제 2 장  저항회로

* 차례

2.1 키르히호프의 법칙

2.2 옴의 법칙

2.3 등가회로

2.4 직렬등가회로와 전압분배

2.5 병렬등가회로와 전류분배

2.6 테브냉 등가회로와 노튼 등가회로

2.1 키르히호프의 법칙 (Kirchhoff's Law)

- 독일 물리학자 Gustav Kirchhoff (1824-1887) [eqn: ->] 2가지 기본법칙 (1847)

: KCL, KVL

* 집중상수회로(Lumped-parameter circuit) :

에너지는 전적으로 각 회로소자 내에 집중. 거의 모든 이상적인 회로.

분포상수회로(Distributed-parameter circuit) : 전송선(transmission lines)

1. Kirchhoff's Current Law (KCL)

임의의 마디에 유입하는 모든 전류의 대수적 합은 0 이다.

[eqn: sum_n=1^N i_"in" =0`]

[eqn: cdot]회로(Circuit) : 완전도체로 접속된 2개 이상의 회로소자의 집합.

[eqn: cdot]마디(Node)  : 2개 이상의 회로소자가 접속되는 점.

[eqn: cdot]그림 2.1 :

예) 다음 그림 2.2의 회로에 대한 KCL 방정식 :

[eqn: i_1 `+` i_2` +`(-`i_3 ) `+ `i_4 `= `0 `]  [eqn: ->]  [eqn: under{i_1 + i_2 - i_3 + i_4 = 0 `}]

[eqn: cdot]KCL의 또 다른 표현 :

임의의 마디에서 유출하는 전류의 대수적 합은 0 이다.

[eqn: sum_n=1^N i_"out" =0`]

[eqn: HOOKRIGHT] [eqn: (- i_1 ) `+(- ` i_2 )` +`i_3 `+ `(- i_4 ) `= `0 `] [eqn: RARROW] [eqn: under{- i_1 - i_2 + i_3 - i_4 = 0`}]

임의의 마디에 유입하는 전류의 합은 그 마디에서 유출하는 전류의 합과 같다.

[eqn: sum_n=1^N i_"in" = sum_n=1^M i_"out"]

[eqn: HOOKRIGHT] [eqn: i_1 `+` i_2` + `i_4 `= `i_3 `]

* KCL에 대한 일반적인 수학적 표현 :

[eqn: SUM from { { n}=1} to N i_n `=`0]

예제 2.1) 다음 그림 2.3의 회로에서 [eqn: i`]를 구하라.

<해>

[eqn: sum_n=1^N i_"in" =0`] [eqn: ->]  [eqn: 5`+`i`-`(`-3`)`-`2`=`0`]

[eqn: THEREFORE ~~under{i=-6 ``rmA`}]

[eqn: sum_n=1^N i_"in" = sum_n=1^M i_"out"]  [eqn: ->]  5 + [eqn: i`] = (-3) + 2

∴[eqn: i=-3+2+(-5)= under{-6``rmA`}]

2. Kirchhoff's Voltage Law (KVL)

임의의 폐회로에 따른 전압강하의 대수적 합은 0 이다.

[eqn: sum_n=1^N v_"drop" =0`]

[eqn: cdot]루프(Loop) : 폐회로 (a closed path)

예) 다음 그림 2.4의 회로에 대한 KVL 방정식 :

<해>       [eqn: -v_1 `+` v_2 `-` v_3 `=`0]

[eqn: cdot]KVL의 또 다른 표현 :

임의의 폐회로에 따른 전압상승의 대수적 합은 0 이다.

[eqn: sum_n=1^N v_"rise" =0`]

[eqn: HOOKRIGHT] [eqn: v_1 `-` v_2 `+` v_3 `=`0]

임의의 폐회로에 따른 전압강하의 합은 전압상승의 합과 같다.

[eqn: sum_n=1^N v_"drop" =sum_n=1^M v_"rise"`]

[eqn: HOOKRIGHT] [eqn: v_1 `+` v_3 `=`v_2`]

* KVL에 대한 일반적인 수학적 표현 :

[eqn: sum_n=1^N v_n = 0`]

예제 2.2) 다음 그림 2.5의 회로에서 [eqn: v`]를 구하라.

<해>

[eqn: sum_n=1^N v_"drop" =0`] [eqn: ->]  [eqn: cases{rm"Clockwise loop"~:~it -15+v+10+2 =0` ## rm"Counterclockwise loop"~:~it +15-2-10-v =0`}]

[eqn: sum_n=1^N v_"drop" = sum_n=1^M v_"rise"`] (clockwise) [eqn: ->] [eqn: v`+`10`+`2`=`15]

[eqn: THEREFORE ~~under{v=v_bc =3rmV`}]

[eqn: cdot]두 마디 사이의 전압강하는 이들 마디를 잇는 임의의 경로를 따라 취    한 전압강하의 합과 같다. 즉, 이들 마디를 잇는 경로에 관계없이 같다.

예제 2.3) 다음 그림 2.6의 회로에서 KCL과 KVL을 사용하여 모든 미지 전류           와 전압을 구하라.

<해>

[eqn: cdot][eqn: under{v_1 `}] : 오른쪽 루프에서 시계방향(clockwise direction)으로 KVL,

[eqn: v_1 `+ `5`+` 3`+ `2 `=`0]

[eqn: THEREFORE ~~under{v_1 `=` -10 rmV}]

[eqn: cdot][eqn: under{v_2`}] : ① 왼쪽 루프에서 시계방향(clockwise direction)으로 KVL,

[eqn: 11-v_2 - 9 - v_1 = 11-v_2 - 9 - (-10) =0`]

[eqn: THEREFORE ~~under{v_2 `= `12 rm V}]

② 외부 루프에서 시계방향(clockwise direction)으로 KVL,

[eqn: v_2 `=` -9 `+ `5`+`3`+`2`+`11`= `under{12 rm V}]

[eqn: cdot][eqn: under{i_3` ~sim~i_8``}] : by KCL,

[eqn: i _3 `=` 6 `+`(-3) `=` 3 rm A],      [eqn: i _4 `=` 3 `+`(-2) `=` 1 rm A]

[eqn: i _5 `=` 2 `+`(-1) `=` 1 rm A],      [eqn: i _6 `=` 1 `+`(-10) `=` -9 rm A]

[eqn: i _7 `=` i_4 `+`i_6 `=` -8 rm A],       [eqn: i _8 = -(-3)+i_{7} = -5 rm A`]

* 토폴로지(Topology) : 회로소자의 접속구조.

* 폐영역(closed surface)에 대한 KCL :

임의의 폐영역에 유입하는 전류의 대수적 합은 0 이다.

[eqn: HOOKRIGHT]  [eqn: 6`+` (-i_5 )` +` (-10) `+` (-i_8 ) `=` 0]

2.2 옴의 법칙 (OHM'S LAW)

- 독일 물리학자 Georg Simon Ohm (1787-1854) : Ohm's law (1826)

* 저항(Resistor) : 단위(unit) --  [Ohm],[eqn: rm[Omega],``[k Omega],``[M Omega]]

* 회로기호(Symbol) :

* Ohm's law :

저항에 걸리는 전압은 그 저항을 통해 흐르는 전류에

직접 비례한다.

[eqn: DOWNARROW]

[eqn: v=R`i ~rm[V]]

[eqn: HOOKRIGHT]  [eqn: under{R=v/i`}] : 선형저항 [eqn: ->]  [eqn: under{1``Omega = 1``rmV/A`}]

예제 2.4) 다음 그림 2.7의 회로에서 [eqn: v=6`rm V`]일 때 [eqn: R=3``Omega`] 및 [eqn: R=1``rm k Omega`]

에 대한 [eqn: i`]를 구하라.

<해>

[eqn: cdot] [eqn: R=3``Omega`] [eqn: ->]  [eqn: i `=` v over R `=` {6` rmV} over {3 `OMEGA} ` =` under{2 `rm A`}]

[eqn: cdot] [eqn: R=1``rm k Omega`] [eqn: ->] [eqn: i`=` {6 `rm V} over {1 `rm k` OMEGA } `=` under{6` rmmA}]

[eqn: cdot] 선형저항(linear resistor)과 비선형저항(nonlinear resistor)

그림 2.8

[eqn: cdot]단자변수가 수동부호규정을 만족하지 않으면,

그림 2.9

[eqn: ->]   [eqn: under{v_1 =-R`i`}]

* 저항[eqn: R`]에 대한 순간전력 :

[eqn: p= v`i =R`i^{2} = {v^{2}}over R ~ rm[W]], ([eqn: p`>=`0`])

* 컨덕턴스(conductance) : 단위(unit) -- simens[eqn: rm[S]] 또는, mho[eqn: [Mho]]

[eqn: G `=` 1 over R ~rm[Mho]]

[eqn: HOOKRIGHT] [eqn: 1``rm[S] = 1````[A/V`]],    Ohm[eqn: rm[Omega]] [eqn: <->] mho[eqn: rm[mho]]

[eqn: cdot][eqn: G`]에 관한 순간전력 :

[eqn: i=G`v ``rm[A]]

[eqn: p `= `{i ^{2}}over G `=` G` `v^{2}``rm[W]]

예제 2.5) 다음 그림 2.10의 회로에서 전류 [eqn: i`], [eqn: 1``rm k Omega`] 저항이 흡수하는 전력 [eqn: p`], 그리고 반시간 동안에 소비하는 에너지를 구하라.

<해>

[eqn: i=10``rm V `/`1000``Omega =10`rm mA =0.01``A`]

[eqn: p=v`i=(10`rm V)(0.01``A)=0.1``W=0.1 ~J/s`]

[eqn: w(t_1 ) - w (t_ 0 ) &= int_{t_0 }^{t_1} p` dt`## &= (0.1rmW)`(1800s) = 180``J`]

2.3 등가회로

* 부회로(subcircuit) = 회로의 한 부분 :

임의 개의 소자들이 상호 접속된 것.

[eqn: cdot]2단자 부회로(two-terminal subcircuit) :

접속 가능한 단자가 오직 두 개인 부회로.

그림 2.11

[eqn: cdot]단자법칙(terminal law) : [eqn: under{v=f`(i`)}], [eqn: under{i=g(v)}], ([eqn: v,``i`=] 단자변수 )

[eqn: cdot]소자법칙(element law) :  저항에 대해, [eqn: under{v=f`(i`)=R`i`}],

또는 [eqn: under{i=g`(v)= G`v`}]

* 독립전원(independent source) (이상적인 전원)

1) 독립전압원(independent voltage source) (상전압원)

: 단자전압은 단자전류에 독립적인 상수이다.

[eqn: HOOKRIGHT] [eqn: under{v=f`(i`)=v_s`}] : [eqn: i`]에 독립적인 상수

2) 독립전류원(independent current source) (상전류원)

: 단자전류는 단자전압에 독립적인 상수이다.

[eqn: HOOKRIGHT] [eqn: under{i=g`(v)=i_s`}] : [eqn: v`]에 독립적인 상수

그림 2.12

[eqn: cdot]두 2단자 부회로는 그 두 단자법칙이 동일할 때 등가라고 한다.

[eqn: HOOKRIGHT] 단자법칙이 [eqn: v=f_1 (i`)] 인 부회로와 단자법칙이 [eqn: v=f_2 (i`)] 인 부회로는 모든 [eqn: i`]에 대해 [eqn: f_1 (i`) =f_2 (i`)] 이면,  또는 모든 [eqn: v`]에 대해  [eqn: g_1 (v)=g_2 (v)] 이면  등가이다.

예제 2.6) 다음 그림 2.13의 회로에서 두 부회로에 대한 단자법칙을 구하라.

<해>

[eqn: cdot]단자법칙 : (a) [eqn: under{v=f(i`)=2`i`}]

(b) [eqn: v_21 = i`] and [eqn: v_22 =i`]

[eqn: THEREFORE ~~under{v= f(i`)=v_21 + v_22 =2`i`}]

[eqn: cdot]단자법칙이 같으므로, (a)와 (b)는 실제로 등가이다.

* 등가부회로는 서로 바꾸어도 다른 부분의 전류나 전압에 영향을 미치지 않는다.

예) 다음 그림 2.14를 고려하자.

- 부회로 A를 B로 대치했다고 하면, (a)와 (b)로 부터,

[eqn: v_2 `+` v`-`v_3 `-`v_1` =`0]

- 단자법칙을 적용하여 이 식을 전류에 대해 다시 쓰면,

(a) [eqn: ->] [eqn: 5`i_2 `+`f_1 ( i`)` -5 `- `4 `i_1 `=`0]

(b) [eqn: ->] [eqn: 5`i_2 `+`f_2 ( i`)` -5 `- `4 `i_1 `=`0]

[eqn: HOOKRIGHT] 이 방정식들은 두 회로가 등가이면 동일하다.

2.4 직렬등가회로와 전압분배

* 단순직렬회로(단일루프 저항회로)

- 그림 2.15 : 하나의 전압원 +  3개의 저항

(a) KVL eq.

[eqn: v &=v_1 + v_2 + v_3 =R_1 i + R_2 `i + R_3 `i` ##&= under{(R_1 + R_2 + R_3 )` i`}~~cdots~~①]

[eqn: HOOKRIGHT] [eqn: left(THEREFORE ~~i `=` v over{ R_1 `+` R _ 2` +` R _ 3}``right)]

(b) KVL eq.

[eqn: v`=` under{R _s `i`}~~cdots~~②]

[eqn: HOOKRIGHT] 따라서, [eqn: under{R_s `=` R_ 1 `+ `R_ 2 `+` R_ 3`}] 이면,  (a)와 (b)는 등가.

* [eqn: N``]개의 직렬저항을 갖는 회로에 대해,

[eqn: R_s = SUM from i=1 to N `R_i`` rm[Omega]]

저항의 직렬접속회로는 각 직렬 저항값을 합한 저항값을 갖는

단일저항과 등가이다.

* 전압분배원리 (principle of voltage division)

: 직렬저항에 걸리는 전압은 각 저항값에 비례해서 분배된다.

[eqn: cdot]윗 그림 2.15 (a)회로에서, [eqn: i = v over R_s`]이므로,

[eqn: cases{v_1 = R_1 i = R_1 over R_s v = R_1 over {R_1 + R_2 + R_3} v` ## v_2 = R_2 i = R_2 over R_s v = R_2 over {R_1 + R_2 + R_3} v` ## v_3 = R_3 i = R_3 over R_s v = R_3 over {R_1 + R_2 + R_3} v`}]   : 전압분배기

예제 2.7) 다음 그림 2.16의 전압분배기(voltage divider) 회로에서 [eqn: under{v_2 =8`rm V`}]           가 되도록 [eqn: under{R_1}]과[eqn: under{R_2`}]의 값을 결정하라.

<해>  [eqn: v_2 =8`rm V`]  [eqn: ->]  [eqn: v_1 =4`rm V`]

[eqn: HOOKRIGHT] [eqn: v_2 = 2 v_1`],  따라서, [eqn: under{R_2 =2 R_1`}]

(예) [eqn: R_1 = 1``Omega`] and [eqn: R_2 =2``Omega`]

예제 2.8) 다음 그림 2.17의 단일루프회로에서 [eqn: v=120 sin t~rm V`]일 때, 루프     전류, 저항의 전압 및 공급 또는 소비되는 소자전력을 구하라.

<해> [eqn: cdot]Since [eqn: R_s = 30``Omega + 20``Omega + 10``Omega=60``Omega`],

[eqn: i= v/R_s =120 sin t `/` 60 = 2 sin t ~rm A`]

[eqn: THEREFORE ~~cases{v_1` =` R_1` i `=` 60 `sin t ```rmV``## v_2` =` R_2` i `=` 40 `sin t ```rmV``## v_3` =` R_3` i `=` 20 `sin t ```rmV``}]

[eqn: cdot][eqn: v_1`], [eqn: v_2`], [eqn: v_3`]의 [eqn: i`]는 수동부호규정을 만족하므로, 저항의 순간전력은 소비전력이다.  :

[eqn: cases{p_1 = v_1` i = 60 sin t cdot 2 sin t=120` sin^ 2 `t ~rmW` ## p_2 = v_2` i = 40 sin t cdot 2 sin t =80 sin^ 2 `t~rmW` ## p_3 = v_3` i = 20 sin t cdot 2 sin t =40 sin^ 2 `t~rmW`}]

이때, 소비전력도 저항에 비례 : p = [eqn: v`][eqn: i`] =  (R[eqn: i`])[eqn: i`] = R[eqn: i`]2

[eqn: cdot]전압원의 [eqn: v`]와 [eqn: i`]는 수동부호규정을 만족하지 않으므로, 전원의 순간전력은 공급전력이다.

[eqn: p=v`i`=120 sin t cdot 2 sin t = under{240 `sin ^2` t} ```rmW``] (공급전력)

- 한편,

[eqn: p=v`i = p_1 + p_2 + p_3 = under{240 `sin ^2` t} ```rmW``] (소비전력)

- 따라서,  공급전력 = 소비전력

[eqn: HOOKRIGHT] 전력보존의 법칙 (텔레헨의 정리 : Tellegen's theorem)

* [eqn: N~]개 전압원의 직렬연결 : 그림 2.18

[eqn: cdot]KVL eq.      [eqn: under{v=v_{s`1} + v_{s`2}+CDOTS + v_{s`N}`}]

[eqn: cdot]단자법칙으로 부터 : [eqn: under{v=v_s`}],

[eqn: v_s = v_{s`1} + v_{s`2} + CDOTS + v_{s`N} = sum_i=1^N v_{s`i`}]

전압원의 직렬접속회로는 전원함수가 각각의 직렬전원함수의

대수적 합인 하나의 전압원과 등가이다.

예제 2.9) 다음 그림 2.19의 회로에서 전류 [eqn: i`]를 구하라.

<해>

[eqn: cdot]하나의 등가전압원 :

[eqn: v_s = v_ba = 5+18-7=16`rm V`]

[eqn: cdot]저항에 걸리는 전압과 [eqn: i`] :

[eqn: v_R =16 =4`i`]  [eqn: ->]  [eqn: THEREFORE ~~under{i=4`rm A`}]

* 전류원의 직렬연결 : 그림 2.20

[eqn: cdot]By KCL for 그림 2.20 (a),

[eqn: under{i=i_{s`1} = i_{s`2} = cdots = i_{s`N``}}]

[eqn: cdot](b)에서 [eqn: i=i_s`] 이면, (a)와 (b)는 등가.

전류원의 직렬접속회로는 동일한 전원함수를 가져야 하며, 이 경우 그 접속회로는 전원함수들 중 어느 하나와 등가이다. 만약 주어진 전원함수들이 모두 동일하지 않으면, 수학적으로 모순이 되며 그 회로는 해석될 수 없다.

2.5 병렬등가회로와 전류분배

* 단순병렬회로(단일마디쌍 저항회로)

- 그림 2.21 : 하나의 전류원 + 3개의 저항

(a) KCL eq.

[eqn: i &= i_1 + i_2 + i_3 =G_1 v + G_2 `v + G_3 `v` ##&= under{(G_1 +G_2 + G_3 `) v``} ~~cdots~~①]  [eqn: <->] [eqn: i=f_1 (v)]

[eqn: HOOKRIGHT] [eqn: left(THEREFORE ~~v= i over {G_1 + G_2 + G_3}``right)]

(b) KCL eq.

[eqn: i=` under{G_p `v}~~cdots~~②]  [eqn: <->]  [eqn: i=f_2 (v)]

[eqn: HOOKRIGHT] 따라서, [eqn: under{G_p`=` G_1 `+ `G_2 `+` G_3`}] 이면, (a)와 (b)는 등가.

* [eqn: N``]개의 병렬저항을 갖는 회로에 대해,

[eqn: G_p = SUM from i=1 to N `G_i``]

저항의 병렬접속회로는 각 병렬컨덕턴스값을 합한 컨덕턴스값을

갖는 단일저항과 등가이다.

[eqn: cdot][eqn: R_i = 1 /G_i`] 이므로,

[eqn: 1 over R_p = SUM from i=1 to N `1 over R_i `~~->~~R_p = 1 over {SUM from i=1 to N `1 over R_i `}]

저항의 병렬접속회로에서 그 등가저항값의 역수는 각 병렬저항값의 역수의 합과 같다.

[eqn: cdot][eqn: N=2`] 일 때, "곱-나누기-합 법칙(product-by-sum rule)"

[eqn: 1 over R_p` = `1 over R_1` +` 1 over R_ 2]  [eqn: ->]  [eqn: under{R_p `=` { R _ 1` R_ 2 }over { R_1`+ `R_2 }}]

[eqn: HOOKRIGHT] If [eqn: R_1 =R_2`], [eqn: R_p =R_1 /2`]

[eqn: cdot][eqn: N``]개의 동일한 저항이 병렬로 접속된 회로에서는,  [eqn: under{R_p = R/N`}]

* 전류분배원리(principle of current division)

: 병렬저항을 통해 흐르는 전류는 각 컨덕턴스값에 비례해서 분배된다.

[eqn: cdot]윗 그림 2.21 (a) 회로에서, [eqn: v= i over G_p`]이므로,

[eqn: cases{i_1 = G_1 `v = G_1 over G_p i = G_1 over {G_1 + G_2 + G_3} i` ## i_2 = G_2 `v = G_2 over G_p i = G_2 over {G_1 + G_2 + G_3} i` ## i_3 = G_3 `v= G_3 over G_p i = G_3 over {G_1 + G_2 + G_3} i`}]   : 전류분배기

[eqn: cdot] 저항이 작을수록 (컨덕턴스가 클수록) 더 많은 전류가 흐른다.

[eqn: cdot][eqn: N=2`] 일 때, [eqn: cases{G_p =G_1 + G_2 = 1 over R_1 + 1 over R_2` ## v= i over G_p = i over { 1 over R_1 + 1 over R_2`}}] 이므로,

[eqn: cases{i_1 = G_1 `v = {1 over R_1} over {1 over R_1 + 1 over R_2}`i` = R_2 over {R_1 + R_2} i` ## i_2 = G_2 `v = {1 over R_2} over {1 over R_1 + 1 over R_2}i = R_1 over {R_1 + R_2} i`}]

[eqn: HOOKRIGHT] 두 개의 병렬저항에 대해, 전류는 저항값에 반비례하여 분배된다.

예제 2.10) 다음 그림 2.22의 회로에서 전원전류 [eqn: i=18`rm mA`]일 때, 전류                [eqn: i_1 ~sim~i_4`]의 값을 구하라.

<해>

[eqn: cdot]컨덕턴스 :

[eqn: cases{G_1 = 1/250 =4`rm mS` ## G_2 = G_3 = 1/500=2`rm mS` ## G_4 =1/1000=1`rm mS`}]  [eqn: ->] [eqn: G_p = 4+2+2+1= under{9`rm mS}]

[eqn: THEREFORE ~~cases{i_1 `=` G_1 over G_p `i`= `4 over 9 ` ( 18 rm` mA ) `= `8` mA`## i_2 `=` G_2 over G_p `i`= `2 over 9 ` ( 18 rm` mA ) `= `4` mA` ## i_3 `=` G_3 over G_p `i`= `2 over 9 ` ( 18 rm` mA ) `= `4` mA` ## i_4 `=` G_4 over G_p `i`= `1 over 9 ` ( 18 rm` mA ) `= `2` mA`}]

[eqn: cdot]전력분배 :

[eqn: v`=` i over G_p `=` {18 rm` mA} over {9 rm` mS} `= `2` rmV``]

[eqn: THEREFORE ~~cases{p_1 = v `i_1 = (2 rm V) ( 8 mA) =16`` mW` ## p_2 = v`i_2 =(2 rm V)(4 mA)=8``mW` ## p_3 = v`i_3 =(2 rm V)(4 mA)=8 ``mW` ## p_4 = v `i_4 = (2 rm V)(2 rm mA)=4 ``mW`}]

[eqn: THEREFORE ~~p_1 + p_2 + p_3 + p_4 = under{36 `rm mW`}]

[eqn: cdot]따라서,  공급전력  =  소비전력

[eqn: p=v`i = (2 rm V) ( 18 mA) = under{36` mW`} it =p_1 + p_2 + p_3 + p_4`]

* 전류원의 병렬연결 : 그림 2.23

[eqn: cdot]KCL eq.

(a) [eqn: ->] [eqn: i`=` i_{s`1}` +` i_{s`2} `+` CDOTS `+` i_{s`N} `]

(b) [eqn: ->] [eqn: i=i_s`]

[eqn: cdot][eqn: under{i_s = i_{s`1} + i_{s`2} + CDOTS + i_{s`N}``}] 이면, (a)와 (b)는 등가.

예제 2.11) 다음 그림 2.24의 회로에서 [eqn: v`]와 [eqn: i_1`]을 구하라.

<해>

[eqn: cdot]회로 (a)는 다음과 같다.

[eqn: ->]

[eqn: cdot]따라서,  [eqn: i_s =24-4=20`rm A`]

[eqn: R_eq = 18 ``Omega `//`6``Omega ={(18)(6)} over {18+6} = 9 over 2` OMEGA`]

[eqn: THEREFORE ~~cases{v=R_eq `i_s =(9/2)(20)=90`rm V` ## i_1 = -v/18=-5`rm A`}]

* 전압원의 병렬연결 :

[eqn: cdot]By KVL,

(a) [eqn: ->] [eqn: v=v_{s`1} = v_{s`2} = cdots = v_{s`N``}]

(b) [eqn: ->] [eqn: v=v_s`]

[eqn: cdot][eqn: under{v_s =v_{s`1} = v_{s`2} = cdots = v_{s`N``}}] 이면, (a)와 (b)는 등가.

2.6 테브냉 등가회로와 노튼 등가회로

- 1-포트(1-port) 능동회로에 대한 등가.

* 테브냉(Thevenin)형 회로와 노튼(Norton)형 회로

[eqn: HOOKRIGHT][eqn: cases{v_T = rm"Thevenin equivalent voltage source(open terminal voltage)" ## R_T =rm "Thevenin equivalent resistance(internal resistance)"` ## ~~~~~~v_s (t)=0~:~"short",~~i_s (t)=0~:~"open"` ## i_N = rm"Norton equivalent current source(short terminal current)" ## R_N =rm"Norton equivalent resistance(internal resistance")}]

[eqn: cdot]단자전압과 단자전류 사이의 관계

그림 2.25 (a) [eqn: ->] By KVL,

[eqn: under{v= -R_T ``i + v_T`} ~~cdots~~①]  [eqn: <->]  [eqn: v=f_1 (i`)]

(b) [eqn: ->] By KCL,

[eqn: i_N = i+ v over R_N`][eqn: ->][eqn: under{v = -R_N`` i + R_N``i _ N`}~cdots~②] [eqn: <->] [eqn: v=f_2 (i`)]

[eqn: cdot][eqn: R_T =R_N``]이고 [eqn: v_T = R_N ``i_N``]이면, [eqn: ①=②].   ∴ (a)와 (b)는 등가.

전압원이 [eqn: v_T``]이고 직렬저항이 [eqn: R_T``]인 테브냉형 회로는, 전류원이 [eqn: i_N``]

이고 병렬저항이 [eqn: R_N``]인 노튼형 회로와  다음 관계가 성립하면 등가   이다.

[eqn: (a) ~R_T = R_N``]

[eqn: (b)~v_T = R_N ``i_N``]

예제 2.12) 다음 그림 2.26의 회로에서 [eqn: i_1`]을 구하라.

<해>

[eqn: cdot]노튼형 회로(점선의 오른쪽) [eqn: ->] 테브냉 등가회로로 대치 [eqn: ->] 단순화.

- [eqn: under{R_N = 4``Omega`}] 이고 [eqn: under{i_N =1`rm A`}]이므로,

[eqn: under{R_T = 4``Omega`}] 이고 [eqn: under{v_T = R_N ```i_N =(4)(1)=4`rm V`}]

그림 2.27,

[eqn: cdot]따라서,

[eqn: under{i_1 =12/6 =2`rm A`}]

* 2단자(1-포트) 회로와 테브냉 등가회로 : 그림 2.28

[eqn: cdot]단자전압과 단자전류

(a) [eqn: v=f`(`i`)]

(b) [eqn: v=-R_T ``i + v_T``]  [eqn: <->]  [eqn: y=ax+b`]

[eqn: cdot][eqn: under{v=f`(i`)=-R_T ``i +v_T``}]이면, (a)와 (b)는 등가.

예제 2.13) 다음 그림 2.29의 회로에서 단자법칙([eqn: v=f`(i`)=-R_T ```i + v_T`])를             사용하여 [eqn: v_0``]를 구하라.

<해>

[eqn: cdot]점선의 오른쪽 [eqn: ->] 테브냉 등가회로

[eqn: cases{rm"KCL"~:~it i_1 &= 10 + i - 6 = i+4` ## rm"KVL"~:~it v &= -4i - 8 i_1 -2 i +4 =-4i-8(i+4)-2i+4 ##&= under{-14i-28} ~~<->~~ under{v= -R_T``i +v_T`}}]

[eqn: THEREFORE ~~ under{R_T =14`Omega`}] , [eqn: under{v_T =-28`rm V`}]

[eqn: cdot]테브냉 등가회로  [eqn: ->]  노튼 등가회로

[eqn: cases{R_N = R_T =14` Omega` ## i_N =v_T /R_N =-2`rm A`}]

[eqn: ->]

[eqn: downarrow]

[eqn: cdot]따라서, [eqn: v_0`]는 다음과 같이 구해진다.

1) [eqn: 26`-`2`=` v_0 over 2 `+`v_0 over 14`]  [eqn: ->]  [eqn: under{v_0 `= `42 rm V``}]

2) [eqn: v_0 = (26-2) cdot (2`Omega`//14`Omega`) = under{42`rm V`}]

* 회로도로부터 직접 등가회로를 구하는 방법 (보다 편리한 방법).

[eqn: cdot]단자법칙 [eqn: under{v=f`(i`)=-R_T ``i+v_T``}]에서 [eqn: i=0`]라 두면,

[eqn: under{f`(i`) bigg|_i=0 =f`(0) `=` v_T``}] [eqn: ->] [eqn: under{v_T `=v_{o`c}`}]  (개방회로전압)

[eqn: cdot]위 단자법칙에서 [eqn: under{v=f`(i`)=0`}]라 두면,

[eqn: under{0=-R_T ``i+ v_T``}]  [eqn: ->]  [eqn: under{i_sc = v_T `/` R_T``}]  (단락회로전류)

개방회로전압이 [eqn: v_{o`c`}]이고 단락회로전류가 [eqn: i_{s`c`}]인 부회로의

테브냉 등가회로는 다음과 같이 된다.

[eqn: (a)~v_T = v_oc`]

[eqn: (b)~R_T = v_{o`c`}/`i_{s`c`}]

개방회로전압이 [eqn: v_{o`c`}]이고 단락회로전류가 [eqn: i_{s`c`}]인 부회로의

노튼 등가회로는 다음과 같이 된다.

[eqn: (a)~i_N = i_{s`c`}]

[eqn: (b)~R_N = v_{o`c`}/`i_{s`c`}]

예제 2.14) 다음 그림 2.30의 회로에 대해 테브냉 등가회로와 노튼 등가회로            를 구하라.

<해>

[eqn: cdot][eqn: v_{o`c`}] : 단자가 개방(open)되었다고 가정 ([eqn: i=0`]).

[eqn: v_1 = 12 over {12+4} cdot 24 = 18 `rm V`] [eqn: ->]  [eqn: v=v_{o`c`} =18`rm V`]

[eqn: THEREFORE ~~under{v_T =v_{o`c`} =18` rm V`}]

[eqn: cdot][eqn: i_{s`c`}] : 단자가 단락(short)되었다고 가정 ([eqn: v=0`]).

[eqn: R_eq = {12 cdot 6} over {12 +6} = 4 OMEGA`]  [eqn: ->]  [eqn: v_1 = 4 over {4+4} 24 = 12 `rm V`]

[eqn: THEREFORE ~~under{i_sc = v_1 over 6 = 12 over 6 = 2 `rmA`}]

[eqn: cdot][eqn: R_T =R_N``] :

[eqn: under{R_T = v_{o`c`}/i_{s`c`} = 18/2=9` Omega`}]

그림 2.31,

* 테브냉형과 노튼형 회로에서 [eqn: R_T = R_N``]을 구하기 위한 다른 방법 :

[eqn: under{R_T = v/i``' ``|rm "sources killed"}], ([eqn: i`' =-i`])

[eqn: R_T``] (또는 [eqn: R_N``])는 회로 내의 모든 전원을 제거하고 단자에서 바라본 저항값을 계산함으로써 구할 수 있다.

독립전압원은 단락회로로 대치함으로써 제거할 수 있으며,

독립전류원은 개방회로로 대치함으로써 제거할 수 있다.

예제 2.15) 윗 그림 2.30의 회로에서 전원제거방법을 사용하여 [eqn: R_T =R_N``]을             구하라.

<해>

[eqn: cdot]내부전원을 제거하면, 회로는 다음과 같이 된다.

- 독립전압원(24 V)은 단락회로로 대치 : 그림 2.32

[eqn: cdot]따라서,

[eqn: under{R_T `=R_N `=6`Omega + 12`Omega``//``4`Omega` = 9`Omega`}]

*요 약 : Self-study

Report

<문제> 2.2, 2.5, 2.11, 2.14, 2.21, 2.30, 2.31, 2.34, 2.43, 2.49

(10 문제)