제 5 장  에너지 저장 소자

* 차례

5.1 커패시터

5.2 커패시터의 저장 에너지

5.3 커패시터의 직렬 및 병렬 접속

5.4 인덕터

5.5 인덕터의 저장 에너지

5.6 인덕터의 직렬 및 병렬 접속

5.7 직류정상상태

5.8 실용 커패시터와 인덕터

5.9 특이회로

* 저항과 전원들만 있는 회로 : 단순 대수방정식

커패시터와 인덕터가 있는 회로 : 미적분방정식

* 커패시터와 인덕터 : 에너지 저장 소자 (동적소자 : dynamic element)

- 동적 (dynamic) : 후에 회수될 수 있는 에너지를 저장하기 때문.

5.1 커패시터

* 커패시터(capacitor) : 부도체(절연체 : insulator) 또는 유전체(dielectric)로 서로            분리된 두 도체로 구성된 2단자 소자.

* 평행판 커패시터 (병렬 평판 커패시터 : parallel-plate capacitor) : 그림 5.1

: 커패시터 내의 순전하(net charge)는 항     상 0 이다. (한 단자에서 유출한 전하     는 다른 단자로 유입한다)

[eqn: cdot]커패시터 내의 평판 사이의 전위차는 한쪽 평판에서 외부회로를 통해 다른쪽 평판으로 [eqn: q`] coulomb의 전하를 전달함으로써 충전된다.

[eqn: HOOKRIGHT] 점 b에서 점 a로 [eqn: +1rm[C]]의 시험전하를 이동시키는 데 필요한 일[eqn: rm[J]].

([eqn: BECAUSE]인력(attractive force)과 척력(repulsive force):정전기력(electrostatic force)

[eqn: v_ab =f`(q)],  ([eqn: f``] : 증가함수)

* 선형 커패시터(linear capacitor) : 전하-전압 관계가 원점을 통과하는 직선, 즉               [eqn: v_ab =f`(q) =Kq`]로 되는 2단자 소자.

단, [eqn: under{q=C`v`}]

* 커패시턴스(capacitance) ([eqn: C`] ) : [[eqn: rm C/V`]] 또는 [[eqn: rm F`]] [eqn: <-] 영국 물리학자

Michael Faraday

[eqn: cdot]커패시터를 통해 흐르는 전류 : [eqn: HOOKRIGHT] 전류는 전하의 시간 변화율로 정의.

* 커패시터의 회로기호 : 그림 5.2 :

[eqn: i= dq over dt = C dv over dt`]

: 커패시터의 전류-전압 관계식 또는 단자법칙

[eqn: cdot]만약 수동부호규정이 만족되지 않으면,

[eqn: i= - C dv over dt`]

예제 5.1)[eqn: v=6 cos 2t~rm [V]]일 때,[eqn: rm 1 ``mu F`] 커패시터를 통해 흐르는 전류 i를 구하라.

<해>

[eqn: i&= C dv over dt =(10^-6 ) (-12 sin2t) ##&= -12sin2t ~rm [mu A]] [eqn: ->] [eqn: v= 1 over C int_-inf^t i `dt`]

[eqn: cdot]커패시터는 직류전압에 대해 개방(open)회로로 동작. [eqn: ->]

예제 5.2) 다음과 같은 전압이 [eqn: 1`rm F`] 커패시터에 인가될 때 전류 i를 구하라.

(그림 5.3)

[eqn: v=cases{0,~~t`<`0 ## at,~``0`<=`t`<=`1 over a` ## 1,~~`t`>` 1 over a`}]

<해>

[eqn: cdot]Since [eqn: i= C dv over dt`],

[eqn: i=cases{0,~~t`<`0 ## a,~~0`<=`t`<=`1 over a` ## 0,~~ t`>`1 over a`}]

* 연속성의 원리(continuity principle) :

- 커패시터에 걸리는 전압은 항상 연속적이다. 즉, 커패시터에 걸리는 전압은 불연속적으로 또는 순간적으로 변화할 수 없다.

* 단자 전압 [eqn: v(t)]를 [eqn: i(t)]의 식으로 나타내면 :

since [eqn: i(t)= C dv(t) over dt`],

[eqn: v(t) = 1 over C int_-inf^t i(tau) d tau = 1 over C int_-inf^t_0 i(tau) d tau + 1 over C int_{t_0}^t i(tau) d tau = 1 over C int_{t_0}^t i(tau) d tau + v(t_0 )]

예제 5.3) 다음과 같은 전류 [eqn: i(t)]에 대한 커패시터 전압 [eqn: v(t)]를 구하라.

<해>

[eqn: cdot]Since [eqn: under{v(t)= 1 over C int_-inf^t i(tau) d tau`}]  and  [eqn: v(-inf)=0`],

[eqn: v(t) = cases{1 over 1 int from -inf to t (0)`d tau + v`(-inf) =0,~~under{t`<=`0`} ## 1 over 1 int from 0 to t a ``d tau + v`(0) =at,~~~~~~~~ under{0`<=`t`<=`1 over a`} ## 1 over 1 int from 1/a to t (0) `d tau + v ``left(1 over a right) = 1 ,~~~~` under{t`>=` 1 over a`}}]

5.2 커패시터의 저장 에너지

* 커패시터에 저장되는 에너지는 두 평판 사이의 전계 내에 저장.

* 커패시터에 저장되는 에너지 : 정전 에너지(electrostatic energy)

[eqn: w_C (t) = int_-inf^t p(tau) d tau = int_-inf^t v(tau) i(tau)`d tau = int_-inf^t v(tau) left[ C `dv(tau) over {d tau} right] `d tau`]

즉,

[eqn: w_C (t) = int_-inf^t C `v(tau) `dv(tau) = 1 over 2 C `v^2 (t)`rm[J]]

* 커패시터는 수동소자이며, 에너지를 소비하지 않는다.

예) [eqn: 10`rm V`]의 전압이 걸린 1F 커패시터에 저장되는 에너지 :

[eqn: w_C = 1 over 2 C `v^2 = 1 over 2 cdot 1 cdot 10^2 = 50``rm[J]]

* 커패시터에 걸리는 전압이 시간에 대해 연속함수이므로, 커패시터에 저장되는 에너지도 연속적이다.

[eqn: HOOKRIGHT] 에너지의 순간 변화는 무한대의 전력을 요구 : 불가능

* 커패시터 전압의 연속성을 보여주는 회로 예 : 그림 5.4

[eqn: cdot]스위칭 직전/직후 시간의 표시 :

[eqn: 0-] : 스위칭 직전의 시간

[eqn: 0+]  : 스위칭 직후의 시간

[eqn: THEREFORE ~~under{v_C (0+) =v_C (0-)}]

예제 5.4) 그림 5.4에서 [eqn: V_s =6`rm V`]이고 [eqn: v_C (t) |_t=0 =v_C (0) =4`rm V`]라 하자. 전압    [eqn: v_1 (t)] 와 [eqn: v_C (t)]에 대해 스위칭 전과 후의 값을 구하라.

(단, 스위치[eqn: K`]는 [eqn: t=0`]에서 개방)

<해>

[eqn: cdot]스위칭 전과 후 :

[eqn: cases{v_1 (0-)=V_s -v_C (0-) =6-4 =2`rm V` ## v_1 (0+)=0`}],   [eqn: v_C (0+) = v_C (0-) = 4 `rm V`]

5.3 커패시터의 직렬 및 병렬 접속

* 직렬 및 병렬 접속된 커패시터의 등가 커패시턴스를 구하는 방법.

1) [eqn: N``]개 커패시터의 직렬접속 : 그림 5.5

[eqn: cdot]회로 (a)에서 KVL 적용 및 단자법칙 사용,

[eqn: v(t) &= v_1 (t) + v_2 (t)+ cdots + v_N `(t)` ##&= left(1 over C_1 int_{t_0}^t i `d tau + v_1 (t_0 ) right)+ left(1 over C_2 int_{t_0}^t i`d tau + v_2 (t_0 ) right)+ cdots ##&~~+ left(1 over C_N int_{t_0}^t i `d tau + v_N `(t_0 ) right) `### &= under{left(sum_n=1^N 1 over C_n right) int_{t_0}^t i `d tau + v`(t_0 )`}]

[eqn: cdot]회로 (b)에서 단자법칙,

[eqn: v(t) = under{1 over C_s int_{t_0}^t i `d tau + v`(t_0 )`}]

[eqn: cdot]두 단자법칙이 동일하므로 다음 식이 성립하면 두 회로는 등가.

[eqn: 1 over C_s = sum_n=1^N 1 over C_n` = 1 over C_1 + 1 over C_2 + cdots + 1 over C_N~]

or, [eqn: C_s = 1 over { 1 over C_1 + 1 over C_2 + cdots + 1 over C_N`}]

[eqn: HOOKRIGHT] 직렬접속된 커패시터의 등가 커패시턴스의 역수는 각 커패시턴스의          역수의 합.

* 두 개의 커패시터가 직렬접속된 경우 :

[eqn: under{C_s = 1 over {1 over C_1 + 1 over C_2} = {C_1 C_2} over {C_1 + C_2 }`}]

2) [eqn: N``]개 커패시터의 병렬접속 : 그림 5.6

[eqn: cdot]회로 (a)에 KCL 적용,

[eqn: i &= C_1 dv over dt + C_2 dv over dt + cdots + C_N `dv over dt` = (C_1 + C_2 + cdots + C_N ) dv over dt` ##&= under{left( sum from n=1 to N C_n right) dv over dt `}]

[eqn: cdot]회로 (b)에서 단자법칙,

[eqn: i= under{C_p dv over dt`}]

[eqn: cdot]두 단자법칙이 동일하므로 다음 식이 성립하면 두 회로는 등가.

[eqn: C_p = sum_n=1^N C_n = C_1 + C_2 + cdots + C_N~]

[eqn: HOOKRIGHT] 병렬접속된 커패시터의 등가 커패시턴스는 각 커패시턴스의 합.

예제 5.5) 다음 그림 5.7의 회로에서 등가 커패시턴스 Ceq를 구하라.

<해>

[eqn: C_eq = 1 over {1 over 4 + 1 over 1 + 1 over {4/3} } = 1 over 2`rmF`]

예제 5.6) 다음 그림 5.8의 회로에서 [eqn: v_1 (0)=10`rm V`]일 때, [eqn: t`>=`0`]에 대해 [eqn: v_1 (t)]를            구하라.

<해>

[eqn: cdot]직렬접속된 커패시터의 등가 커패시턴스 : 그림 (a)에서,

[eqn: C_s = 1 over {1 over 1 + 1 over 2 + 1 over 2}= 1 over 2`rm F`]  [eqn: RARROW]  (b)

[eqn: cdot]회로를 통해 흐르는 전류 : 그림 (b)에서,

[eqn: i= C_s dv over dt = C_s d over dt ( 3 sin 2t ) = 1 over 2 (6 cos 2t) = under{3 cos 2t``} ~rm [A]]

[eqn: cdot]따라서, 전압 [eqn: v_1 (t)]는

[eqn: v_1 (t) &= 1 over C_1 int_{t_0}^t i ( tau ) d tau+ v_1 (t_0 )= int_0^t (3 cos 2 tau)d tau + 10 ##&= under{3 over 2 sin 2t + 10} ~rm[V]~~<->~it under{v_1 (0)=10`}]

[eqn: cdot]검산 :

[eqn: i = C_1 dv_1 over dt = 1 cdot d over dt left( 3 over 2 sin 2t + 10 right)= 3 cos 2t ~rm[A]]

5.4 인덕터

* 움직이는 전하 즉, 전류가 흐르는 두 이웃하는 도선 사이에는 동전력           (electrodynamic force)이 작용.

[eqn: ->] 프랑스 과학자 Andre Marie Ampere (1775-1836)가 실험을 통해 입증.

[eqn: ->] 자장(magnetic field), 자속 (magnetic flux)

* 인덕터(inductor : 유도소자) : 코아 주위에 감겨진 코일로 된 도선으로

이루어진 2단자 소자.

* 인덕터를 통해 흐르는 전류는 자속(magnetic flux) [eqn: phi`]를 생성 : 그림 5.9

[eqn: cdot]자속 쇄교(Flux linkage) :  [eqn: under{lambda = N `phi} ~rm[Wb-turn]]

- 자속의 단위 : 웨버(Weber)[eqn: rm[Wb]],

독일 물리학자 Wilhelm Weber (1804-1891).

[eqn: cdot]선형 인덕터에서,   [eqn: under{lambda = L `i} ~rm[Wb-turn]]

[eqn: HOOKRIGHT] [eqn: L`] = 비례상수[eqn: rm[Wb-turn/A]] 또는[eqn: rm[H]]

[eqn: rm[H]] : 미국 물리학자 Joseph Henry  (1797-1878)

* 자속이 시간에 따라 변화하면 전압이 유기된다는 사실은 Henry가 최초로 발견.       → 미공표.

전자기유도법칙은 Faraday가 발견 : 전압은 전체 자속의 시간 변화율과 같다.

[eqn: v= {d lambda} over dt = {d(Li`)} over dt`]

[eqn: cdot]따라서, 인덕터의 단자법칙 :

[eqn: v=L di over dt`]

[eqn: HOOKRIGHT] 만약 [eqn: i`]가 일정하면, 전압 [eqn: v`]는 0이 된다.

따라서 인덕터는 직류전류에 대해서는 단락회로로 동작.

* 인덕터의 회로기호 : 그림 5.10

예제 5.7) 다음과 같은 전류가 1H 인덕터에 인가될 때 유기되는 전압 v를 구하라. (그림 5.11)

[eqn: ->]    [eqn: i = cases{0, ~~``t<0 ## at, ~~0`<=`t`<=`1 over a` ## 1, ~~~t``> 1 over a`}]

<해>

[eqn: cdot]1H 인덕터에 유기되는 전압 ([eqn: L=1`]) :

[eqn: v= L di over dt = di over dt = cases{0, ~~t<0 ## a, ~~0`<=`t`<=` 1 over a` ## 0,~~ t`> 1 over a`}]    [eqn: ->]

* 인덕터의 순간(불연속)변화는 인덕터 단자에 무한대의 전압 요구 : 불가능.

[eqn: HOOKRIGHT] ∴ 인덕터를 통해 흐르는 전류는 항상 연속적.

* 전류[eqn: i(t)]를 [eqn: v(t)]의 식으로 나타내면 :

[eqn: v(t)= L di(t) over dt`] 및 [eqn: i(-inf)=0`] 이므로,

[eqn: i(t) = 1 over L int_-inf^t v(tau) d tau = 1 over L int_-inf^{t_0} v(tau) d tau + 1 over L int_{t_0}^t v(tau) d tau = 1 over L int_{t_0}^t v(tau) d tau + i( t_0 )`]

예제 5.8) 다음과 같은 전압이 인가될 때 [eqn: t= 1/a`] 에서 1H 인덕터를 통해 흐르는   전류 i를 구하라. (그림 5.11)

<해>

[eqn: cdot][eqn: t_0 =0`]라 두면,

[eqn: i `left( 1 over a right) = 1 over 1 int_0^{1/a} v( tau ) d tau +0 = int_0^{1/a} a ``d tau = 1~rm[A]]

[eqn: cdot][eqn: t_0 = 1 over 2a`]이라 두면,

[eqn: i `left(1 over a right) &= 1 over 1 int_{1/2a}^{1/a} v(tau ) d tau + 1 over 1 int_0^1/2a v(tau) d tau ##&= int_1/2a^1/a a `d tau + int_0^1/2a a `d tau` = 1 over 2 + 1 over 2 = 1~rm[A]]

5.5 인덕터의 저장 에너지

* 인덕터 내에 자속 [eqn: phi`]를 생성하기 위해서는 외부회로에 의해 일이 수행되어야 한다. 이 일 또는 에너지는 자계 내에 저장.

[eqn: cdot]인덕터에 저장되는 에너지 :

[eqn: w_L (t) = int_-inf^t v`i ``d tau = int_-inf^t left( L di over {d tau} right) `i`d tau =int_{i(-inf)}^{i(t`)} L i`` di = 1 over 2 L` i^{2} (t)`rm[J]]

* 인덕터는 수동소자이며 에너지를 소비하지 않는다.

예) [eqn: 5`rm A`]의 전류가 흐르는 2H 인덕터에 저장되는 에너지 :

[eqn: w_L = 1 over 2 L i^2 = 25~rm[J]]

예제 5.9) 그림 5.12에서 [eqn: I=3`rm A`]이고 [eqn: i_L (t) |_t=0- =i_L (0-) =2`rm A`]라 하자. 전류  [eqn: i_1 (t)]와 [eqn: i_L (t)]에 대해 스위칭 전과 후의 값을 구하라. (단, 스위치 [eqn: K`]는 [eqn: t=0`]에서 닫힘)

<해>

[eqn: cases{i_1 (0-)=I-i_L (0-) =3-2=1`rm[A] ## i_1 (0+)=0 ~~( BECAUSE ~rm"short by" ``it K``)}],  [eqn: i_L (0+) = i_L (0-) = 2 ``rm[A]]

5.6 인덕터의 직렬 및 병렬 접속

* 직렬 및 병렬 접속된 인덕터의 등가 인덕턴스를 구하는 방법.

1) [eqn: N``]개 인덕터의 직렬접속 : 그림 5.13

[eqn: cdot]회로 (a)에서 KVL 적용 및 단자법칙 사용,

[eqn: v &= v_1 + v_2 + cdots + v_N = L_1 di over dt + L_2 di over dt + cdots + L_N di over dt ##&= under{left( sum from n=1 to N L_n right ) di over dt`}]

[eqn: cdot]회로 (b)에서 단자법칙,     [eqn: under{v= L_s di over dt`}]

[eqn: cdot]두 단자법칙이 동일하므로 다음 식이 성립하면 두 회로는 등가.

[eqn: L_s = sum_n=1^N L_n = L_1 + L_2 + cdots + L_N`]

[eqn: HOOKRIGHT] 직렬접속된 인덕터의 등가 인덕턴스는 각 인덕턴스의 합.

2) [eqn: N``]개 인덕터의 병렬접속 : 그림 5.14

[eqn: cdot]회로 (a)에 KCL 적용 및 단자법칙,

[eqn: i(t) &= i_1 + i_2 + cdots + i_N ##&=left ( 1 over L_1 int_{t_0}^t v `d tau + i_1 (t_0 ) right) + left( 1 over L_2 int_{t_0}^t v `d tau + i_2 (t_0 ) right) + cdots ## & ~~+ left( 1 over L_N int_{t_0}^t v` d tau + i_N `(t_0 ) right) ###&= under{left(sum_n=1^N 1 over L_n right) int_{t_0}^t v `d tau + i (t_0 )}]

[eqn: cdot]회로 (b)에서 단자법칙,

[eqn: i(t) = under{1 over L_p int_{t_0}^t v `d tau + i`(t_0 )}]

[eqn: cdot]두 단자법칙이 동일하므로 다음 식이 성립하면 두 회로는 등가.

[eqn: 1 over L_p = sum_n=1^N 1 over L_n = 1 over L_1 + 1 over L_2 + cdots + 1 over L_N`]

or,   [eqn: L_p = 1 over { 1 over L_1 + 1 over L_2 + cdots + 1 over L_N}]

[eqn: HOOKRIGHT] 병렬접속된 인덕터의 등가 인덕턴스의 역수는 각 인덕턴스의 역수의 합.

* 두 개의 인덕터가 병렬접속된 경우 :

[eqn: under{L_p = 1 over { 1 over L_1 + 1 over L_2} = {L_1 L_2} over {L_1 + L_2`}}]

예제 5.10) 다음 그림 5.15의 회로에서 전압 [eqn: v(t)]를 구하라.

<해>

[eqn: cdot]등가 인덕턴스 :

[eqn: <-]   [eqn: L_eq1 = {(2)(2)} over {2+2} = 1`rm[H]]

[eqn: <-]  [eqn: 1 over L_eq = 1 over 5/3 + 1 over 5/2 = 3 over 5 + 2 over 5 = 1]

i.e., [eqn: under{L_eq =1`rm H`}]

[eqn: cdot]따라서, 전압은

[eqn: under{v(t) = L_eq di over dt = 1 cdot d over dt (6t) = 6`rm V`}]

5.7 직류정상상태

* 모든 독립전원이 직류전원일 때 그 회로 내의 모든 전류와 전압은 일정.

→ 그 회로는 직류정상상태에 있다.

* 모든 전류와 전압이 상수인 직류정상상태에서,

인덕터는 단락회로로, 커패시터는 개방회로로 대치.

예제 5.11) 다음 그림 5.16의 회로가 직류정상상태에 있을 때 [eqn: i`]와 [eqn: v`]를 구하라.

<해>

[eqn: cdot]직류정상상태 등가회로 : [eqn: L~->~]단락(short), [eqn: C~->~]개방(open)

[eqn: cdot]가상망로(supermesh)에 대한 KVL 방정식과 해 :

[eqn: 2i + 4 (i+6) = 36] [eqn: ->] [eqn: under{i=2`rm A`}],  [eqn: THEREFORE ~~under{v= 4 (i+6) = 4(8) = 32`rm V`}]

예제 5.12) [eqn: under{v`(t_0 -)=100`rm V`}]이고 회로는 [eqn: t=t_0`]에서 스위칭한 후 예제 5.11에서    보여준 것과 같은 회로가 되었다고 하자. 스위칭 및 직류정상상태에    서의 커패시터 전압을 각각 구하라.

<해>

at switching  : [eqn: under{v `(t_0 +)= v`(t_0 -)=100`rm V`}]  ,

in dc steady state : [eqn: under{v(t)=32` rm V`}]

5.8 실용 커패시터와 인덕터

* 개별(discrete) 커패시터는 그 모양과 값 및 규정전압(voltage rating) 등에 따라 다양하게 이용.

[eqn: cdot]규정전압(voltage rating) 또는 동작전압 (working voltage) :

커패시터에 안전하게 인가될 수 있는 최대전압.

* 실용 커패시터는 유전체를 통해 흐르는 누설전류(leakage current) 때문에,

작지만 0이 아닌 양의 전력을 소모.

[eqn: cdot]유전체(dielectric material) : ceramic, Mylar, Teflon, 및 polystyrene, 등.

* 실용 커패시터 등가회로 : 그림 5.17

* 실용 인덕터는 개별 소자로만 이용되며, 코일 저항과 코아 손실(즉, 와류손 : eddy current loss) 때문에, 작지만 0이 아닌 양의 전력을 소모.

* 실용 인덕터 등가회로 : 그림 5.18

[eqn: cdot]인덕터는 전화회로 및 라디오 수신기로부터 전원장치 및 전동기에 이르기까지 많은 전자응용에 아직도 널리 사용.

5.9 특이회로

* 특이회로(singular circuit) :

스위칭 동작으로  커패시터 전압 또는 인덕터 전류에 불연속이 생겨  연속성의

원리가 만족되지 않는 것처럼 보이는 회로.

예제 5.13) 다음 그림 5.19의 커패시터 특이회로에서, [eqn: under{v_1 (0-)=1`rm V`}]이고         [eqn: under{v_2 (0-)=0`rm V`}]일 때, 연속성의 원리에 대해 설명하라.

<해>

[eqn: cdot]스위치가 닫힌 직후, 연속성의 원리에 의해 다음 식이 만족되어야 한다.

[eqn: under{v_1 (0+)=1`rm V`}] 및 [eqn: under{v_2 (0+) =0`rm V`}]

[eqn: cdot]그러나 KVL에 의해,

[eqn: v_1 (0+) - v_2 (0+) =0`] [eqn: ->] [eqn: under{v_2 (0+)=v_1 (0+)=1`rm V`}]

이 만족되어야 함.

[eqn: HOOKRIGHT] 연속성의 원리 또는 KVL 중 하나는 만족 못함. 어떤 법칙을 포기?

* 연속성의 원리와 KVL 사이의 모순은 개량회로모델(루프에 실제 도선이 갖는 직렬저항을 부가)을 사용함으로써 제거됨.

* 또 다른 특이회로 : 그림 5.20 인덕터 특이회로

[eqn: cdot]연속성의 원리와 KCL 사이의 모순은 [eqn: t=0+`]에서 명백.

- 스위칭 순간에 스위치의 공극(air gap)에 스파크가 튀는 것을 볼 수 있다.

[eqn: HOOKRIGHT] 공극의 전도도에 대한 모델이 개량회로모델에 포함.

(개량회로모델)

* 요 약 : Self-study

Report

<문제> 5.2, 5.11, 5.13, 5.23, 5.32, 5.42

(6 문제)