[eqn: THEREFORE ~{rm|boldH}_LP (j omega)| &= 1 over {root{omega^2 R^2 C^2 +1}} ###&=cases{1,~~~~~omega=0` ## 1/root2 ,~~omega=omega_c =1/RC` ## 0, ~~~~~``omega=inf}]

□차단주파수 (3-dB frequency) : [eqn: omega_c = 1 over RC`]

□이득곡선 : 그림 14.22(a) ;

* 고역통과필터 (HPF) : [eqn: {rmboldV}_R`]을 출력으로 정의하면,

[eqn: {rmboldH}_HP (j omega) = {rmboldV}_R over {rmboldV}_"in"= R over {R+[1/(j omega C`)]}={j omega RC }over {j omega RC+1}]

[eqn: THEREFORE ~{rm|boldH}_HP (j omega)|= {omega RC} over { SQRT {omega^2 R^2 C^2 +1}}]

[eqn: =cases{0,~~~~~omega=0` ## 1/root2 ,~~omega=omega_c = 1/RC` ## 1,~~ ~~~``omega=inf`}]

- 이득곡선 : 그림 14.22(b) ;

* 이러한 [eqn: RC`] 필터에서 비이상적인 정도를 알기 위해, 통과대역 내로 1-decade 이동([eqn: omega_c`][eqn: ->][eqn: omega_c `/10`])하면, LPF의 주파수 응답은

[eqn: {rmboldH}_LP (j omega) bigg|_omega=1/10RC &= 1 over {j omega RC +1} bigg|_omega=1/10RC = 1 over {j 1 over {10 RC} RC +1}` ##&= 1 over {1+ j 1 over 10} =0.995 rm angle -5.7^o`]

[eqn: HOOKRIGHT] 즉, 이상적인 필터는 통과대역 내에서 이득은 1로 일정하고, 위상변이는 0으로 일정. 그러나 실제의 경우, 이득은 단위이득의 1/2 % 이내, 위상은 [eqn: rm 6^o`] 이내의 변이를 보인다.

* 대역통과필터 (BPF) : 그림 14.23(a) ;

- 대역통과필터(band pass filter)는 [eqn: omega_l ``<=`` omega ``<=`` omega_u`]의 통과대역을 갖는다.

여기서 [eqn: omega_u`]는 상측반전력주파수, [eqn: omega_l`]은 하측반전력주파수이다.

□BPF는 LPF와 HPF를 곱하여 만들 수 있다.

[eqn: under{{rmboldH}_BP (j omega) {= rmboldH}_LP (j omega) {rmboldH}_HP (j omega)}],  ([eqn: omega_l =omega_cHP `<` omega_u =omega_cLP`])

* 대역저지필터(Band Stop Filter : BSF 또는 Band Reject Filter : BRF)

- 대역저지필터는 [eqn: omega ``<=``omega_l`] 및 [eqn: omega ``>=`` omega_u`]으로 분리된 두 개의 통과대역을 갖는다.

* 전압전달함수가 다음과 같은 종속접속된(in cascade) 두 개의 회로.

[eqn: cases{{rmboldH}_1 (s) {= rmbold V}_2 (s) {/ rmboldV}_1 (s) ## {rmboldH}_2 (s) {= rmbold V}_4 (s) {/ rmboldV}_3 (s)}]

□스위치가 열려있든 닫혀있든[eqn: {rmboldV}_2 (s)]가 똑같다(부하효과가 없다)고 가정하면, 스위치가 닫혔을 때,

[eqn: {rmboldV}_3 (s) {= rmboldV}_2 (s) {= rmboldH}_1 (s) {rmboldV}_1 (s)]

[eqn: {rmboldV}_4 (s) {{= rmboldH}_2 (s) rmboldV}_3 (s) {= rmboldH}_1 (s) {rmboldH}_2 (s) {rmboldV}_1 (s)]

- 따라서, 전체전압전달함수는

[eqn: {rmboldH}(s) {= rmboldH}_1 (s) {rmboldH}_2 (s)]

부하효과가 없을 때, 종속접속회로의 전체전달함수는 개별전달함수의 곱이다.

□부하효과(loading effect) :[eqn: {rmboldH}_2 (s)]에 내부전원이 없다고 가정하면, 위의 종

속접속회로에 대한 테브냉 등가회로는 다음 그림 14.25와 같다.

[eqn: {rmboldV}_2 (s)= {{rmboldZ}_2 (s)} over {{rmboldZ}_1 (s) {+ rmboldZ}_2 (s)} {rmboldV}_T (s)]  [eqn: <->][eqn: {rmboldV}_2 (s){=rmboldV}_T (s)]

부하회로의 입력임피던스가 전원회로의 출력임피던스 보다 훨씬 크면, 두 회로가 종속접속(cascaded)될 때 부하효과는 일어나지 않는다.

예제 14.13) 다음 그림 14.26의 회로와 같이 [eqn: omega_cLP =10`]인 [eqn: RC`] LPF와 [eqn: omega_cHP =1]인 [eqn: RC`] HPF를 종속접속한 경우, 부하효과가 없다고 가정하면 [eqn: omega_l =1`]이고 [eqn: omega_u =10`]인 BPF가 된다. 실제 전체전달함수를 구하라.

<해>

□s-영역 망로방정식

[eqn: bmatrix{{1+ 10 over s} & {-10 over s} ## {-10 over s} & {1+ 11 over s}} bmatrix{{rmboldI}_1 (s) ### {rmboldI}_2 (s)`}= bmatrix{{rmboldV}_1 (s) `### 0}]

□By Cramer's rule,

[eqn: {rmboldI}_2 (s) = {{(10/s) rmboldV}_1 (s)} over {1+ (21/s)+(10/s^2 )} = {{10s rmboldV}_1 (s)} over {s^2 +21s+10}]

-[eqn: {rmboldV}_4 (s){=rmboldI}_2 (s) times 1 {= rmboldI}_2 (s)] 이므로, 실제 전체전달함수는

[eqn: under{{rmboldH}(s)= {{rmboldV}_4 (s)} over {{rmboldV}_1 (s)}= 10s over {s^2 +21s+10}`}]

□부하효과가 없다고 가정하면,

[eqn: cases{{rmboldH}_LP (s)= {{rmboldV}_2 (s)} over {{rmboldV}_1 (s)} = {1 over {0.1s}} over {1 over {0.1s} + 1} = 1 over {0.1s+1}` ## {rmboldH}_HP (s) = {{rmboldV}_4 (s)} over {{rmboldV}_3 (s)} = 1 over {1 over s +1} = s over {s+1}`}]

[eqn: THEREFORE ~{rmboldH}'(s) &{= rmboldH}_LP (s) {rmboldH}_HP (s) ##&```= left[1 over {0.1s+1} right] `left [s over {s+1} right] = 10s over {s^2 +11s+10}`neq{rmboldH}(s)]

- 부하효과의 예 : for [eqn: omega=1`],

[eqn: cases{{rm|boldH}(j omega)|_omega=1 = left| 10s over {s^2 +21s+10} right|_omega=1 =0.438 ~~:~rm"loading effect" ## {rm|boldH}'(j omega)|_omega=1 = left| 10s over {s^2 +11s+10} right|_omega=1 =0.704~~:~rm"no loading effect"}]

[eqn: HOOKRIGHT] 부하효과는 전체응답을 감소시킨다.

* 전압폴로워(voltage follower)를 이 회로 내에 완충증폭기(buffer amplifier)로 삽입하면, 부하효과를 제거할 수 있다 : 그림 14.27 ;

* 대역저지필터(band-stop filter)

[eqn: {rmboldH}_BS (j omega) =1{-rmboldH}_BP (j omega)]

* 필터를 만들기 위한 물리적 소자

[eqn: cases{rm"Passive filter"~:~it"passive elements only"it(R,L,C`) ## rm"Active filter"~:~it"op amps + passive elements (R,C`)"}`]

예제 14.14) 다음 전달함수를 갖는 3차 LPF를 설계하라.

[eqn: {rmboldH}(s)= 1 over {(s+1)(s+5)(s+20)}]  :  극점만 있는 함수

<해>

□전달함수가 [eqn: 1/(s+1)], [eqn: 1/(s+5)], [eqn: 1/(s+20)]인 세 개의 종속접속된 LPF와 필터구역들을 완충하기 위해 전압폴로워를 사용함으로써[eqn: {rmboldH}(s)]를 구할 수 있다 : 그림 14.28 ;

* 전역통과필터(all-pass filter : APF) : 이득은 일정하고 위상만 조절.

* 컴필터(Comb filter) : 주파수 축 상에서 등간격으로 떨어져 있는 여러 개                         의 통과대역을 가짐.

14.7 능동필터의 설계

*[eqn: {rmboldH}(s)]에 대한 필터구현문제 :

[eqn: HOOKRIGHT] 오직 저항, 커패시터 및 op amp 만을 갖는 기본 블록을 사용.

표 14.2 기본 블록 회로

빌딩블록	회로도	전압전달방정식
Inverting amplifier		[eqn: {rmboldV}_o `=`- R_F over R_A {rmboldV}_1`]
Noninverting amplifier		[eqn: {rmboldV}_o `=` left( 1 + R_F over R_A right) {rmboldV}_1`]
Inverting summer		[eqn: {rmboldV}_o = -R_F over R_1 {rmboldV}_1 + -R_F over R_2 {rmboldV}_2`]
Noninverting summer		[eqn: {rmboldV}_o = left(1+ R_F over R_A right) `left(R_T over R_1 {rmboldV}_1 + R_T over R_2 {rmboldV}_2 right)] where [eqn: R_T = R_1 ||R_2`]

예제 14.15) 다음 그림 14.29(a)의[eqn: {rmboldZ}_F (s) =R_F`],[eqn: {rmboldZ}_A (s)= R_A + 1/(sC`)]인 반전필터에 대한 전달함수와 보드이득선도를 구하라.

<해>

□전압전달함수

[eqn: {rmboldV}_o (s)={{-rmboldZ}_F (s)} over {{rmboldZ}_A (s)} {rmboldV}_1 (s)]

[eqn: THEREFORE ~{rmboldH}(s)={{rmboldV}_o (s)} over {{rmboldV}_1 (s)}= -R_F over {R_A +[1/(sC`)]}={-(R_F /R_A )s} over {s+[1/(R_A C`)]}= Ks over {s+omega_c}`]

[eqn: HOOKRIGHT] [eqn: s=-1/(R_A C`)]에서 극점 및 [eqn: s=0`]에서 영점.

□보드이득선도

1) [eqn: K-]인자 : [eqn: 20 log_10 `|K`|=under{20 log_10 R_F over R_A ``rm dB`}]

2) [eqn: s`-]인자 : [eqn: 20 log_10 `|j omega`|=under{20 log_10 ``omega ```rm dB`}]

3) [eqn: 1 over {s+ 1 over {R_A C`}}`] 인자 :

[eqn: cases{-20 log_10 `left( 1 over {R_A C} right) ~rm dB,~~it omega`< < 1 over {R_A C`} ## -20 log_10 `omega ~rm dB,~~~~~~~~~omega`> >` it 1 over {R_A C}`}]

[eqn: THEREFORE ~~cases{omega`<`omega_c ~:~ Gain=under{20 log_10 R_F over R_A +20 log_10 omega -20 log_10 `left(1 over {R_A C} right)~rm dB`} ## omega`>`omega_c ~:~ Gain= 20 log_10 R_F over R_A +20 log_10 omega -20 log_10 `omega~rm dB` ## ~~~~~~~~~~~~~=under{20 log_10 R_F over R_A ``rm dB}}]

그림 14.29(b) ;

* 한번반전필터(One inverting filter) = 반전적분기(inverting integrator) :

그림 14.30 ;

[eqn: {rmboldH}(s) = -{{rmboldZ}_F (s)} over {{rmboldZ}_A (s)}= - {1/(sC`)} over R = - 1 over (RCs)]

□적분특성

[eqn: {rmboldV}_o (s) = -1 over (RCs) {rmboldV}_1 (s) = - 1 over RC 1 over s {rmboldV}_1 (s)]

[eqn: THEREFORE ~~under{v_o (t) =-{1 over RC} INT v_1 (t) dt`}]

* 분모다항식[eqn: {rmboldD}(s)]가 분자다항식[eqn: {rmboldN}(s)]와 적어도 같은 차수를 갖는 어떤 분수 형태의 유리전달함수[eqn: {rmboldH}(s)]를 구현하는 과정 :

[eqn: {rmboldH}(s)]를 부분전달함수의 곱으로 인수분해,

[eqn: {rmboldH}(s) {=K rmboldH}_1 (s) {rmboldH}_2 (s) ~cdots {rmboldH}_q (s)]

여기서 각[eqn: {rmboldH}_i (s)]는

[eqn: {rmboldH}(s) = {b_1 s +b_0} over {s+a_0}`] : 쌍선형(bilinear) 전달함수

또는

[eqn: {rmboldH}(s) ={b_2 s^2 +b_1 s+b_0} over {s^2 +a_1 s +a_0}`] : 쌍2차(biquadratic (biquad)) 전달함수

□필터 구현의 중추는 반전적분기이다 : 그림 14.31 ;

- (b)에서, [eqn: RC=1`]로 놓고,[eqn: {rmboldV}_o (s)]를 [eqn: a_0`]로 스케일한 후,[eqn: {-rmboldV}_1 (s)]를 더하고, 합산기 블록의 출력을 반전적분기블록의 입력에 연결,

[eqn: {a_0 rmboldV}_o (s) {-rmboldV}_1 (s) {= -s rmboldV}_o (s)]

[eqn: THEREFORE ~{rmboldV}_o (s) = 1 over {s+a_0} {rmboldV}_1 (s)] [eqn: ->] [eqn: {rmboldH}(s)= {{rmboldV}_o (s)} over {{rmboldV}_1 (s)} = 1 over s+a_0`]

- 쌍선형 전달함수를 구하기 위해 반전적분기 블록의 입력과 출력에서 신호를 스케일하고 덧셈.

[eqn: {rmboldV}_2 (s) = [(-b_1 ) {(-s rmboldV}_o (s)] {+ b_0 rmboldV}_o (s){=(b_1 s +b_0 ) rmboldV}_o (s)]

[eqn: THEREFORE ~under{{rmboldV}_2 (s)={b_1 s +b_0} over {s+a_0} {rmboldV}_1 (s)}] [eqn: ->] [eqn: under{{rmboldH}(s)={{rmboldV}_2 (s)} over {{rmboldV}_1 (s)} = {b_1 s+b_0} over s+a_0`}]

[eqn: HOOKRIGHT] 회로는 하나의 반전적분기, 스케일러 및 합산기가 필요.

* 합산기에 입력들을 곱하는 두 계수의 부호가 같다면, 스케일 및 합산블록을 구성하기 위해 다음과 같은 합산기들을 사용.

1) 둘 다 음의 부호인 경우 : 반전합산기

[eqn: {rmboldV}_o = -R_F over R_1 {rmboldV}_1 + -R_F over R_2 {rmboldV }_2`]

2) 둘 다 양의 부호인 경우 : 비반전합산기

[eqn: {rmboldV}_o &=left(1+ R_F over R_A right)cdot R_2 over {R_1 +R_2}{rmboldV}_1 + left(1+ R_F over R_A right) cdot R_1 over {R_1 +R_2} {rmboldV}_2` ##&=left(1+ R_F over R_A right) `left(R_T over R_1 {rmboldV }_1 + R_T over R_2 {rmboldV}_2 right)]

여기서 [eqn: R_T = R_1 ||R_2`]

3) 서로 다른 부호인 경우 : 반전과 비반전증폭기를 결합하는 회로.

- 중첩원리를 이용한 전압전달방정식 :

□ With[eqn: {rmboldV}_2`] shorted :[eqn: {rmboldV}_o1 = -R_F over R_a {rmboldV}_1`]

□ With[eqn: {rmboldV}_1`] shorted :[eqn: {rmboldV}_{o`2} `=` left(1+ R_F over R_a right) {rmboldV}_2`]

□따라서,

[eqn: {rmboldV}_o `=` left( 1+ R_F over R_a right) {rmboldV}_2 -{R_F over R_a {rmboldV}_1}`]

[eqn: HOOKRIGHT] 계수들의 모든 조합이 가능한 것은 아니다.

- 예를 들어, [eqn: R_F /R_a =2`]로 놓으면[eqn: {rmboldV}_o {=3 rmboldV}_2 {-2 rmboldV}_1`]을 얻을 수 있지만,

[eqn: R_F /R_a`]의 비를 어떻게 정해 주어도[eqn: {rmboldV}_o {=4 rmboldV}_2 {-2 rmboldV}_1`]을 얻을 수 없다.

* ([eqn: 1+R_F /R_a`]) 보다 작은 양의 계수를 구하기 위해 양(비반전)의 입력단에 전압분배기를 삽입 : 그림 14.34(a) ;

새로운 전압전달함수 :

[eqn: {rmboldV}_o `=` left(1+ R_F over R_a right) R_2 over {R_1 +R_2} {rmboldV}_2 - R_F over R_a {rmboldV}_1`]

여기서           [eqn: left(1+ R_F over R_a right) R_2 over {R_1 +R_2} ~<~left(1+ R_F over R_a right)]

* ([eqn: 1+R_F /R_a`]) 보다 큰 양(+)의 계수를 구하기 위해 반전입력과 접지 사이에 추가 저항을 삽입 : 그림 14.34(b) ;

[eqn: R_A = R_a `||` R_b`]

and              [eqn: {rmboldV}_o `=` left( 1+ R_F over R_A right) {rmboldV}_2 -{R_F over R_a} {rmboldV}_1`]

여기서

[eqn: left(1+ R_F over R_A right) ~>~left(1+ R_F over R_a right)]

□합산기의 설계시 고려사항 요약

먼저 원하는 음의 계수를 [eqn: -R_F /R_a`]로 놓고, [eqn: 1+(R_F /R_a `)] 보다 작은 양의 계수를 구하기 위해 합산기로 전압분배기를 사용하며, [eqn: 1+(R_F /R_a `)] 보다 큰 양의 계수를 구하기 위해 합산기로 추가 저항을 사용한다.

예제 14.16) 다음을 구현하라.

(1)[eqn: {rmboldV}_3 {= rmboldV}_2 {- rmboldV}_1`]

(2)[eqn: {rmboldV}_4 {=4 rm boldV}_2 {-2 rmboldV}_1`]

<해>

□[eqn: {rmboldV}_o `=` left( 1+ R_F over R_a right) {rmboldV}_2 -{R_F over R_a {rmboldV}_1}`] 를 사용.

1)[eqn: {rmboldV}_3 {= rmboldV}_2 {- rmboldV}_1`] :

- [eqn: under{{-rmboldV}_1`}]을 위해 [eqn: under{R_F /R_a =1`}]라 놓으면, [eqn: left(1+ R_F over R_a right)=2`].

[eqn: THEREFORE ~{rmboldV}_3 {=2 rmboldV}_2 {-rmboldV}_1`]

[eqn: HOOKRIGHT] 다음 그림 14.35(a)와 같이 양(비반전)의 입력단에 전압분배기를 삽입해야 한다.

그림 14.35(a) ;

[eqn: HOOKRIGHT] [eqn: R_1 =R_2`] 이므로,

[eqn: {rmboldV}_3 &``=left(1+ R_F over R_a right) R_2 over {R_1 +R_2} {rmboldV}_2 `-` R_F over R_a {rmboldV}_1` = 2 cdot 1 over 2 {rmboldV}_2 {-rmboldV}_1` ##&{=rmboldV}_2 {-rmboldV}_1`]

2)[eqn: {rmboldV}_4 {=4 rm boldV}_2 {-2 rmboldV}_1`}] :

- [eqn: under{{-2 rmboldV}_1`}]을 위해 [eqn: under{R_F /R_a =2`}]라 놓으면, [eqn: 1+ (R_F /R_a `)=3`].

[eqn: THEREFORE ~{rmboldV}_4 {=3 rm boldV}_2 {-2 rmboldV}_1`}]

[eqn: HOOKRIGHT] 다음 그림 14.35(b)와 같이 반전입력과 접지 사이에 추가 저항을 삽입해야 한다.

그림 14.35(b) ;

[eqn: HOOKRIGHT] [eqn: 1+(R_F /R_A `)=4`] 가 필요하므로,

[eqn: {R_F /R_a} over {R_F /R_A} = 3-1 over 4-1 = 2 over 3`]  [eqn: ->]  [eqn: R_A = 2 over 3 R_a`]

- 컨덕턴스에 관해, [eqn: G_A = 3 over 2 G_a = G_a + G_b`].

[eqn: THEREFORE ~~G_b = 3 over 2 G_a -G_a = 1 over 2 G_a`]  [eqn: ->]  [eqn: under{R_b =2 R_a`}]

예제 14.17) 다음 전달함수를 갖는 회로를 구하라.

[eqn: {rmboldH}(s) = {b_1 s+b_0} over {s+a_0} = s-2 over s+1`]

<해>

□윗 그림 14.32의 블록도를 살펴보면,

:[eqn: {rmboldH}(s) = {b_1 s+b_0} over {s+a_0}`]

- [eqn: b_1 =1`], [eqn: b_0 =-2`], 및 [eqn: a_0 =1`] 이므로,

:[eqn: {rmboldH}(s) = s-2 over s+1`]

[eqn: HOOKRIGHT] 필요 사항

① +1과 -1의 계수를 갖는 입력합산기 (예제 14.16-(1) 참조)

② -1과 -2의 계수를 갖는 출력합산기

[eqn: R_F /R_a =1`] 및 [eqn: R_F /R_b =2`]인 2-입력 반전합산기를 사용.

③ 반전적분기 : [eqn: 1/(RC`)=1`]

□따라서 쌍선형 전달함수를 구현한 회로도 : 그림 14.36 ;

* 극점만 있는 전달함수

[eqn: {rmboldH}(s)= {{rmboldV}_o (s)} over {{rmboldV}_1 (s)} = 1 over {s^2 +a_1 s+a_0}`]

□2차 시스템이므로, 두 개의 적분기가 필요

□전달함수[eqn: {rmboldH}(s)]로 부터,

[eqn: under{{s^2 rmboldV}_o (s) =-a_1 {s rmboldV}_o (s)- {a_0 rmboldV}_o (s) {+ rmboldV}_1 (s)}]

[eqn: HOOKRIGHT] (블록도 (b)와 비교)

* 극점만 있는 전달함수를 사용한 쌍2차 전달함수 :

□극점만 있는 전달함수에서는[eqn: {rmboldV}_o (s) {= [1/(s^2 +a_1 s+a_0 `)] rmboldV}_1 (s)] 이므로, 원하는 쌍2차 전달함수는 다음과 같이 구현된다.

[eqn: {rmboldV}_2 (s) = (b_2 s^2 +b_1 s+b_0 ) {rmboldV}_o (s)={b_2 s^2 +b_1 s+b_0} over {s^2 + a_1 s+ a_0} {rmboldV}_1 (s)]

□[eqn: {rmboldH}(s)= {{rmboldV}_2 (s)} over {{rmboldV}_1 (s)} = {b_2 s^2 +b_1 s+b_0} over {s^2 + a_1 s+ a_0}`]에 대한 쌍2차 블록도: 그림 14.38;

예제 14.18) 다음 전달함수에 대한 쌍2차 구현회로를 구하라.

[eqn: {rmboldH}(s) = {{rmboldV}_2 (s)} over {{rmboldV}_1 (s)} ={{1 over 4} s} over {s^2 +2s+1}`]

<해>

□[eqn: {rmboldH}(s) ={b_2 s^2 +b_1 s+b_0} over {s^2 +a_1 s+a_0}= {(1/4)s} over {s^2 +2s+1}`]에 대해,

[eqn: under{b_2 =b_0 =0`}],[eqn: under{b_1 = 1/4`}],[eqn: under{a_1 =2`}] 및 [eqn: under{a_0 =1`}].

□따라서, 필요사항

(1)[eqn: under{a_1 =2}`],[eqn: under{-a_0 =-1`}]및[eqn: {rmboldV}_1 (s)]에 대한 계수 [eqn: 1`]을 갖는 3-입력 합산기.

(2) 두 개의 반전적분기 [eqn: left(-1 over s`, -1 over s right)]

(3) 이득이 [eqn: -b_1 = - (1/4)]인 출력 반전증폭기

(1) 3-입력 합산기 :

[eqn: cases{under{-R_F /R_a =-1}``(R_F =R_a `)~:~"for the negative input"` ## under{g_1 =1}, ``under{g_2 =2}~~~~~~~~~~~~~:~"for two positive inputs"}`]

그림 14.39 ;

(두 개의 양의 입력을 갖는 3-입력 합산기 )

□다른 입력을 제거하면,[eqn: {rmboldV}_1`] 과[eqn: {rmboldV}_2`]에 대한 이득 :

[eqn: cases{g_1 = left(1+ R_F over R_a right)left( R_2 over {R_1 + R_2} right) = {2R_2} over {R_1 + R_2}=1~~cdots~~(1) ## g_2 =left(1+ R_F over R_a right)left( R_1 over {R_1 + R_2} right) = {2R_1} over {R_1 + R_2}=2~~cdots~~(2)}] [eqn: <-] [eqn: under{R_F =R_a`}]

[eqn: HOOKRIGHT] If [eqn: (1) DIV (2)], [eqn: g_1 over g_2 = R_2 over R_1 = 1 over 2`] [eqn: ->] [eqn: under{R_2 = 1 over 2 R_1`}]

□If [eqn: R_2 = 1 over 2 R_1`],

[eqn: cases{g_1 = {2 left( 1 over 2 R_1 right)} over {R_1 + 1 over 2 R_1 }= 2 over 3`<`1` ## g_2 = 2R_1 over {R_1 + 1 over 2 R_1} = 4 over 3`<`2`}]

□이득을 크게 하기 위해 추가 저항 [eqn: R_b`]가 필요.

[eqn: cases{g_1 = left(1+ R_F over {R_a || R_b} right)left( R_2 over {R_1 + R_2} right) = 1` ## g_2 =left(1+ R_F over {R_a || R_b} right)left( R_1 over {R_1 + R_2} right) =2`}]

- [eqn: R_F =R_a`]이므로, 만약[eqn: under{R_b =R_a =R_F`}] 이면,  ([eqn: R_2 = (1/2)R_1`])

[eqn: 1+ R_F over {R_a `|| `R_b} =3`]

[eqn: THEREFORE ~~cases{g_1 = left(1+ R_F over {R_a || R_b} right) left( R_2 over {R_1 + R_2} right) =3 {(1/2) R_1} over {R_1 + (1/2) R_1}= 1` ## g_2 =left(1+ R_F over {R_a || R_b} right)left( R_1 over {R_1 + R_2} right) =3 R_1 over {R_1 + (1/2)R_1}=2`}]

(2) 두 개의 반전적분기 : [eqn: under{RC =1`}]

(3) 이득이 [eqn: -b_1 = - (1/4)]인 출력 반전증폭기 :

[eqn: under{- {R_F '} over {R_a '} = - 1 over 4`}]

[eqn: HOOKRIGHT][eqn: {rmboldH}(s)]의 쌍2차회로 구현 : 그림 14.40 ;

[eqn: {rmboldH}(s)]를 쌍선형 및 쌍2차 전달함수로 인수분해하고, 각각을 위와 같이 구현한 후, 종속으로 연결.

예제 14.19) 다음 전달함수를 구현하라.

[eqn: {rmboldH}(s)={s(s-2)^2 } over {(s^2 +s+2)(s+1)^2}`]

<해>

□쌍선형 및 쌍2차 형식으로 인수분해 :

[eqn: {rmboldH}(s) = s over {s^2 +s+2} `{s-2} over {s+1} `{s-2} over {s+1}`]

□해는 세 회로의 종속접속(cascade)이다 : 그림 14.41 ;

14.8 스케일링

* [eqn: R=1`Omega`], [eqn: C=2`rmF`] 및 [eqn: omega=1`rmrad/s`] 와 같은 수치들은 실제 회로에서 사용되는 값이 아니다.

□수치(해)들을 실제 회로동작의 범위로 변환할 수 있는 데, 그 변환 과정을 스케일링(scaling : 크기조정)이라 한다.

□두 가지 형태의 스케일링 : 임피던스 스케일링(Impedance scaling) 과

주파수 스케일링(frequency scaling)

1) 임피던스 스케일링(Impedance scaling)

[eqn: alpha`]에 의한 임피던스 스케일링은 전압은 변하지 않고 전류값은 모두 상수 [eqn: 1/alpha`] 배로 스케일되는 형식의, 새로운 회로 파라미터들을 결정하는 것이다.

□벡터-행렬 형식의 망로방정식

[eqn: {rmbold{Z`I}}{=rmboldV}_s`]

□[eqn: {rmboldZ}`]는 [eqn: {alpha rmboldZ}`]로 스케일되지만 (전류는 [eqn: 1/alpha`] 배로 스케일된다)[eqn: {rmboldV}_s`]는 변하      지 않는 새로운 회로는 다음과 같이 된다.

[eqn: {rm(alpha boldZ}) `left( rmboldI over alpha right) it{=rmboldV}_s`] [eqn: ->] [eqn: cases{R~->~alpha R=R_s` ## omegaL~->~alpha`(omegaL) =omega`(alphaL) =omegaL_s` ## 1 over {omega C}~->~ alpha left( 1 over omegaC right) = 1 over {omega`(C/alpha)}= 1 over {omega C_s}`}]

- [eqn: RLC`]는 각각 다음 값으로 대체된다.

[eqn: R_s = alpha R`,~L_s = alpha L`,~C_s = C over alpha`]

[eqn: alpha`]로 임피던스 스케일하는 것은 각각의 [eqn: R`] 값과 [eqn: L`] 값에 [eqn: alpha`]를 곱하고, [eqn: C`] 값은 [eqn: alpha`]로 나누는 것이다.

예제 14.20) 다음 그림 14.42(a)의 회로를 [eqn: alpha=1000`]으로 임피던스 스케일링              하라.

<해>

□[eqn: R`,L ~->~1000R`,1000L`], [eqn: C~->~C/1000`] 및[eqn: {rmboldI}_b ~->{rmboldI}_b /1000`],[eqn: {rmboldV}_a`]는 불변.

그림 14.42(b) 1000으로 임피던스 스케일한 회로 ;

예제 14.21) 윗 그림 14.28의 회로에서 op amp의 소손에 의한 회로의 고장으로 op amp에서 과도한 전력소모가 일어나는 것을 방지하기 위해 [eqn: alpha=2000`]으로 임피던스 스케일링하라.

<해>

□실제적인 값을 갖는 결과 회로 : 그림 14.43 ;

2) 주파수 스케일링

[eqn: beta`]에 의한 주파수 스케일링은 원래의 회로가 주파수 [eqn: omega`]에서 응답하는 것과 같이, 스케일된 회로가 정확하게 주파수 [eqn: beta omega`]에서 응답하도록 새로운 회로 파라미터들을 결정하는 것이다.

□[eqn: beta omega`]에서의 새로운 인덕터 임피던스와 커패시터 임피던스가 [eqn: omega`]에서의 원래 값과 동일하다면 , 모든 응답들도 동일해야 한다.

[eqn: omega~->~beta omega`] : [eqn: cases{R~->~R_s =R` ## omega L ~->~ beta omega cdot L_s =beta omega cdot left( L over beta right) =omega L` ## 1 over omegaC ~->~ 1 over {beta omega cdot C_s} = 1 over {beta omega `left( C over beta right)}= 1 over omegaC`}]

[eqn: beta`]로 주파수 스케일하는 것은 각각의 [eqn: L`] 값과 [eqn: C`] 값을 [eqn: beta`]로 나누고, 다른 모든 소자값들은 그대로 두는 것이다.

[eqn: R_s = R`,~L_s = L over beta`, ~C_s = C over beta`]

예제 14.22) 윗 그림 14.42(a) 회로의 공진주파수를 [eqn: 10^4`]배([eqn: beta=10^4`])로 주파   수 스케일링하라.

<해>

□[eqn: R_s =R`], [eqn: L_s = L over beta`], 및 [eqn: C_s = C over beta`] 이므로,

[eqn: cases{L~->~L/10^4 =0.2`rmmH` ## C~->~C/10^4 =100 rm mu F`}]

□주파수 스케일된 회로 :

14.9 SPICE와 주파수응답

[생략]

14.10 SPICE와 능동필터의 설계

[생략]

* 요 약 : Self-study

Report

<문제> 14.3, 14.9, 14.21, 14.23, 14.27, 14.37(c)(d), 14.45, 14.49,

14.54(b)(d), 14.56(a)(b)(SPICE) (10 문제)