제 4 장  회로해석법

* 차례

4.1 선형성과 비례성

4.2 중첩

4.3 마디해석법

4.4 전압원이 있는 회로

4.5 망로해석법

4.6 전류원이 있는 회로

4.7 Op Amp의 가상단락원리

4.8 SPICE를 이용한 컴퓨터 지원 회로해석

* 회로해석(circuit analysis)

: 회로 내의 각 회로소자의 전압과 전류를 결정.

4.1 선형성과 비례성

* 선형성(linearity)

[eqn: cdot]제2장에서, 옴의 법칙을 만족하는 저항을 선형저항(linear resistor) 이라 정의.

[eqn: under{v=R`i`}] : 선형방정식(linear equation)

[eqn: cdot]종속전원 또는 선형소자는 다음과 같은 형식을 갖는다.

[eqn: under{y=k`x`}] : 선형방정식(linear equation)

여기서 [eqn: cases{k ~:~rm"constant" ## x,y ~:~rm"cct variables (voltages or currents)"}]

* 비례성(proportionality property) :  x를 K배 → y도 K배.

[eqn: cases{y=k`x~~->~~(Ky)=k`(Kx) ## y=k `dx over dt ~~->~~(Ky)=k `bigg(d over dt Kx right) ## y=k int x(t) `dt ~~->~~(Ky)=k int (Kx) dt`}]

* 선형회로(linear circuit) = 선형소자와 독립전원 만을 포함하는 회로.

[eqn: cdot]선형회로의 해석방정식 [eqn: <-] by KVL, KCL, 및 소자법칙

[eqn: under{a_1 `x_1 + a_2 `x_2 + cdots + a_n `x_n =y`}] : ( [eqn: x_i`]의 선형결합 )

여기서 [eqn: cases{x_i ~~:~~rm"cct variables (currents or voltages)" ## y ~~:~~rm"A net algebraic sum of independent sources"}]

- 비례성에 의해, 각 전원을 [eqn: K`]배하면 각 회로변수도 [eqn: K`]배가 된다.

[eqn: a_1 (K`x_1 ) + a_2 (K`x_2 ) + cdots + a_n (K`x_n ) =K`y`]

예제 4.1) 다음 그림 4.1의 회로에서 전류 [eqn: i_1`]과 [eqn: i_2`]를 구하라.

<해>

[eqn: cdot]왼쪽 루프에 시계방향(clockwise)으로 KVL을 적용,

[eqn: -2i_2 +4i_1 = v_g1`~cdots~①]

[eqn: cdot]윗쪽 오른쪽 마디에서 KCL을 적용,

[eqn: i_1 + i_2 = i_g2 ~cdots~②]

[eqn: cdot]식 ①과 식 ②를 연립하여 풀면,

답 [eqn: cases{i_1 = 1over 6 v_g1 + 1over 3 i_g2` ## i_2 = - 1 over 6 v_g1 + 2 over 3 i_g2`}]

예제 4.2) 다음 그림 4.2의 사다리꼴 회로(ladder network)에서 비례성을 사용하여   [eqn: v_1`]을 구하라.

<해>

[eqn: cdot]해를  [eqn: v_1 = 1``rm V`] 라 가정.

[eqn: cdot]이어지는 방정식들 :

[eqn: i_1 =2``rmA`] and [eqn: v_2 =1`rmV`] [eqn: ->] [eqn: i_2 =1`rmA`]

[eqn: ->] [eqn: i_3 = i_1 + i_2 = 3`rmA`] [eqn: ->] [eqn: v_3 =9`rm V`] [eqn: ->] [eqn: v_4 = v_2 + v_3 = 10`rm V`]

[eqn: ->] [eqn: i_4 =2`rm A`] [eqn: ->] [eqn: i_5 = i_3 + i_4 = 5`rm A`] [eqn: ->] [eqn: v_5 = 5`rm V`]

[eqn: ->] [eqn: under{v_g1 =v_4 +v_5 =15`rm V`}]

[eqn: cdot]비례성을 사용하여 해를 구하면,

[eqn: v_1 = 45over 15 (1) = 3{rm V`}]

4.2 중첩 (superposition)

* 중첩원리 (principle of superposition) :

하나 이상의 독립전원이 있는 선형회로의 응답은 각각의 전원이 단독으로 동작할 때의 응답의 합과 같다.

[eqn: cdot]각각의 회로방정식 (KCL 또는 KVL)은 다음과 같이 표현된다.

[eqn: under{a_1 x_1 + a_2 x_2 + cdots + a_n x_n = y~}] : 여기서 [eqn: x_i`] = 회로변수

[eqn: y`] = 전체 전원값

[eqn: cdot]If [eqn: under{y=y_a + y_b`}] (두 개의 전원),

[eqn: a_1 x_1 + a_2 x_2 + cdots + a_n x_n = y_a + y_b~]

- [eqn: y_a`]만에 의한 방정식 : ([eqn: x_i^a`] = [eqn: y_a`]만에 의한 응답)

[eqn: a_1 x_1^a +a_2 x_2^a + cdots +a_n x_n^a = y_a ~~cdots~~(a)]

- [eqn: y_b`]만에 의한 방정식 : ([eqn: x_i^b`] = [eqn: y_b`]만에 의한 응답)

[eqn: a_1 x_1^b +a_2 x_2^b + cdots +a_n x_n^b = y_b ~~cdots~~(b)]

- 식 (a)와 식 (b)를 합하면,

[eqn: a_1 (x_1^a + x_1^b ) + a_2 (x_2^a + x_2^b )+ cdots + a_n (x_n^a + x_n^b ) = y_a + y_b~]

[eqn: cdot]따라서, 회로변수는 다음과 같이 각각의 응답의 합과 같다.

[eqn: THEREFORE ~~under{x_i = x_i^a + x_i^b~}]

예제 4.3) 앞의 그림 4.1의 회로에서 중첩원리에 의해 전류 [eqn: i_1`]과 [eqn: i_2`]를 구하라.

<해>

[eqn: cdot]i) 전류원 제거 : 그림 4.3 (a),

[eqn: ->]  [eqn: cases{i_1^a = v_{g`1} over 6` ## i_2^a = - v_{g`1} over 6`}]

[eqn: cdot]ii) 전압원 제거 : 그림 4.3 (b),

[eqn: ->]  [eqn: cases{i_1^b = 1 over 3 i_{g``2`} ## i_2^b = 2 over 3 i_{g``2`}}]

[eqn: cdot]중첩원리에 의해, 응답은 그 성분응답의 합.

[eqn: cases{i_1 =i_1^a +i_1^b = 1over 6 v_{g`1} + 1 over 3 i_{g`2`} ## i_2 =i_2^a +i_2^b = - 1over 6 v_{g`1} + 2 over 3 i_{g`2`}}]

예제 4.4) 3개의 독립전원이 있는 다음 그림 4.4의 회로에서 전압 [eqn: v`]를 구하라.

<해>

[eqn: cdot]Let

[eqn: cases{6`rm V~rm"source"~~->~rm"source"~it a` ## 18`rm V~rm"source" ~->~ rm"source" ~it b` ## 2`rm A` ~rm"source"~~->~rm"source"~it c`}]

그림 4.5,

[eqn: cdot]성분응답 :

(a) [eqn: v^a = 3 over {3+ 3 over 2} (6) = 4{rm V`}]

(b) [eqn: v^b = {6 over 5} over {6 over 5 +6} (18) = 3{rm V`}]

(c) [eqn: v^c = - 1 over { {1over6} + {1over2} + {1 over 3}} (2) =-2{rm V}]

[eqn: cdot]중첩원리에 의해,

[eqn: v= v^a + v^b + v^c = 4+3-2=5{rm V}]

예제 4.5) 종속전원이 있는 다음 그림 4.6의 회로에서, 전압 [eqn: v`]와, [eqn: 3```Omega`] 저항에    의해 소비되는 전력을 각각 구하라.

<해>

[eqn: cdot]오직 독립전원 만이 성분을 만든다 :

[eqn: cases{12`rm V ~rm"source"~->~rm"component"~it a`## 6`rm A ~rm"source" ~~->~ rm"component" ~ it b`}]

그림 4.7,

[eqn: cdot]성분응답 :

(a) [eqn: -12+3i_1^a +2i_1^a + i_1^a =0`]  [eqn: ->]  [eqn: under{i_1^a =2`rm A`}]

[eqn: THEREFORE ~~under{v^a = 3i_1^ a = 6{rm V`}}]

(b) [eqn: i_1^b +3(6+i_1^b )+ 2i^b =0`]  [eqn: ->]  [eqn: under{i_1^b =-3`rm A`}]

[eqn: THEREFORE ~~under{v^b = 3(6+i_1^b ) = 9 {rm V`}}]

[eqn: cdot]중첩원리에 의해,

[eqn: under{v=v^a + v^b = 6+9=15{rm V}}]

[eqn: p= v^2 over R = 15^2 over 3 =75{rm W}]

[eqn: cdot]중첩원리는 전력에 대해서는 만족되지 않는다.

[eqn: p= v^2 over R &= {(v^a + v^b `)^2} over R` ##& neq {(v^a )^2} over R + {(v^b )^2} over R`]

4.3 마디해석법

* 미지변수로 마디전압 선정 [eqn: ->] 독립적인 KCL 방정식 (마디방정식) 작성

[eqn: ->] 해 (해석 완료) by 가우스 소거법, 크래머의 법칙, 역행렬법 등.

[eqn: cdot]회로망 내의 한 마디 (보통 접지)를 기준마디(reference node)로 선정.

[eqn: cdot]마디전압(node voltage) : 기준마디에 대한 각각의 비기준마디의 전압.

그림 4.8,

[eqn: cases{v_12 = v_1 - v_2` ## v_13 = v_1 -0 = v_1` ## v_23 = v_2 - 0 = v_2`}]

[eqn: cdot][eqn: N``]개의 마디가 있는 회로에는 ([eqn: N-1`])개의 비기준마디가 있으며,

따라서 ([eqn: N-1`])개의 마디전압이 있다.

[eqn: cdot]가장 간단한 경우는 독립전류원과 수동소자들로 구성된 회로이다.

[eqn: cdot]독립전류원과 저항들만을 포함하는 회로망 : 그림 4.9

(3개의 마디 [eqn: ->] 2개의 비기준마디 [eqn: ->] 2개의 KCL 방정식 (마디방정식)

- 단일소자의 소자 전압과 전류 : 그림 4.10

[eqn: under{v= v_1 - v_2}]  [eqn: ->]  [eqn: under{i= v overR = {v_1 - v_2 } over R = G`(v_1 - v_2 )}]

- KCL 방정식 : [eqn: under{sum i_out =0`}]

마디-1 : [eqn: i_1 + i_2 - i_g1 =0`]  [eqn: ->]  [eqn: G_1 v_1 + G_2 (v_1 -v_2 ) -i_g1 =0`]

마디-2 : [eqn: -i_2 +i_3 +i_g2 =0`] [eqn: ->]  [eqn: G_2 (v_2 -v_1 ) +G_3 v_2 + i_g2 =0`]

- 위 방정식들을 정리 : [eqn: under{sum i_out = sum i_"in"`}]

[eqn: cases{~(G_1 + G_2 ) v_1 - G_2 v_2 = i_g1 `## -G_2 v_1 + (G_2 + G_3 ) v_2 = -i_g2`}] [eqn: LRARROW]  [eqn: cases{G_11 v_1 + G_12 v_2 = i_1` ## G_21 v_1 + G_22 v_2 = i_2`}]

- 행렬식 :

[eqn: bmatrix{G_1 + G_2 & -G_2 # -G_2 & G_2 + G_3 } bmatrix{v_1 # v_2 }=bmatrix{i_g1 # -i_g2`}] [eqn: LRARROW]  [eqn: bmatrix{G_11 & G_12 # G_21 & G_22} bmatrix{v_1 # v_2} =bmatrix{i_1 # i_2`}]

[eqn: HOOKRIGHT] [eqn: bmatrix{G``} bmatrix{v`} =bmatrix{i``}]

[eqn: cdot]마디방정식을 세우는 지름길 방법(shortcut method) :

[eqn: G_11 , G_22`] : 자기 컨덕턴스(self-conductance)

[eqn: =] 마디 1 또는 2에 접속된 컨덕턴스들의 합

[eqn: G_12 ,G_21`] : 상호 컨덕턴스(mutual-conductance)

[eqn: =][eqn: -](마디 1과 2 사이의 컨덕턴스)

[eqn: i_1 ,~i_2`]  : 대응하는 마디로 유입하는 전류원

[eqn: HOOKRIGHT] [eqn: cases{G_11 v_1 + G_12 v_2 = i_1` ## G_21 v_1 + G_22 v_2 = i_2`}]  :  [eqn: under{sum i_out = sum i_"in"`}]

[eqn: cdot]마디해석법은 회로 내의 모든 비기준마디에서  KCL 마디방정식 ([eqn: N``]마디 회로에 대해 ([eqn: N-1`])개의 방정식)을 작성하여 마디전압을 구하는 것.

[eqn: cdot]해를 구하는 방법 : (부록 A 참고)

1) 가우스 소거법 (Gaussian elimination)

2) 크래머의 법칙 (Cramer's rule)

3) 역행렬법 (Matrix inversion)

예제 4.6) 다음 그림 4.11의 회로에서 마디전압 [eqn: v_1 ,v_2 ,v_3 ,] 및 전류 [eqn: i`]를 구하라.

<해>

[eqn: cdot]KCL 방정식 (마디방정식) : 지름길 방법 ([eqn: <-] 3개의 비기준마디)

[eqn: cases{G_11 v_1 + G_12 v_2 + G_13 v_3 = i_g1` ## G_21 v_1 + G_22 v_2 + G_23 v_3 = i_g2` ## G_31 v_1 + G_32 v_2 + G_33 v_3 = i_g3`}]  [eqn: RARROW]  [eqn: cases{(3+1)v_1 -v_2 + 0 cdot v_3 = 7-5` ## -v_1 + (1+3+2) v_2 -2 v_3 = 5` ## 0 cdot v_1 -2 v_2 +(2+1+4)v_3 = 17`}]

[eqn: THEREFORE ~~cases{4v_1 -v_2 + 0 cdot v_3 = 2` ## -v_1 + 6 v_2 -2 v_3 = 5` ## 0 cdot v_1 -2 v_2 +7v_3 = 17`}]  [eqn: RARROW]   [eqn: bmatrix{~~4 & -1 & ~~0 # -1 & ~~6 & -2 # ~~0 & -2 & ~~``7``} bmatrix{v_1 # v_2 # v_3} = bmatrix{2 # 5 # 17}]

[eqn: cdot]System determinant :

[eqn: TRIANGLE=DMATRIX{~~4 & -1 & ~~0 # -1 & ~~6 & -2 # ~~0 & -2 & ~~``7``}=145`]  [eqn: <-]  대칭행렬(symmetric matrix)

[eqn: cdot]마디전압 [eqn: v_1 ,v_2 ,v_3`] : by Cramer's rule

[eqn: v_1 =dmatrix{2 & -1 & ~~0 # 5 & ~~6 & -2 # 17 & -2 & ~~``7``} over triangle =1`rm V`]

[eqn: v_2 =dmatrix{~~4 & ~~2 & ~~0 # -1 & ~~5 & -2 # ~~0 & ~~17 & ~~``7``} over triangle =2`rm V`]

[eqn: v_3 =dmatrix{~~4 & -1 & ~~2 # -1 & ~~6 & ~~5 # ~~0 & -2 & ~~``17``} over triangle =3`rm V`]

[eqn: cdot]전류 [eqn: i`] :

[eqn: i = 2(v_2 - v_3 ) = 2(2-3) = -2` rm A`]

예제 4.7) 종속전류원을 포함하는 다음 그림 4.12의 회로에서 마디전압 [eqn: v_1 , v_2 ,] 및 소자전압 [eqn: v`]를 구하라.

<해>

[eqn: cdot]전원이 독립전원인 것처럼 생각하고 마디방정식을 작성,

[eqn: cases{rm"node-1"~:~it (1+1+2)v_1 -2 v_2 = 5-5i` ## rm"node-2"~:~it -2v_1 + left (2+ 1 over 2 right)v_2 = 5i + 2v`}] [eqn: ->] [eqn: cases{4v_1 -2v_2 =5-5i` ## -2v_1 + 5 over 2 v_2 =5i+2v`}]

- 제어변수 [eqn: i= v_1 /1 =v_1`]과 [eqn: v=v_1 -v_2`]를 위 방정식에 대입,

[eqn: cases{4 v_1 -2v_2 = 5-5v_1` ## -2 v_2 + 5 over 2 v_2 =5 v_1 + 2(v_1 -v_2 )`}] [eqn: ->]  [eqn: cases{~9v_1 - 2v_2 = 5` ## -9v_1 + 9 over 2 v_2 = 0`}]

- 행렬식과 해 : by 역행렬법

[eqn: BMATRIX {~~9 & -2 ## -9 & ``9/2``} bmatrix{ v_1 ## ``v_2``} = bmatrix{5 ## `0`}`] [eqn: ->]  [eqn: bmatrix{v_1 ## v_2}={bmatrix{~~9 & ~-2 ## -9 & ~~9/2~}}^-1 ~bmatrix{5 ## 0}]

- Since [eqn: TRIANGLE = dmatrix{~~9 & -2 ## -9 & ``9/2``}= 45 over 2`],

[eqn: {bmatrix{~~9 & -2 ## -9 & ``9/2``}}^-1 = {adj`[~]} over TRIANGLE = 2 over 45 bmatrix{9/2 & 2 ## 9 & 9} = bmatrix{1/5 & 4/45 ## 2/5 & 2/5}]

[eqn: THEREFORE ~~bmatrix{v_1 ## v_2}=bmatrix {1/5& 4/45 ## 2/5 & 2/5}bmatrix{5 ## 0} = bmatrix{1 ## 2}]  [eqn: ->] [eqn: cases{v_1 =1`rm V` ## v_2 =2 `rm V`}]

[eqn: cdot]소자전압 [eqn: v`] :

[eqn: v=v_1 -v_2 =1-2 = -1 `rm V`]

4.4 전압원이 있는 회로

* 전압원은 마디방정식의 수를 줄인다.

예제 4.8) 전압원이 있는 다음 그림 4.13의 회로에서 마디전압을 구하라.

<해>

[eqn: cdot]각각의 전압원을 포함하는 폐영역 : 가상마디(supernode)

[eqn: HOOKRIGHT] 가상마디(supernode)에는 KCL을 이용.

[eqn: cdot]각각의 가상마디(supernode)는 두 개의 마디를 포함.

1) 기준마디를 포함하는 가상마디는 값을 알고있는 하나의 마디전압을 갖는다.

- Supernode A :  [eqn: under{v_1 =5-0 =5{rm V}`}] (known)

2) 기준마디를 포함하지 않는 가상마디는 두 개의 마디전압 변수를 갖는 데,

그 중 하나는 미지마디전압이다.

- Supernode B : [eqn: v_5 -v_4 =4`] [eqn: ->] [eqn: under{v_5 = v_4 +4~}](one unknown : [eqn: v_4`])

마디해석법에서는 전압원의 수만큼 방정식의 수와 미지전압의 수가

감소한다.

[eqn: cdot]그림 4.13 (a)에는 5개의 비기준마디와 2개의 전압원이 있으므로, 3개의 미지수에 대한 3개의 방정식이 필요.

- KCL 방정식 (마디방정식) : (다른 종류의 전원이 있는 회로에는 지름길 방법

을 이용할 수 없음)

[eqn: cases{rm"node-2"~:~it (1)(v_2 -5) + (4)(v_2 -v_3 `) + (2)[v_2 - (v_4 +4)] =6` ## rm"node-3"~:~it (4)(v_3 -v_2 ) +(3)(v_3 -0)+(2)(v_3 - v_4 )=0` ## rm"node-B"~:~it (2)(v_4 -v_3 ) + (2)[(v_4 +4) - v_2 `] +(1)[(v_4 +4)-0]=0`}]

[eqn: cases{rm"node-1"~:~~~it 7v_2 -4v_3 -2v_4 =3` ## rm"node-2"~:~it -4v_2 +9v_3 -2v_4 =0` ## rm"node-3"~:~it -2v_2 -2v_3 +5v_4 =-12`}]

[eqn: HOOKRIGHT ~bmatrix{~~7 & -4 & -2 # -4 & ~~9 & -2 # -2 & -2 & ~~``5``} bmatrix {v_2 # v_3 # `v_4`}=bmatrix{~~3 # ~~0 # `-12`}`]  [eqn: ->]  [eqn: TRIANGLE = dmatrix{~~7 & -4 & -2 # -4 & ~~9 & -2 # -2 & -2 & ~~``5``}]

[eqn: cdot]따라서, 해는 크래머의 법칙에 의해 구해진다.

[eqn: v_2 = dmatrix{~~3 & -4 & -2 # ~~0 & ~~9 & -2 # -12 & -2 & ~~``5``} over TRIANGLE], [eqn: v_3 = dmatrix{~~7 & ~~3 & -2 # -4 & ~~0 & -2 # -2 & -12 & ~~``5``} over TRIANGLE], [eqn: v_4 = dmatrix{~~7 & -4 & ~~3 # -4 & ~~9 & ~~0 # -2 & -2 & ``-12``} over TRIANGLE]

예제 4.9) 다음 그림 4.14의 회로에서 [eqn: v`]와 [eqn: i`]를 구하라.

<해>

[eqn: cdot]기준마디를 포함하지 않는 하나의 가상마디(supernode)가 있다.

이 마디에서 KCL 방정식 :

[eqn: 1 over{6 TIMES 10^3 } [(v+3)-20] + 1 over {2 times 10^3 } [(v+3)-0] + 1 over{4 times 10^3} (v-0)=6 times 10^-3~]

[eqn: THEREFORE ~~under{v=8`rm V`}]

[eqn: THEREFORE ~~i= 1 over {6 TIMES 10^3 } [(v+3)-20] = 1 over{6 times 10^3}(-9) = under{-3/2 {rm mA`}}]

예제 4.10) 종속전원이 있는 다음 그림 4.15의 회로에서,  마디전압 [eqn: v_1`], [eqn: v_2`]와     전류 [eqn: i`]를 구하라.

<해>

[eqn: cdot]미지마디전압에 대한 KCL (마디) 방정식을 작성한 후, 제어변수를 마디전압으로 대치. (2개의 가상마디가 존재)

[eqn: cases{rm"node-1"~:~it 4v_1 +2 (v_1 -v_2 ) =10~~cdots~~① ## rm"node-2"~:~it 2(v_2 -v_1 )+9(v_2 -10v)=-6 ~~cdots~~②}]

- 제어변수를 대치 : [eqn: under{v= 10v-v_1`}][eqn: ->][eqn: under{v= 1 over 9 v_1`}][eqn: ->][eqn: ②]

[eqn: cases{6v_1 - 2v_2 = 10 ~~cdots~~① ##-12v_1 +11v_2 =-6 ~~cdots~~②}]  [eqn: ->] [eqn: bmatrix{~~6 & -2 # -12 & ~~``11``} bmatrix{v_1 # v_2} = bmatrix{~10 # -6``}]

- 식 [eqn: ①]과 식 [eqn: ②]를 연립하여 풀면,

[eqn: under{v_1 = 7 over 3 `rm V,~~it v_2 = 2{rm V}`}]

[eqn: THEREFORE ~~under{i=2(v_2 - v_1 ) =2(2-7/3) = -2/3{rm A`}}]

4.5 망로해석법 (루프해석법)

* 미지변수로 망로전류 선정 [eqn: ->] 독립적인 KVL 방정식 (망로방정식) 작성

[eqn: ->] 해 (해석 완료)

* 루프(loop)와 망로(mesh)

[eqn: cdot]루프(loop)  : 회로 내에서 어떤 마디나 소자를 두 번 이상 지나지않는 폐경로

[eqn: cdot]망로(mesh) : 그 안에 어떠한 소자도 포함하지 않는 루프

* 평면회로(planar circuit) : 한 평면 위에 어떤 소자도 다른 소자와 교차하지

않도록 그릴 수 있는 회로.

예제 4.11) 다음 그림 4.16의 회로에서 망로, 망로전류, 및 소자전류에 대해 설명             하라.

<해>

[eqn: cdot]망로 :    망로-1 ([eqn: R_1 -R_2 - R_3 -v_{g`1}]),

망로-2 ([eqn: R_2 -R_4 -v_{g``2} -R_5`]),

망로-3 ([eqn: R_5 -v_{g``2} -R_6 -R_3`])

[eqn: cdot]망로전류  (망로를 따라 순환하여 흐르는 전류)

: [eqn: i_1 ,``i_2 ,``i_3`]   (소문자로 표시)

[eqn: cdot]소자전류  (소자를 통해 흐르는 망로전류들의 대수적 합)

: [eqn: under{I_1} =i_1`], [eqn: under{I_2} =i_1 -i_2`], [eqn: under{I_3} =i_1 -i_3`], [eqn: cdots]  (대문자로 표시)

예제 4.12) 다음 그림 4.17의 회로에서 망로전류 [eqn: i_1`]과 [eqn: i_2`]를 구하라.

<해>

[eqn: cdot]KVL (망로) 방정식 :

[eqn: cases{R_1 i_1 + R_3 (i_1 - i_2 ) =v_g1` ## R_2 `i_2 + R_3 (i_2 -i_1 ) = -v_g2`}]

[eqn: HOOKRIGHT ~cases{(R_1 + R_3 ) i_1 - R_3 `i_2 = v_g1` ## -R_3 i_1 + (R_2 + R_3 `) i_2 = -v_g2`}] [eqn: LRARROW]  [eqn: cases{R_11 i_1 + R_12 i_2 =v_1` ## R_21 i_1 + R_22 i_2 =v_2`}]

- 망로방정식을 세우는 지름길 방법(shortcut method) :

[eqn: R_11`], [eqn: R_22`] : 자기 저항(self-resistance)

= 망로 1 또는 2의 저항들의 합

[eqn: R_12`], [eqn: R_21`] : 상호 저항(mutual-resistance)

= - (망로 1과 2 사이의 저항)

[eqn: v_1`], [eqn: v_2`]   : 망로 1 또는 2에서 망로전류를 화살표 방향으로

구동하는 전압원

[eqn: THEREFORE ~~cases{R_11 =R_1 +R_3 ,``R_22 =R_2 + R_3` ## R_12 =R_21 =-R_3`}]  [eqn: ->]  [eqn: cases{R_11 i_1 + R_12 i_2 =v_1` ## R_21 i_1 + R_22 i_2 =v_2`}]

[eqn: HOOKRIGHT ~cases{(R_1 + R_3 ) i_1 - R_3 `i_2 = v_g1` ## -R_3 i_1 + (R_2 + R_3 `) i_2 = -v_g2`}]

[eqn: cdot]행렬식과 해 :

[eqn: bmatrix{R_1 + R_2 & -R_3 # -R_3 & R_2 +R_3} bmatrix{i_1 # i_2} = bmatrix{~~v_g1 # ``-v_g2``}] [eqn: ->] [eqn: [R][i]=[v]]

[eqn: HOOKRIGHT] [eqn: TRIANGLE = dmatrix{R_1 + R_2 & -R_3 # -R_3 & R_2 +R_3}]

[eqn: THEREFORE ~~i_1 = dmatrix{v_g1 & -R_3 # -v_g2 & ``R_2 + R_3``} over TRIANGLE `],  [eqn: i_2 = dmatrix{R_1 +R_3 & ~~v_g1 # -R_3 & `-v_g2`} over TRIANGLE `]

예제 4.13) 앞의 그림 4.16의 회로에서 지름길 방법(shortcut method)으로 망로방   정식을 작성하고, 망로전류[eqn: i_1`], [eqn: i_2`], [eqn: i_3`]를 구하라.

<해>

[eqn: cdot]지름길 방법(shortcut method)으로 망로방정식 작성,

[eqn: BECAUSE ~cases{R_11 =R_1 +R_2 +R_3`,~R_22 =R_2 +R_4 +R_5`,~R_33 =R_3 +R_5 +R_6` ## R_12 =R_21 =-R_2`, ~R_23 =R_32 =-R_5`,~R_13 =R_31 =-R_3`}]

[eqn: cases{(R_1 +R_2 +R_3 `)i_1 - R_2 `i_2 - R_3 `i_3 =v_g1` ## -R_2 i_1 +(R_2 + R_4 +R_5 `) i_2 - R_5 `i_3 = -v_g2` ## -R_3 i_1 - R_5 `i_2 +(R_3 +R_5 +R_6 `) i_3 = v_g2`}]

[eqn: cdot]행렬식과 해 :

[eqn: bmatrix{ {R_1 + R_2 + R_3} & -R_2 & -R_3 ## -R_2& {R_2 + R_4 + R_5 }& {-R_5} ## -R_3 & -R_5 &{R_3 + R_5 + R_6}} bmatrix{i_1 ## i_2 ## i_3 } = bmatrix {~~v_g1 ## -v_g2 ## ~~``v_g2``}]

[eqn: HOOKRIGHT] [eqn: TRIANGLE = dmatrix{R_1 +R_2 +R_3 & -R_2 & -R_3 ## -R_2 & R_2 + R_4 + R_5 & -R_5 ## -R_3 & -R_5 & R_3 +R_5 +R_6}]

[eqn: THEREFORE ~~ i_1 = dmatrix{~~v_g1 & ~~-R_2 & -R_3 ## -v_g2 & ~~R_2 + R_4 + R_5 & -R_5 ## ~~v_g2 & ~~-R_5 & ~~R_3 +R_5 +R_6`} over TRIANGLE `],

[eqn: i_2 = dmatrix{R_1 +R_2 +R_3 & ~~v_g1 & -R_3 ## -R_2 & -v_g2 & -R_5 ## -R_3 & ~~v_g2 & ~~R_3 +R_5 +R_6`} over TRIANGLE `],

[eqn: i_3 = dmatrix{R_1 +R_2 +R_3 & -R_2 & ~~v_g1 ## -R_2 & R_2 +R_4 +R_5 & -v_g2 ## -R_3 & -R_5 & ~~`v_g2`} over TRIANGLE `]

예제 4.14) 종속전압원이 있는 다음 그림 4.18의 회로에서 망로전류 [eqn: i_1`]과 [eqn: i_2`]를     구하라.

<해>

[eqn: cdot]지름길 방법(shortcut method)으로 망로방정식 작성,

[eqn: cases{R_11 i_1 + R_12 i_2 =v_1` ## R_21 i_1 + R_22 i_2 =v_2`}]  [eqn: ->]  [eqn: cases{6i_1 -3i_2 = -2v~cdots~① ## -3i_1 + 7i_2 = 30~cdots~②}]

[eqn: cdot][eqn: v=1 cdot (i_2 -i_1 ) =i_2 -i_1`]을 식 [eqn: ①]에 대입,

[eqn: cases{4i_1 -i_2 = 0~cdots~① ## -3i_1 + 7i_2 = 30~cdots~②}]

[eqn: cdot]행렬식과 해 :

[eqn: bmatrix{ 4& -1# -3 & 7} bmatrix{i_1 # i_2} = bmatrix{ 0# 30}]  [eqn: ->]  [eqn: triangle = (4)(7)-(-1)(-3) = 25~]

[eqn: THEREFORE ~~i_1 = dmatrix{0 & -1 # 30 & ~~`7`} over triangle = 6 over 5`rm A`],   [eqn: i_2 = dmatrix{~~4 & ~0 # -3 & ~``30``} over triangle = 24 over 5`rm A`]

4.6 전류원이 있는 회로

* 전류원은 망로방정식의 수를 줄인다.

예) 두 개의 전류원이 있는 다음 그림 4.19의 회로에서 망로전류 [eqn: i_1`], [eqn: i_2`], [eqn: i_3`]를 구하라.

[eqn: cdot]오직 하나의 망로를 따라 순환하는 전류원(예를들어 [eqn: i_g1`])은 하나의 미지망로전류를 감소시킨다.

[eqn: under{i_3 =-i_g1`}] (미지수가 아님)

[eqn: cdot]유사하게, 두 망로에 공통인 전류원(예를들어 [eqn: i_g2`])은 하나의 미지망로전류를 감소시킨다.

[eqn: i_g2 =i_2 -i_1`]  [eqn: ->]  [eqn: under{i_2 =i_g2 +i_1`}] (하나의 미지수 : [eqn: i_1`])

[eqn: HOOKRIGHT] 따라서, 미지망로전류는 오직 [eqn: i_1`] 뿐이다.

망로해석법에서는 전류원의 수만큼 미지전류의 수가 감소한다.

[eqn: cdot]망로방정식의 작성과 해 :

- 모든 전류원 제거 [eqn: ->] 가상망로(supermesh) 설정

[eqn: ->] 가상망로(supermesh)를 따라 KVL 방정식 작성.

[eqn: THEREFORE ~~under{R_1 I_1 + R_2 I_2 + R_3 I_3 =v_g3`}]

[eqn: HOOKRIGHT ~~under{R_1 (i_1 +i_g1 ) + R_2 (i_1 +i_g2 +i_g1 )+ R_3 (i_1 +i_g2 ) =v_g3`}]

[eqn: THEREFORE ~~under{i_1 = {v_g3 - R_1 i_g1 -R_2 (i_g1 + i_g2 ) - R_3 `i_g2 }over {R_1 + R_2 + R_3}}]

예제 4.15) 종속전압원과 종속전류원이 있는 다음 그림 4.20의 회로에서 망로해    석법을 사용하여 망로전류를 구하라.

<해>

[eqn: cdot]전류원과 망로전류 사이의 관계

[eqn: cases{9=i_1 -i_3` ## 2v_x =i_4 -i_3`}]  [eqn: ->]  [eqn: cases{i_3 =i_1 -9` ## i_4 =2v_x +i_3 =2v_x +i_1 -9`}]

[eqn: HOOKRIGHT] 오직 두 개의 미지망로전류 [eqn: i_1`]과 [eqn: i_2`] 만 존재.

[eqn: cdot]모든 전류원이 제거된 회로와 망로방정식 :

[eqn: HOOKRIGHT ~cases{1i_2 + 3i_y +1(i_2 -i_1 +9) +2(i_2 -i_1 ) =0` ## 2(i_1 - i_2 ) +1(i_1 -9 -i_2 ) -3i_y +2(i_1 +2v_x -9 ) -2 =0`}]

[eqn: THEREFORE ~cases{-3i_1 + 4i_2 = -9 -3i_y` ## 5i_1 -3i_2 =29 -4v_x +3i_y`}]

[eqn: cdot]제어변수를 망로전류로 대치,

[eqn: cases{v_x =2(i_1 -i_2 )=2i_1 -2i_2` ## i_y = -(i_1 +2v_x -9 )= -[i_1 +2 cdot 2(i_1 -i_2 ) -9 ]= -5i_1 +4i_2 +9`}]

[eqn: THEREFORE ~~cases{-18i_1 + 16i_2 =-36` ## 28i_1 -23i_2 =56`}]  [eqn: ->]  [eqn: bmatrix{-18 & ~~16 # ~~28 & `-23`} bmatrix{i_1 # i_2} = bmatrix{-36 # ~~``56``}]

[eqn: HOOKRIGHT ~ TRIANGLE = dmatrix{-18 & ~~16 # ~~28 & `-23`}=-34`]

[eqn: THEREFORE ~~ i_1 = dmatrix{-36 & ~~16 # ~~56 & `-23`} over TRIANGLE =2`rm A`],  [eqn: i_2 = dmatrix{-18 & -36 # ~~28 & ~~`56`} over TRIANGLE =0 `rm A`]

[eqn: i_3 =i_1 -9 =2-9=-7`rm A`],  [eqn: i_4 =i_1 +2 v_x -9 =1`rm A`]

4.7 Op Amp의 가상단락원리

* 회로 내의 각 op amp에 대해 다음 두 규칙이 사용된다 : 그림 4.21.

[eqn: ->] [eqn: cases{1.~i_{i`1} =i_{i`2} =0~:``"virtual open" ## 2.~v_"in" =0 ~~~~``~:~"virtual short"}]

- 가상개방원리(virtual open principle) :

op amp의 입력단자로 유입하는 전류는 0 이다.

- 가상단락원리(virtual short principle) :

op amp의 입력단자 사이에 걸리는 전압은 0 이다.

예제 4.16) 다음 그림 4.22의 반전증폭기 회로에서 가상개방원리 및 가상단락원             리를 사용하여 [eqn: v_1]에 관한 식으로 [eqn: v_2`]를 구하라.

<해>

① 개루프 이득이 [eqn: A`]인 이상전압증폭기 모델을 사용할 때, 3.16절로 부터,

- 식 (3.12)   [eqn: ->]   [eqn: v_2 = -R_F over {R_A + 1 over A (R_A + R_F `)} v_1`]

- If [eqn: A=inf`],  [eqn: under{v_2 = - R_F over R_A v_1`}]

② 가상개방원리 및 가상단락원리 사용,

[eqn: v_1 over R_A + v_2 over R_F =0`]  [eqn: ->]  [eqn: under{v_2 = - R_F over R_A v_1`}]

예제 4.17) 다음 그림 4.23의 회로에서 가상개방원리 및 가상단락원리를 사용하여 [eqn: v_2`]를 구하라.

<해>

[eqn: cdot]반전 및 비반전 단자에 대해 가상개방원리 (ii1 = ii2 = 0) 적용.

[eqn: cases{v_A = R_A over {R_A + R_F} v_2` ## v= R_2 over{R_1 +R_2} v_1`}]

[eqn: cdot]반전과 비반전 단자 사이에 가상단락원리 (vin = 0) 적용

[eqn: under{v=v_A`}]

[eqn: cdot]이 식들을 결합,

[eqn: R_A over { R_A + R_F} v_2 = R_2 over{ R_1 + R_2 } v_1 ~] [eqn: ->]  [eqn: under{v_2 = left( 1 + R_F over R_A right) left( R_2 over {R_1 + R_2 }right) v_1`}]

[eqn: A`]가 무한대가 되면, op amp의 출력 [eqn: Av_"in"`]은 입력전압이 무한소([eqn: v_"in"=0`])가 될 때만이 유한값이 된다.

음귀환이 있는 op amp 회로를 해석하기 위해서는

가상단락원리 및 가상개방원리를 사용한다.

예제 4.18) 다음 그림 4.24의 회로에서 가상개방원리 및 가상단락원리와 함께      마디해석법을 사용하여 전압 [eqn: v`]와 부하전류 [eqn: i`]를 구하라.

<해>

[eqn: cdot]KCL 방정식 (2개의 미지전압 : [eqn: v_1`]과 [eqn: v_2`]) :

① op amp가 없는 회로에 대해서는, 미지마디전압을 포함하는 각각의 마디  또는 가상마디(supernode)에서 KCL 방정식 작성.

② op amp가 있는 회로에 대해서는,  op amp의 출력마디 보다는 반전입력 마디에서 KCL 방정식 작성.

- 마디- 1  : [eqn: 1 over {10 times 10^3} v_1 + 1over{ 20 times 10^3} v_1 + 1 over { 10 times 10^3} (v_1 -5 )=0~cdots~(1)]

- 마디 (-) : [eqn: 1 over { 10 times 10^3} v_1 + 1 over {5 times 10^3} 5 + 1 over{5 times 10^3 } v_2 =0 ~cdots~(2)]

[eqn: cdot]해 :

(1) [eqn: ->] [eqn: under{v_1 =2 rm V`}]  [eqn: ->]  (2) [eqn: under{v_2 = {~1.2} over -0.2 =-6 rm V`}]

[eqn: THEREFORE ~~under{i= v_2 over R_L = -6 over 1000 =-6 rm mA`}], [eqn: under{v=5-v_1 =3 rm V`}]

4.8 SPICE를 사용한 컴퓨터 지원 회로해석

* SPICE (Simulation Program with Integrated Circuit Emphasis) :

[eqn: cdot]전기전자회로를 해석하는 데 가장 널리 사용되는 S/W 프로그램.

(부록 D 참조)

[eqn: cdot]University of California at Berkley에서 미국과학재단(NSF : National Science Foundation)의 지원으로 개발.

[eqn: HOOKRIGHT] 아날로그 회로 시뮬레이션의 표준

[eqn: cdot]강력하고, 조작이 쉬우며, 저렴.

[eqn: cdot]PSPICE (PC version) 사용법

*요 약 : Self-study

Report

<문제> 4.4, 4.10, 4.19, 4.27, 4.33, 4.35, 4.41, 4.44, 4.55

(9 문제)