over dt + 2i = 12`]  [eqn: ->]   [eqn: under{di over dt + 2i = 12`}]

1) 강제해 :

[eqn: cdot]강제함수가 12이므로, 시험강제해로 [eqn: i_f `(t)=A`]를 선택하여 대입,

[eqn: 0+2A = 12`]  [eqn: ->]  [eqn: under{A=6`}]

2) 고유해 :

[eqn: cdot]제차방정식 :

[eqn: {d`i_n} over dt + 2i_n = 0`]

[eqn: cdot]특성방정식 :

[eqn: s+2 = 0]  [eqn: ->]  [eqn: s=-2`]  [eqn: ->]  [eqn: under{i_n (t)=Ke^-2t`}]

3) 일반해 :

[eqn: under{i(t) = i_n (t) + i_f `(t) = K `e^-2t + 6`}]

[eqn: i(0+) = i_L (0+) = i_L (0-) = 10 = K(1) + 6`]  [eqn: ->]  [eqn: under{K=4`}]

4) 완전해 (최종해) :

[eqn: under{i(t) = 4e^-2t + 6} `rm[A]]

예제 6.8) 다음 그림 6.14의 회로에서 [eqn: v_2 (t)]를 구하라.

<해>

[eqn: cdot]반전입력단자에서의 마디방정식 :

[eqn: left( 1 over {25 times10^3} right)(10-0) + (50 times 10^-6 ) d over dt ( 10 - v_2 ) + left( 1 over { 20 times 10 ^3 } right) ( 10-v_2 ) = 0]

[eqn: THEREFORE ~~under{dv_2 over dt + v_2 = 18`}]

[eqn: cdot]강제해 :

- 시험강제해 : [eqn: under{v_2f `(t)=A`}] [eqn: ->]  대입  [eqn: ->]  [eqn: A=18`]

[eqn: cdot]고유해 :     [eqn: dv_2 over dt + v_2 = 0`]  [eqn: ->]  [eqn: s+1 =0`]  [eqn: ->]  [eqn: s=-1`]

[eqn: THEREFORE ~~under{v_2n (t) =K`e^-t`}]

[eqn: cdot]일반해 :     [eqn: under{v_2 (t) = v_2n(t) + v_2f (t) = K e^-t + 18`}]

[eqn: cdot]완전해 (최종해) :

- t<0 일 때 op amp 입력은 접지와 단락 → ∴ v1(0-) = v2(0-) = 0

- 커패시터 전압의 연속성에 의해,

[eqn: v_2 (0+) - v_1 (0+) = v_2 (0-) - v_1 (0-) =0]

[eqn: THEREFORE ~~under{v_2 (0+) =v_1 (0+) =10`rm[V]}]

- [eqn: v_2 (0+)=10`rm[V]]를 일반해에 대입,

[eqn: v_2 (0+) = K cdot 1 + 18 = 10`rm[V]] [eqn: ->]  [eqn: under{K=-8`}]

[eqn: THEREFORE ~~under{v_2 (t) = 18 - 8 `e^-t `rm[V]}, ~~it t``>=``0`]

예제 6.9) 여러 개의 독립전원과 종속전원이 있는 다음 그림 6.15의 1차회로에서,[eqn: t>0`]에서 인덕터를 통해 흐르는 전류 [eqn: i(t)]를 구하라.

단, [eqn: i(0-)=2`rm[A]]이다.

<해>

* 단자 a와 b에서 바라 본 전체회로의 테브냉 등가회로의 [eqn: v_oc`]와 [eqn: i_sc`] :

1) [eqn: v_oc`] :

그림 6.16 (a),

[eqn: cdot]by KVL,

[eqn: 1i_1 + 2i_1 + 2 (i_1 + 10 ) = 80`]  [eqn: ->]  [eqn: THEREFORE ~~under{i_1 =12`}]

[eqn: cdot]왼쪽 루프에서, by KVL :

[eqn: 1(12) + v_oc + 3 (12) = 80`]  [eqn: ->]  [eqn: THEREFORE ~~under{v_oc =32`rm[V]}]

2) [eqn: i_sc`] : 그림 6.16 (b)

[eqn: cdot]망로방정식 :

[eqn: cases{rm"mesh-1"~:~it 1i_1 = -3 v + 80 ~cdots~(1) ## rm"mesh-2"~:~it 2i_2 + 2 (i_2 + 10 ) = 3v ~cdots~(2)}]

- [eqn: v=i_1`]을 식 (1)에 대입,  [eqn: under{i_1 =20 `rm[A]}].

[eqn: THEREFORE ~~v=1 cdot i_1 =20rm[V]]

- [eqn: v=20`]을 식 (2)에 대입,

[eqn: 2i_2 + 2 ( i_2 + 10 ) = 3 (20 ) = 60`]  [eqn: ->]  [eqn: i_2 =10 rm[A]]

[eqn: THEREFORE ~~under{i_sc = i_1 - i_2 = 20 - 10 = 10 `rm[A]}]

3) 테브냉 등가저항 :

[eqn: R_T = v_oc over i_sc = 32 over 10 = 16 over 5 `rm[Omega]]

[eqn: cdot]테브냉 등가회로 :

[eqn: cdot]이 테브냉 등가회로 (간단한[eqn: RL`]회로) 에서, by KVL :

[eqn: 4 over 5 di over dt + 16 over 5 i =32`]

[eqn: ->][eqn: di over dt + 4i = 40`],

([eqn: i(0-)=i(0+)=2`rm[A]] : 문제에서 주어진 값)

[eqn: THEREFORE ~~under{i(t) = K e^-4t + A = 10 - 8 e^-4t} ``rm[A]]

* 완전해  = 고유해  + 강제해

= 과도응답  + 정상상태응답

6.5 1차회로에서의 중첩

* 일반 1계미분방정식,

[eqn: dx(t) over dt + 1 over tau x(t) = f(t), ~~ x(t_0 ) = x_0`]

여기서 [eqn: cases{x(t)~:~"cct variable (current or voltage)" ## f(t)~:~"forcing function"}]

[eqn: cdot]독립전원을 제거하면, 응답은 오직 초기조건에 기인.

[eqn: dx_ic over dt + 1 over tau x_ic = 0, ~~x_ic ( t_0 ) = x_0`]

[eqn: cdot]초기조건을 제거하면, 응답은 오직 독립전원에 기인.

[eqn: dx_s over dt + 1 over tau x_s = f(t) , ~~ x_s (t_0 ) = 0`]

[eqn: cdot]다음 식은 중첩 [eqn: x(t)=x_ic (t) + x_s (t)]가 원래의 강제함수가 있는 미분방정식을 만족함을 보여준다.

[eqn: dx over dt + 1 over tau x &= d over dt (x_ic + x_s ) + 1 over tau (x_ic + x_s ) ##&= left( d over dt x_ic + 1 over tau x_ic right) + left( d over dt x_s + 1 over tau x_s right) = 0 + f`(t)]

그리고

[eqn: x(t_0 ) = x_ic (t_0 ) + x_s (t_0 ) = x_0 + 0`]

* 전체 응답은 모든 독립전원을 제거하고 얻은 초기조건응답과 초기조건을 제거하고 얻은 독립전원응답의 중첩이다.

예제 6.10) 다음 그림 6.18의 회로에서 [eqn: v(t)]를 구하라. 단, [eqn: v(0-)=60`rm[V]]이다.

<해>

[eqn: cdot][eqn: t`<`0`]에서, 등가회로 : 그림 6.19 (a),

[eqn: cdot][eqn: t`>=`0`]에서, 회로는 그림 6.19 (b),

[eqn: cdot]두 개의 독립전원에 기인한 강제성분과 초기조건 [eqn: v(0+)=v(0-)=60`rm[V]]에 기인한 고유성분의 3가지 성분의 중첩으로써 [eqn: t`>0`]에 대한 [eqn: v(t)]를 구한다.

1) [eqn: 60`rm[V]] 전압원만에 의한 성분 [eqn: v_1s`] : (초기조건 제거)

[eqn: cdot]마디 a에서 KCL 적용 및 그 해 :

[eqn: 1 over 3 ( v_1s - 60 ) + 1 over 1 ( v_1s - 0) + 2 dv_1s over dt = 0`]

또는

[eqn: dv_1s over dt + 2 over 3 v_1s = 10`]  [eqn: ->]  [eqn: under{v_1s (t) = 15[1-e^-(2/3)t `]}]

([eqn: v_1s (0+)=0`])

2) [eqn: 40`rm[V]] 전압원만에 의한 성분 [eqn: v_2s`] : (초기조건 제거)

[eqn: cdot]마디 a에서 KCL 적용 및 그 해 :

[eqn: 1 over 3 v_2s + 1 over 1 (v_2s - 40 ) + 2 dv_2s over dt = 0`]

또는

[eqn: dv_2s over dt + 2 over 3 v_2s = 20`]  [eqn: ->]  [eqn: under{v_2s (t) = 30[1- e^-(2/3)t `]}]

([eqn: v_2s (0+)=0`])

3) 초기조건만에 의한 성분 [eqn: v_ic (t)] : (독립전원 제거)

[eqn: ->]

[eqn: cdot]마디 a에서 KCL 적용 및 그 해 :

[eqn: C dv_ic over dt + 1 over R v_ic = 0`]  [eqn: ->]  [eqn: dv_ic over dt + 2 over 3 v_ic = 0`]

[eqn: ->]  [eqn: under{v_ic (t) = 60 e^-(2/3)t `rm[V]}]

([eqn: v(0+)=60`])

[eqn: cdot]따라서, 3 성분의 중첩에 의해 :

[eqn: v(t) &= v_ic (t) + v_1s (t) + v_2s (t) ` ##&= 15`[1-e^{-(2/3)t}`] + 30[1-e^{-(2/3)t}`]+60 `e^{-(2/3)t`} ##&= under{15 e^-(2/3)t + 45`}rm[V]]

예제 6.11)  다음 그림 6.20의 회로에서 중첩원리에 의해 [eqn: i(t)]를 구하라.

단, [eqn: i(0-)=2`rm[A]]이다.

<해>

1) 모든 독립전원을 제거하고 초기조건만에 의한 성분 [eqn: i_ic`] : 그림 6.21

[eqn: ->]

[eqn: cdot]단일루프회로에서 KVL 적용 및 그 해 :

[eqn: 4 over 5 left( di_ic over dt right) + 3v + 4 over 5 i_ic = 0`]

- [eqn: v= 4 over 5 i_ic`]를 대입하고 [eqn: 4 over 5`]로 나누면,

[eqn: di_ic over dt + 4 i_ic = 0`]  [eqn: ->]  [eqn: under{i_ic (t) = 2 e^-4t`} rm[A]}]

([eqn: BECAUSE ~i(0-)=i(0+)=2`rm[A]])

2) [eqn: 80`rm[V]] 전압원만에 의한 성분 [eqn: i_{f``1}`] : (초기조건 제거) : 그림 6.22 (a)

[eqn: cdot]망로방정식 :

[eqn: cases{i_1 + 4(i_1 - i_2 ) = 80 ~cdots(1) ## 4 over 5 di_2 over dt + 3 i_1 + 4(i_2 - i_1 ) = 0 ~cdots~(2)~~~<-~~~under{v=i_1`}}]

- 식 (1)로 부터 : [eqn: i_1 = 1 over 5 (i_2 +80)]  [eqn: ->]  (2),

[eqn: d over dt i_2 + 4 i_2 = 20, ~~~ i_2 (0+ ) = 0`]

[eqn: THEREFORE ~~under{i_2 (t) = 5(1-e^-4t `) = i_{f`1} (t)}]

3) [eqn: 10`rm[A]] 전류원만에 의한 성분 [eqn: i_{f``2}`] : (초기조건 제거) : 그림 6.22 (b)

[eqn: cdot]망로방정식 :

[eqn: cases{4 over 5 left( di_1 over dt right) + (i_1 - i_2 ) - 3(i_2 - i_1 ) = 0~cdots~(1) ~~<-~~under{v=i_2 -i_1`} ## 2i_2 + 2(i_2 + 10) + (i_2 - i_1 ) =0 ~cdots~(2)}]

- 식 (2)로 부터,  [eqn: i_2 = 1 over 5 i_1 -4`]  [eqn: ->]  (1),

[eqn: {d`i_1} over dt + 4`i_1 = -20, ~~~i_1 (0+) = 0`]

[eqn: THEREFORE ~~i_1 (t) = -5(1-e^-4t `) `rm[A]]

[eqn: THEREFORE under{i_{f`2} (t) = -i_1 (t) = 5(1-e^-4t `)} `rm[A]]

[eqn: cdot]따라서, 3 성분의 중첩에 의해 :

[eqn: under{i(t)} &= i_ic (t) + i_{f``1} (t) + i_{f``2} (t) ##&= 2`e^-4t + 10(1-e^-4t `) = under{10 - 8`e^-4t` rm[A]}]

6.6 단위스텝함수

* 특이함수(singularity function) : 어떤 시점에서 불연속적인 특이한 모양으로           값이 변하는 강제함수.

[eqn: cdot]단위스텝함수(unit step function) :

영국 엔지니어 Oliver Heaviside (1850-1925)에 의해 명명.

u(t) = 0,    for  t < 0   or   (  ) < 0

1,    for  t > 0   or   (  ) > 0

* 단위스텝함수 u(t)의 그래프 : 그림 6.23

- 어떤 사람은 [eqn: u(0)=1`]로 정의; 또 어떤 사람은 [eqn: u(0)= 1 over 2`]로 정의;

본 수업에서는 [eqn: t=0`]에서 [eqn: u(t)]를 정의하지 않고 남겨두기로 한다.

[eqn: cdot]가중스텝함수(weighted step function) :

[eqn: Vu(t) &=0,~~t<0` ##&= V,~~t>0`]

- [eqn: V `rm[V]] 스텝전압원과 그 등가회로 : 그림 6.24

- [eqn: I `rm[A]] 스텝전류원과 그 등가회로 : 그림 6.25

[eqn: cdot]시간변이 단위스텝함수 : 그림 6.26

(time-shifted unit step function)

[eqn: u(t - t_0 ) &= 0, ~t<t_0 ~~or~(t-t_0 )<0` ##&= 1, ~t> t_0 ~~or~(t-t_0 )>0`]   [eqn: ->]

예제 6.12) 다음과 같은 [eqn: u(t)]와 [eqn: u(t-t_0 )]의 선형결합 파형을 그려라.

[eqn: v(t) =K_1 u(t) + K_2 u(t-t_0 )] :   파형 합성

<해>

그림 6.27,

[eqn: v(t) = cases{0, ~~~~~~~~t<0` ## K_1 , ~~~~~~``0 < t < t_0` ## K_1 + K_2 ,~`t > t_0`}]

[eqn: cdot]시간반전 단위스텝함수

(time-inverted unit step function) :

[eqn: u(-t) =cases{0,~t`>`0,~or~(-t`)`<`0` ## 1,~t`<`0,~``or~(-t`)`>`0`}]

예제 6.13) 다음 그림 6.28 (a)의 회로에서 [eqn: i(t)]를 구하라.

<해>

[eqn: cdot][eqn: t`<`0`]와 [eqn: t`>`0`]에 대한 등가회로 : 그림 6.28 (b)와 (c),

[eqn: HOOKRIGHT] [eqn: i(t) = I_0 `e^{-t/ tau } ``rm[A]]  [eqn: <->]  [eqn: tau = L over R = 4`]

- 또한

[eqn: i( 0+) = i(0-) = 2 = I_0 cdot 1`]  [eqn: ->]  [eqn: THEREFORE ~~under{i(t) = 2 `e^{ -t / 4}} `rm[A]]

6.7 스텝응답과 펄스응답

* 스텝응답(step response) : 오직 하나의 단위스텝함수로 된 독립전원에 대한 회로의 응답.

- [eqn: u(0-) =0`]이므로, [eqn: t=0-`]에서의 직류정상상태응답은 0 이어야 하며, 저장소자에는 어떠한 에너지도 저장되어서는 안됨.

예제 6.14) 입력이 [eqn: v_g (t) =u(t) `rm[V]]인 다음 그림 6.29의 회로에서 스텝응답       [eqn: v(t)]를 구하라.

<해>

[eqn: cdot][eqn: t`<`0`]에 대해 [eqn: v_g (t)=0`]이므로,

[eqn: t=0-]에서의 직류정상상태는 [eqn: v(0-)=0`rm[V]].

[eqn: cdot]커패시터 전압의 연속성에 의해 :  [eqn: v(0+)=v(0-)=0`rm[V]]

[eqn: cdot]노튼 등가회로 :

- [eqn: t>0`]에 대해 KCL 적용,

[eqn: C dv over dt + 1 over R v = v_g over R = 1 over R`] [eqn: ->] [eqn: dv over dt + 1 over RC v = 1 over RC` ~cdots~(1)]

1) 고유응답 :   [eqn: s + 1 over RC =0`]  [eqn: ->]  [eqn: under{v_n (t) =K e^{-t/RC`}}]

2) 강제응답 :   [eqn: v_f `=A`] [eqn: ->]  (1),  [eqn: under{A=1`}]

3) 일반해 :    [eqn: under{v(t)=v_n (t) + v_f (t) = K `e^{-t/RC} +1 `}]

4) 완전해 :     [eqn: v(0+)=0`]  [eqn: ->]  [eqn: K=-1`]

[eqn: THEREFORE ~~under{v(t)=(1-e^{-t/RC `}`) `u(t)}]

예제 6.15) 다음 그림 6.30의 회로에서 [eqn: v_2 (t)]를 구하라.

<해>

[eqn: cdot]반전입력단자에서 마디방정식 :

[eqn: C {dv_2 (t)} over dt + {v_1 (t)} over R =0`]

[eqn: THEREFORE ~~dv_2 over dt = - 1 over RC v_1`]  [eqn: ->]  [eqn: dv_2 = - 1 over RC v_1 (t) dt`]

[eqn: THEREFORE ~~v_2 (t) = - 1 over RC int from 0+ to t v_1 (tau ) d tau + v_2 (0+)] :  (적분회로)

- [eqn: v_1 (t)=u(t)]이므로,   [eqn: v_2 (0+)= v_2 (0-) =0`].

[eqn: THEREFORE ~~under{v_2 (t) = - 1 over RC int from 0+ to t d tau + 0 = left( - 1 over RC right) t` = - 1 over RC t ``u(t)}]

그림 6.31,

- 함수 [eqn: t``u(t)]는 단위경사(unit ramp) 특이함수  [[eqn: r(t)]]라 한다.

* 펄스응답(response to a pulse) :

예제 6.16) 다음 그림 6.32의 회로에서 전류펄스입력에 대한 5H 인덕터를 통해     흐르는 전류(펄스응답)을 구하라.

[eqn: i_g (t) &= 6 `[u(t)-u(t-1)] `rm [A] ##&=cases{6,~~0`<`t`<`1 ## 0,~~"otherwise"}]

<해>

[eqn: cdot]전원과 [eqn: 5`rm[Omega]] 저항을 테브냉 등가회로로 대치 : 그림 6.32 (b)

[eqn: cdot]KVL 방정식 :

[eqn: L di(t) over dt + Ri(t) = v_g (t)]  [eqn: ->]  [eqn: 5 di(t) over dt + 5 i(t) = 5 i_g (t)]

[eqn: THEREFORE ~~under{di(t) over dt + i(t) = i_g (t)} ~cdots~ (1)]

[eqn: cdot][eqn: i(t)]의 결정 :

(1) [eqn: t`<`0`] : 모든 전류와 전압이 0 이므로, [eqn: under{i(0-)=i(0+)=0`}]

(2) [eqn: 0`<`t`<`1`] : [eqn: i_g (t) =6`]이므로,  [eqn: di(t) over dt + i(t) = 6`]

- 강제해 : [eqn: under{i_f `(t) =A`}] [eqn: ->] (1)  : [eqn: under{A=6`}]

- 고유해 : [eqn: i_n (t)=Ke^st`] [eqn: ->] 식 (1)의 제차 형식

[eqn: s+1 =0`] [eqn: ->] [eqn: under{i_n (t)= Ke^-t`}]

- 일반해 : [eqn: under{i(t)=i_n (t) + i_f (t)=Ke^-t +6`}]

[eqn: i(0+)=0`]이므로, [eqn: i(0+) = K cdot 1 + 6=0`]. [eqn: ->] [eqn: K=-6`]

[eqn: THEREFORE ~~under{i(t) = 6( 1- e^{-t} `) `rm [A],~~it 0`<`t`<`1`}]

(3) [eqn: t`>`1`] : 회로가 전원이 없으므로,

[eqn: di(t) over dt + i(t) = 0`] [eqn: ->] [eqn: i(t) = Ke^-t`]

- [eqn: i(1-) = 6(1 - e^-1 ) = 3.79 `rm [A]]이므로, [eqn: i(1+)=i(1-)=3.79`]

[eqn: THEREFORE ~~i`(1+)=3.79 =Ke^-(1+)] [eqn: ->] [eqn: K=3.79 `e^1`]

[eqn: THEREFORE ~~under{i(t) = 3.79 e^1 e^-t = 3.79 e^-(t-1)} `rm[A]]

그림 6.33

6.8 SPICE와 과도응답

SPICE 사용법 참조.

* 요 약 : Self-study

Report

<문제> 6.2, 6.7, 6.14, 6.17, 6.22, 6.33, 6.35, 6.40, 6.41

(9 문제)