제 14 장 주파수 응답

* 차례

14.1  주파수 응답 함수

14.2  데시벨 눈금

14.3  보드이득(크기)선도

14.4  공진

14.5  Op Amp의 주파수 응답

14.6  필터

14.7  능동필터의 설계

14.8  스케일링

14.9  SPICE와 주파수 응답

14.10 SPICE와 능동필터의 설계

14.1 주파수 응답 함수

* 전달함수[eqn: {rmboldH}(s)]는 입력-출력 관계를 보여준다.

[eqn: {rmboldV}_o (s) {={rmboldH}(s) rmboldV}_i (s),~~rm(all~ICs =0)]

□시간영역 독립전원들이 각각 복소지수함수[eqn: under{v_i (t) {=rmboldV}_i `e^{j omegat}`}][eqn: {rm(boldV}_i`]:페이저)라 가정하면,

[eqn: □[v_i (t)] {=rmboldV}_i (s) {=□[rmbold V}_i `e^{j omega t}``] = {rmboldV}_i over {~s-j omega}`]

[eqn: THEREFORE ~{rmboldV}_o (s) {{=rmboldH}(s) rmboldV}_i (s) = {{{rmboldH}(s) rmbold V}_i} over {~s-j omega}`]

□선형회로는 오직 고정된 [eqn: RLC`] 소자와 전원만을 포함하므로,

[eqn: {rmboldH}(s)]는 유리함수.

[eqn: {rmboldH}(s)= {{rmboldN}(s)} over {{rmboldD}(s)} = {{rmboldN}(s)} over {(s-p_1 )^r_1 `(s-p_2 )^r_2 ~cdots~ (s-p_n )^r_n}`]

[eqn: THEREFORE ~{rmboldV}_o (s) &={{{rmboldN}(s) rmboldV}_i} over {(s-p_1 )^r_1 ~cdots~ (s-p_n )^r_n `(s-j omega)} ##&=left[A over {(s-p_1 )^r_1} + B over {(s-p_1 )^{r_1 -1}} + ~cdots~ + Q over {s-p_n} right] + {rmbold R} over {s-j omega}`]

여기서,

[eqn: {rmboldR} &={(s-j omega) cdot rmboldV}_o (s) bigg|_{s=j omega}` ##&=(s-j omega) cdot {{{rmboldN}(s) rmboldV}_i} over {(s-p_1 )^r_1 ~cdots~ (s-p_n )^r_n `(s-j omega)} bigg|_{s=j omega}` ##&= {{{rmboldN}(s) rmboldV}_i} over {(s-p_1 )^r_1 ~cdots~ (s-p_n `)^r_n} `bigg|_{s=j omega}` =under{{{rmboldH}(j omega) rmboldV}_i`~}]

[eqn: HOOKRIGHT] ([eqn: {rmboldH}(j omega)] : 주파수 응답(frequency response) )

□정상상태에서, [eqn: v_o (t)]는 오직 마지막 항(강제응답)만을 포함.

[eqn: {rmboldV}_o (s) &=left[A over {(s-p_1 )^r_1} + B over {(s-p_1 )^{r_1 -1}} + ~cdots~ + Q over {s-p_n} right] + {rmbold R} over {s-j omega}` ###&=left[A over {(s-p_1 )^r_1} + B over {(s-p_1 )^{r_1 -1}} + ~cdots~ + Q over {s-p_n} right] + {{{rmbold H}(j omega) rmboldV}_i``} over {s-j omega}`]

[eqn: THEREFORE ~~v_o (t) &=□^-1 {[rmboldV}_o (s)] ##&= under{□^-1 `left[A over {(s-p_1 )^r_1} + ~cdots~ + Q over {s-p_n} right]~} + □^-1 `left[{{{rmbold H}(j omega) rmboldV}_i``} over {s-j omega} right] ###&=□^-1 `left[{{{rmbold H}(j omega) rmboldV}_i``} over {s-j omega} right] {={rmboldH}(j omega) rmboldV}_i `e^{j omega t}`]

□정의에 의해, 페이저[eqn: {rmboldV}_o`]는

[eqn: {rmboldV}_o {= {rmboldH}(j omega)rmboldV}_i`]

[eqn: HOOKRIGHT][eqn: {rmboldH}(j omega)] : "주파수 응답 함수(frequency response function)"

안정한 회로의 출력 페이저는 입력 페이저와 주파수응답함수[eqn: {rmboldH}(j omega)]의 곱이다.

예제 14.1) 다음과 같은 전달함수를 갖는 회로에서, [eqn: v_i (t)=12 cos(2t-rm30^o )]에 대한 정상상태출력 [eqn: v_o (t)]를 구하라.

[eqn: {rmboldH}(s) = 2s over {s^2 +4s+1}`]

<해>

□주파수응답 방정식 : [eqn: under{{rmboldV}_i =12 rm angle -30^o `}] 이고 [eqn: omega=2`] 이므로,

[eqn: {rmboldV}_o &{={rmboldH}(j``2) rmboldV}_i = {2(j``2)} over {(j``2)^2 +4(j``2)+1}(12 rm angle -30^o ) ##&```= 5.62 rm angle -50.6^o`]

[eqn: THEREFORE ~~under{v_o (t)=5.62 cos (2t-rm 50.6^o )}]

예제 14.2) 다음 그림 14.1의 회로에서 [eqn: v_s (t)=6 cos t ``rm[V]] ([eqn: omega=1`])에 대한 강제응답 [eqn: i(t)]를 구하라.[eqn: {rm(boldV}_s =6 rm angle 0^o`)]

<해>

□전달함수[eqn: {rmboldH}(s)]

- s-영역 회로와 [eqn: v(t)]로 표시된 마디에서의 마디방정식 :

[eqn: {1 over {4s+4} rmboldV}(s) {+ 1 over {1 + 1 over s} rmboldV}(s) + 1 over 4 {[rmboldV}(s) {-rmboldV}_s (s)`]=0`]

[eqn: THEREFORE ~{rmboldV}(s) ``=`` {s+1} over {5s+2} {rmboldV}_s (s)]

□구하고자 하는 출력[eqn: {rmboldI}(s)]와 전달함수

[eqn: {rmboldI}(s) &={{rmboldV}(s)} over {1+ 1 over s} = {s over {s+1} rmbold V}(s)= s over {s+1} `cdot` s+1 over {5s+2} {rmboldV}_s (s) ##&= s over 5s+2 {rmboldV}_s (s)]

[eqn: THEREFORE ~under{{rmboldH}(s)={{rmboldI}(s)} over {{rmboldV}_s (s)}= s over {5s+2}`}]

□주파수 응답 함수와 구하고자 하는 정상상태 전류

[eqn: {rmboldI} &{={rmboldH}(j`1) rmboldV}_s = {j`1} over {5(j`1)+2} `6 rm angle 0^o` ##&~= (0.186 rm angle 21.8^o )(6 rm angle 0^o ) = under{1.12 rm angle 21.8^o} ~rm[A]]

[eqn: THEREFORE ~~under{i(t)=1.12cos(t+ rm 21.8^o )}~rm[A]]

* 주파수응답함수로부터 페이저으 크기(magnitude)와 위상각(phase angle)

[eqn: {|rmboldV}_o |= {|rmboldH}(j omega) |{|rmboldV}_i ``|]

[eqn: HOOKRIGHT] [eqn: {|rmboldH}(j omega)|= {{|rmboldV}_o |} over {{|rmboldV}_i ``|}] : 회로의 □이득(gain)□

[eqn: {angle rmboldV}_o {=angle rmboldH}(j omega) {+ angle rmboldV}_i`]

[eqn: HOOKRIGHT][eqn: {angle rmboldH}(j omega) = {angle rmboldV}_o {- angle rmboldV}_i`]: □위상변이(phase shift)□: 입-출력 위상차

이득과 위상변이값이 주어지거나 또는 주파수응답함수[eqn: {rmboldH}(j omega)]가 주어지면, 회로가 입력에 대하여 어떤 주파수에서 어떻게 응답하는가를 완전하게 알 수 있다. 이것이[eqn: {rmboldH}(j omega)]를 주파수응답함수라 하는 이유이다.

예제 14.3) 다음 그림 14.2의 회로에 대한 이득과 위상변이에 대한 선도를 그려라. 입력 [eqn: v_s (t)]에 대한 출력은 [eqn: v(t)]이다.

<해>

□s-영역 회로와 전달함수

[eqn: {rmboldV}(s) ``=`{1/(sC`)} over {R+[1/(sC`)]} {rmboldV}_s (s) ``=`{1/ (RC`)} over {s+[1/(RC`)]} {rmboldV}_s (s)]

[eqn: THEREFORE ~{rmboldH}(s)= {{rmboldV}(s)} over {{rmboldV}_s (s)} ={1/(RC`)} over {s+1/(RC`)}]

□주파수응답 : 크기(이득)응답과 위상(변이)응답 : 그림 14.3 ;

[eqn: cases{{|rmboldH}(j omega)`| ={|`1/(RC`)|} over {|`j omega +[1/RC`)]`|} = {1/ (RC`)} over root{omega^2 +[1/(RC`)]^2}` ## {angle rmboldH}(j omega) = -tan^-1 `(omega RC`)}]

14.2 데시벨 눈금

* 선형눈금에서, [eqn: omega=1/RC`]에서의 이득값보다 10% 큰 이득을 갖는 주파수와, [eqn: omega=100/RC`]에서의 이득값보다 10% 큰 이득을 갖는 또 다른 주파수 [eqn: omega`]를 동시에 나타내기는 어렵다.

* 대수눈금(logarithmic scale) : 동일 비율 [eqn: ->] 동일 변위

□대수눈금 상에서의 두 수의 차 :

- [eqn: Y=log_10 `X`] 이면,

[eqn: Y_2 -Y_1 =log_10`X_2 -log_10`X_1 =log_10` X_2 over X_1 = log_10` R`]

- [eqn: cases{X_1 =10^10 ,~X_2 =10^11` ## X_1 =10^-4 ,~X_2 =10^-3`}] [eqn: RARROW] [eqn: under{R= X_2 over X_1 =10`}] [eqn: RARROW] [eqn: under{log_10` R=log 10 =1`}]

* 데시벨 눈금(Decibel scale)

[eqn: R{rm (dB)}=20log_10 ``R`]

□두 전력 [eqn: P_1`]과 [eqn: P_2`]의 비의 척도

(Alexander Graham Bell : 1847-1922)

전력 비 [벨 :  bel][eqn: =log_10 P_2 over P_1`]

- Bell은 이 눈금이 너무 크다고 생각하여 윗 식에 10을 곱한 데시벨눈금      을 만듦.

예) : 전력 비 [bel][eqn: =log P_2 over P_1 = log {4`rmW} over {4`rm mW}`=3`]

[eqn: THEREFORE]  전력 비 [dB][eqn: =10log_10 P_2 over P_1`]

□두 주파수에서 동일 입력에 의한 출력의 크기 [eqn: A_2`]와 [eqn: A_1`]의 비.

: [eqn: {rmboldV}_o {=rmboldV}_i {cdot rmboldH}(s)]

[eqn: cases{At~omega=omega_1 ,{rm|boldV}_o1 | =A_1 {=rm|boldV}_i | {rm|boldH}(j omega_1 )| ## At~omega=omega_2 ,{rm|boldV}_o2 | =A_2 {=rm|boldV}_i | {rm|boldH}(j omega_2 )|}]

[eqn: THEREFORE ~~A_2 over A_1 = {{|rmboldV}_i |{|rmboldH}(j omega_2 )`|} over {{|rm boldV}_i | {|rmboldH}(j omega_1 )`|} = {{|rmboldH}(j omega_2 )`|} over {{|rmboldH}(j omega_1 )`|}]

- 전력 :

:  [eqn: cases{P_1 = {{rm|boldV}_o1 |^2} over R = {{rm|boldV}_i |^2 {rm|boldH}(j omega_1 `)|^2} over R` ## P_2 = {{rm|boldV}_o2 |^2} over R = {{rm|boldV}_i |^2 {rm|boldH}(j omega_2 `)|^2} over R`}]

[eqn: THEREFORE ~~P_2 over P_1 = {{|rmboldH}(j omega_2 )`|^2} over {{|rmboldH}(j omega_1 )`|^2}`]

[eqn: THEREFORE ~~]이득 (dB)[eqn: =10log_10 {{|rmboldH}(j omega_2 )`|^2} over {{|rmboldH}(j omega_1 )`|^2}`]

□따라서,

gain (dB)[eqn: =20 log_10 {{|rmboldH}(j omega_2 )`|} over {{|rmboldH}(j omega_1)`|}]

예제 14.4) 앞의 예제 14.3의 그림 14.2의 회로에 대한 이득[eqn: {|rmboldH}(j omega)`|]를 데            시벨 눈금으로 그려라.

[eqn: ->]

[eqn: {|rmboldH}(j omega)`| ={|`1/(RC`)|} over {|`j omega +[1/RC`)]`|} = {1/ (RC`)} over root{omega^2 +[1/(RC`)]^2}`]

<해>

□데시벨 눈금 :

[eqn: {|rmboldH}(j omega)`| {rm(dB)} &= 20log_10 `1 over RC -20 log_10 `root{omega^2 + left(1 over RC right)^2}` ##&= 20log_10 `1 over RC - 10 log_10 ``left[omega^2 + left(1 over RC right)^2 `right]]

□이득의 그래프 :

1) [eqn: omega=0`] :[eqn: {rm|boldH}(j omega)|``rm(dB)= it 20 log_10 1 over RC - 10 log_10 left( 1 over RC right)^2 =0~rm dB`]

2) [eqn: omega= 1 over RC`] :

[eqn: {rm|boldH}(j omega)|``rm(dB) &= it 20 log_10 1 over RC - 10 log_10 `left[ left( 1 over RC right)^2 + left( 1 over RC right)^2 `right] ##& =20 log_10 1 over RC - 10 log_10 `left[ 2 cdot left( 1 over RC right)^2 `right] ##&=-10 log_10 `2 = under{-3``rm dB`}]

3) [eqn: omega= 100 over RC`] :

[eqn: {rm|boldH}(j omega)|``rm(dB) &= it 20 log_10 1 over RC - 10 log_10 `left[ left( 100 over RC right)^2 + left( 1 over RC right)^2 `right] ##& =20 log_10 1 over RC - 10 log_10 `left[ 10001 cdot left( 1 over RC right)^2 `right] ##&=-10 log_10 `10001 ``Image`` under{-40``rm dB`}]

4) [eqn: omega= {100 root2} over RC`] :

[eqn: {rm|boldH}(j omega)|``rm(dB) &= it 20 log_10 1 over RC - 10 log_10 `left[ left( {100 root2} over RC right)^2 + left( 1 over RC right)^2 `right] ##& =20 log_10 1 over RC - 10 log_10 `left[ 20001 cdot left( 1 over RC right)^2 `right] ##&=-10 log_10 `20001 image -10 log_10 (2 times 10000 ) ##&=-10 log_10 `2 - 10 log_10 10^4 = under{-43``rm dB`}]

그림 14.4 ;

□이득 곡선에서의 3-dB 차

[eqn: cases{omega=0 ~~<->~~omega=1/RC` ## omega=100/RC ~~<->~~omega=100 root2 /RC`}]

□데시벨 값을 기억해 둘 필요가 있는 몇 개의 [eqn: R`].

[eqn: cases{R=1~~:~R`rm(dB)=1`rm(dB)=20 log_10 ``1=0`rmdB` ## R=10~:~R`rm(dB)=10`rm(dB)=20 log_10 `10=+20 `rm dB}`]

□두 수의 곱을 데시벨로 변환한 값은 각 데시벨의 합과 같다.

[eqn: RS{rm(dB)}=20log_10 `(RS`)=20 `log_10 `R + 20 `log_10 `S`]

[eqn: RS{rm(dB)} =R{rm(dB)} + S{rm(dB)}]

□두 수의 비를 데시벨로 변환한 값은 각 데시벨의 차와 같다.

[eqn: R over S {rm(dB)}=20 `log_10 `R-20 `log_10 `S=R {rm(dB)}-S{rm(dB)}]

□기억해 둘 필요가 있는 몇 개의 [eqn: R`].

[eqn: cases{2{rm(dB)}=20`log_10 ``2= 20 times 0.301 =6.02 {rm dB} CONG 6 {rm dB} ## root2 {rm(dB)}=20 log_10 `root2 = 10 `log_10 `2=3.01{rm dB} CONG 3 {rm dB}`}]

2를 곱하는 것은 6 dB를 더해줘야 하고, 2로 나누는 것은 6 dB를 빼줘야 한다. [eqn: root2`]를 곱하는 것은 3 dB를 더해줘야 하고, [eqn: root2`]로 나누는 것은  3 dB를 빼줘야 한다..

예제 14.5) 수 84.4를 데시벨로 변환하면 [eqn: 20 log_10 `84.4=38.5 `{rm dB}`]이다. 다음 수 들을 데시벨로 나타내어라.

<해>

[eqn: 844{rm (dB)} &=& 20 log_10 (84.4 times 10)=20 log_10 `84.4 + 20 log_10 10 ##&=& 38.5 rm dB +20 rm dB =58.5 rm dB ## 844,000{rm (dB)} &=& 38.5 rm dB +4(20 rm dB)=118.5 rm dB ## 8.44 {rm (dB)} &=& 38.5 rm dB -20 rm dB=18.5 rm dB ## 8.44 times 10^-10 {rm (dB)} &=& 38.5 rm dB -11(20 rm dB)=-181.5 rm dB ## 16.88 {rm (dB)} &=& 38.5 rm dB -20 rm dB +6 rm dB=24.5 rm dB ## 4.22{rm (dB)} &=& 38.5 rm dB -20 rm dB-6 rm dB=12.5 rm dB`]

14.3 보드이득(크기)선도

* 선형눈금이든 데시벨눈금이든 주파수에 대한 이득선도를 정확하게 그리는 것은 다소 지루한 일이다.

예)

[eqn: cases{{|rmboldH}(j omega)`| = {|1/(RC)|} over {|j omega+[1/(RC)]`|} = {1/(RC)} over {root{omega^2 +[1/(RC)]^2}}` ## {|rmboldH}(j omega)`|{rm(dB)} =20 log_10 1 over RC - 20 log_10 root{omega^2 + left( 1 over RC right)^2}` ##~~~~~~~~~~~~~~=20 log_10 1 over RC - 10 log_10 `left[omega^2 + left( 1 over RC right)^2 `right]}]

* 독일 태생 엔지니어 Hendrick Bode (1905-1982)는 이득과 위상변이선도를 간단하면서도 정확하게 그리는 방법을 고안 :

"보드이득선도(Bode gain plot)와 보드위상선도(Bode phase plot)"

* 전달함수의 인수분해된 형식

[eqn: {rmboldH}(s)={K`(s-z_1 )^q_1 cdots (s-z_m )^q_m} over {(s-p_1 )^r_1 cdots (s-p_n )^r_n}`]

□켤레쌍 인수들의 재결합

[eqn: (s-p)(s-p^* )=under{s^2 +as+b`}] (표준형)

- 각각의 2차식 인자에 대해, 두 개의 파라미터 정의.

[eqn: omega_n = root b`]

[eqn: zeta = a over {2omega_n}`]

- 그러면, 2차식 인자는 다음과 같이 나타내어 진다.

[eqn: s^2 +as+b=s^2 +[2 zeta omega_n ]s+omega_n^2`]

여기서

[eqn: cases{omega_n ~:~natural ~frequency` ## zeta ``~~:~damping~factor}]

예제 14.6) 전달함수[eqn: {rmboldH}(s)=(2s+6)/(s^3 +2s^2 +2s)]를 표준형으로 바꿔라.

<해>

□전달함수를 인수분해,

[eqn: {|rmboldH}(s)| = {2(s+3)} over {s(s+1+j`)`(s+1-j`)}`]

□켤레쌍 항들을 결합하여 표준형으로 나타내면,

[eqn: under{{rmboldH}(s)= {2(s+3)} over {s`(s^2 +2s+2)}`}]

[eqn: HOOKRIGHT] [eqn: cases{under{K=2`},~under{"a zero at"~s=-3`}, ~under{"a pole at"~s=0`} ## omega_n=root2 ~~ and~~zeta= root2 /2`}]

[eqn: UDARROW]

[eqn: {rmboldH}(s)= {K`(s+3)} over {s(s^2 +2 zeta omega_n s +omega_n^2 `)}]

* 곱셈 형식의 비

[eqn: {rmboldH}(s)={K``N_1 (s) ~cdots~ N_ mu (s)} over {D_1 (s) ~cdots~ D_ eta (s)}]

여기서 [eqn: N_i `(s)]와 [eqn: D_i `(s)] : 실수근인자 [eqn: (s+a)^r`]

또는 복소근쌍인자[eqn: (s^2 +2 zeta omega_n s +omega_n^2 `)^r`]

□[eqn: s`]를 [eqn: j omega`]로 대치하고 크기를 취하면,

[eqn: {|rmboldH}(j omega)`|={|K`|`|N_1 (j omega)| cdots |N_ mu (j omega)|} over {|D_1 (j omega)| cdots |D_ eta (j omega)|}]

- 따라서, 곱의 데시벨 값은 각 데시벨 값들의 합.

[eqn: {|rmboldH}(j omega)`| {rm(dB)}=|K`| {rm(dB)} + sum_i=1^mu "{" |N_i `(j omega)`| {rm(dB)} "}"- sum_i=1^eta "{" |D_i `(j omega) `| {rm(dB)}"}"]

* 이득[eqn: {|rmboldH}(j omega)`|]의 plot

1) [eqn: |K`|{rm(dB)}] : [eqn: 20 log_10 `|K`|=] 평평한 직선

2) 실근을 갖는[eqn: {|rmboldN}_i (j omega)`|] 또는[eqn: {|rmboldD}_i (j omega)`|]

① 중복도(multiplicity)가 [eqn: r`]인, 영이 아닌 실근을 갖는[eqn: {|rmboldN}_i (j omega)`|]

[eqn: {rmboldN}_i (s)=(s+a)^r`]

[eqn: THEREFORE ~{|rmboldN}_i `(j omega)`| {rm(dB)} &=20 log_10 {|rmboldN}_i (j omega)`|=20 log_10 `|j omega+a `|^r` ##&= 20 `r` log_10 `|j omega+a `|]

i) [eqn: omega`<<a`] : [eqn: omega`]에 독립적인 [eqn: 20 `r` log_10 `|a`|] 레벨에서 평평한 직선

[eqn: {|rmbold N}_i (j omega) right |{rm (dB)} CONG under{20`r`log_10 `|a`|}]

ii) [eqn: omega`> >a`] : decade 당 [eqn: 20 r ```rmdB`]의 이득변화를 갖는

기울기 [eqn: m`]인 직선 [eqn: y=mx`].

[eqn: {|rmbold N}_i (j omega) right |{rm (dB)} CONG under{20`r`log_10 `|j omega`| =`20`r`log_10 `omega`}]

그림 14.5 ;

- [eqn: omega`<<a`]와 [eqn: omega`> >a`]에 대한 두 개의 직선은 [eqn: omega=|a`|]에서 만난다.

([eqn: omega=|a`|] : 차단주파수(break frequency) )

[eqn: HOOKRIGHT] 근사이득보드선도(uncorrected Bode gain plot) :

차단주파수 [eqn: omega=|a`|]에서 만나는 한 쌍의 직선.

□실제이득보드선도(corrected Bode gain plot) :

[eqn: {|rmboldN}_i (j omega)`|}]의 값을 구해 계산.

At [eqn: omega=a`],

[eqn: 20 `r` log_10 ``|j omega+a`| `right|_omega=a &= 20`r`log_10 root{omega^2 +a^2} right|_omega=a =20`r`log_10 root{2a^2}` ##&=10 `r` log_10 (2a^2 `) =10 r `log_10 `2 +20 `r` log_10 `|a| ##&= under{20 `r` log_10 `|a| +3 `r}~ rmdB`]

- 차단주파수로부터 멀어질수록 두 선도는 매끄럽게 하나로 합쳐진다.

② 중복도(multiplicity) [eqn: r`]인, 영이 아닌 실근을 갖는[eqn: {|rmboldD}_i (j omega)`|]

[eqn: {rmboldD}_i (s)=(s+a)^r`]

- 초기값은 [eqn: -|a`|{rm(dB)}]이고,

차단주파수 이후의 기울기는 [eqn: -20r ``rm"dB/dec."]이다.

③ 중복도(multiplicity)가 [eqn: r`]인, 영의 실근을 갖는[eqn: {|rmboldN}_i (j omega)`|]

[eqn: {rmboldN}_i (s)=s^r`]

[eqn: under{{|rmbold N}_i (j omega) right |{rm (dB)} CONG `20`r`log_10 `omega`}]

그림 14.6 ;

예제 14.7) 다음 전달함수에 대한 근사이득보드선도와 실제이득보드선도를              그려라.

[eqn: {rmboldH}(s)= `- {5s+10} over {s^2 +20s}`]

<해>

□표준형으로 다시 쓰면,

[eqn: {rmboldH}(s)={(-5)(s+2)} over {s(s+20)}]

[eqn: HOOKRIGHT] [eqn: s=-2`]에서 영점, [eqn: s=-20`]와 [eqn: s=0`]에서 극점.

□성분별 선도

i) [eqn: (-5)] 인자 : [eqn: -5 {rm(dB)}=20 log_10 ``|-5`| =+14 ``rmdB`]

ii) [eqn: (s+2)] 인자 :

[eqn: cases{omega`<<`2~:~20 log_10 ``|j omega +2|=20 log_10 ``|2|=+6 ``rmdB` ## omega`> >2 ~:~20 log_10 ``|j omega +2|=20 log_10 ``omega =20 ``rm dB/dec` ## omega=2 ``~:~break ~frequency}]

iii) [eqn: 1 over s`] 인자 : [eqn: 20 log_10 ``left| 1 over {j omega} right| =-20 log_10 ``omega`=-20 ``rm dB/dec`]

iv) [eqn: 1 over s+20 `] 인자 : [eqn: 20 log_10 ``left| 1 over {j omega +20} right| =-20 log_10 ``|j omega +20|]

[eqn: cases{omega`<<`20~:~-20 log_10 ``|20|=-26 ``rmdB` ## omega`> >20 ~:~ -20 log_10 ``omega =-20 ``rm dB/dec` ## omega=20 ``~:~break ~frequency}]

그림 14.7 ;

□[eqn: omega_2`]와 [eqn: omega_1`] 사이의 decade의 수 정의

[eqn: D=log_10 ``omega_2 /omega_1`]

예) [eqn: cases{under{omega_2 =100`,omega_1 =10} `~:~ D= log_10 ``100 over 10 =log_10 `10 =under{1``rm dec}` ## under{omega_2 =2`,omega_1 =1}`~:~ D=log_10 ``2 over1 =under{0.3 ``rm dec}`}]

□근사이득보드선도

a) [eqn: omega=1`] :

[eqn: {|rmboldH}(j 1)`| {rm(dB)}=14+6+0-26=under{-6``rm dB`}]

b) [eqn: omega=2`] :

[eqn: {|rmboldH}(j `2)`| {rm(dB)} &={rm|boldH}(j `1)`|rm(dB)+(-20{rm dB/dec}) `(0.3 dec) ##&=-6-20(0.3) =under{-12 ``rm dB`}]

c) [eqn: omega=20`] :

[eqn: D=log_10 20 over 2 = log_10 `10=1``rm dec`] 이므로,

[eqn: {|rmboldH}(j `20)`| {rm(dB)} &={rm|boldH}(j `2)`|rm(dB)+(20{rm dB/dec}) `(1 ``dec)##& ~~+rm (-20 ``dB/dec)(1 ``dec) ##&= under{-12 ``rm dB`}]

□보드이득선도

실제이득보드선도는 각 차단주파수에서 무릎(꺽인 점) 안쪽으로 [eqn: 3{rm dB}`]의 차이를 갖는다.

3) 복소근 쌍을 갖는[eqn: {|rmboldN}_i (j omega)`|] 또는[eqn: {|rmboldD}_i (j omega)`|]

[eqn: {rmboldN}_i (s) = (s^2 + as +b)^r = (s^2 +2 zeta omega_n `s +omega_n^2 `)^r`]

[eqn: THEREFORE ~under{{rm|boldN}_i (j omega)| {rm(dB)} =20`r`log_10 ``bigg |[omega_n^2 -omega^2 ]+j`[2 zeta omega_n `omega] bigg|}]

[eqn: THEREFORE ~~{rm|boldN}_i (j omega)|{rm(dB)} CONG cases{20 `r` log_10 ``omega_n^2 =under{constant}, ~~~~~~~~omega` <<omega_n ` ## 20`r`log_10 ``omega^2 = under{40`r`log_10 ``omega} ``{rmdB}, ~~omega`> >omega_n `}]

[eqn: HOOKRIGHT] ([eqn: omega_n`] : 차단주파수)

□이 항에 대한 근사보드선도는 제동인자 [eqn: zeta`]에 독립적이지만, 실제선도를 구하기 위해 수정을 할 때는 그 제동인자의 영향을 크게 받는다.

□차단주파수 [eqn: omega_n`]에서  얼마나 수정을 해야 하는가를 알려면, 다음과 같은 [eqn: omega=omega_n`]에서의 정확한 이득 표현식에서 계산하여야 한다.

[eqn: {rm|boldN}_i (j omega)|{rm(dB)} &=20`r`log_10 ``bigg |[omega_n^2 -omega^2 ]+j`[2 zeta omega_n `omega] bigg| bigg|_omega=omega_n` ##&=20 `r` log_10 ``|j ``2 zeta `omega_n^2 `|=20`r`log_10 ``2 `|zeta`| `omega_n^2` ##&= under{20 `r` log_10 ``2`|zeta`|} + 20 `r` log_10 ``omega_n^2`]

[eqn: HOOKRIGHT] [eqn: cases{|zeta`| `>` 1 over 2 ~:~{rm"upward correction (inside the knee)"}` ## |zeta`| = 1 over 2 ~:~{rm"no correction"}` ## |zeta`|`<` 1 over 2 ~:~{rm"downward correction (outside the knee)"}`}]

[eqn: omega=omega_n`]에서 어떤 복소근쌍 그래프를 수정하는 것은 근사보드선도의 무릎 안쪽으로 기준방향을 갖는, [eqn: 2`|zeta`|]의 데시벨 값에 [eqn: r`]을 곱한 것과 같다.

그림 14.9 ;

예제 14.8) 다음 전달함수에 대한 근사이득보드선도와 실제이득보드선도를              그려라.

[eqn: {rmboldH}(s)= 1 over {left(s`^2 + 3 over 2 s+900 right)^3}`]

<해>

□분모의 괄호 속 2차식은 복소근쌍 항이다.

[eqn: cases{omega_n^2 =900 ~~~->~~under{omega_n =30`} ~:~"break frequency"` ## 2 zeta omega_n = 3 over 2 ~~->~~under{zeta= 3 over 2 cdot 1 over {2 times 30} = 1 over 40}}`]

□따라서,

[eqn: under{{rm|boldH}(j omega)| = |(omega_n^2 -omega^2 `) + j`(2 zeta omega_n `omega)|^-3`}]

1) 근사선도 : 차단주파수 이후,

⑴ [eqn: omega`> >`omega_n`]:

[eqn: {rm|boldH}(j omega)|{rm(dB)} & cong`` 20`r``log_10 ``omega^2`=20 (-3) log_10 ``omega^2` ##&=-120 log_10 ``omega = under{-120 {rm dB/dec}`}]

⑵ [eqn: omega `<<`omega_n`]:

[eqn: {rm|boldH}(j omega)|{rm(dB)} & cong`` 20`r` log_10 ``omega_n^2` =20 (-3) log_10 ``omega_n^2` ##&=-120 log_10 ``omega_n = under{-177 `rm dB`}]

2) 실제선도 : [eqn: omega=omega_n`] 에서,

[eqn: {rm|boldH}(j omega)|{rm(dB)} & cong`` under{20`r` log_10 ``2|zeta`|} + 20`r` log_10 ``omega_n^2` ##&= 20 (-3) log_10 `` left(2 cdot 1 over 40 right) + 20(-3) log_10 ``30^2` ##&= under{-99 {rm dB}`}]

그림 14.10 ;

예제 14.9) 다음 전달함수를 갖는 회로에 대한 보드이득선도를 구하라.

[eqn: {rmboldH}(s)={200(s^2 +2s+16)} over {(s+50)(s+2500)}]

<해>

□근사선도 : [eqn: omega`> >`omega_n`]

1) [eqn: K=200`] : [eqn: 200{rm(dB)}=20 log_10 ``(200)=+46{rm dB}`]

2) [eqn: (s`^2 +2s+16)] 인자 : [eqn: (s`^2 + 2 zeta omega_n `s + omega_n^2 `)]

[eqn: cases{omega_n^2 =16 ~~->~~ omega_n =4` ## 2 zeta omega_n =2 ~~->~~zeta= 1 over 4`}]

[eqn: THEREFORE ~{rm|boldN}(j omega)| cong cases{20 `r` log_10 ``omega_n^2 = 20 log_10 `` 16 = 80 log_10 ``2=24{rm dB},~~omega`<<`4` ## 20 `r` log_10 ``omega^2 =40{rm dB/dec}`,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~omega`> >`4`}]

3) [eqn: 1 over {s+50}`] 인자 :[eqn: {rm|boldD}_1 (j omega)|=20 `log_10 ``|(j omega + 50)^-1 `|]

[eqn: 20 `r` log_10 ``|j omega + 50| ``cong cases{20 (-1) log_10 ``50 =-34{rm dB}, ~~~~~omega`<<`50` ## 20(-1) log_10 ``omega`=-20 {rm dB/dec},~~omega`> >`50`}]

4) [eqn: 1 over {s+2500}`] 인자 :[eqn: {rm|boldD}_2 (j omega)|=20 `log_10 ``|(j omega + 2500)^-1 `|]

[eqn: 20 `r` log_10 ``|j omega + 2500| ``cong cases{20(-1) `log_10 ``2500 =-68{rm dB},~~~omega`<<`2500` ## 20(-1) log_10 ``omega`=-20 {rm dB/dec}, ~~omega`> >`2500`}]

그림 14.11 : 성분별 선도 ;

그림 14.12 : 보드이득선도 ;

14.4 공진

* 공진회로의 이득은 공진주파수에서 예리한 최대값 또는 최소값을 갖는다. 반면, 공진주파수 부근의 좁은 주파수 대역을 벗어난 다른 주파수에서의 이득은 훨씬 낮다.

* 직렬 [eqn: RLC`] 회로 (공진회로) : 그림 14.13(a) ;

□전달함수를 다음과 같이 정의 :

[eqn: {rmboldH}(s) &{=rmboldY}(s) = {{rmboldI}(s)} over {{rmboldV}(s)} = 1 over {sL+R+(1/sC`)} ##& `= (1/L)s over {s^2 +(R/L)s +(1/LC`)}~:~rm"standard form"`]

* 보드이득선도 : 상수항 ([eqn: 1/L`]) + 원점에서 실수 영점

+ 복소근 또는 실근을 갖는 2차식 항

□2차식 항의 근은 다음의 경우 복소수(미흡제동(underdamped)인 경우)일

것이다.

[eqn: left(R over L right)^2 - 4 over LC `<` 0`]  [eqn: ->]  [eqn: R over 2 root{C over L}`<`1`]

□식(14.30)으로부터,

[eqn: {rmboldH}(s)={{rmboldN}(s)} over {s^2 + 2 zeta omega_n s + omega_n^2}`] [eqn: ->]  [eqn: THEREFORE ~~cases{omega_n =root{ 1 over LC}` ## zeta= R over 2 root{C over L}`}]

□결과적인 보드이득선도 : 그림 14.13(b) ;

[eqn: {rm|boldY}(j omega)| = left|1 over {R+j `left( omegaL- 1 over omegaC right)} bigg| = 1 over root{R^2 + left(omegaL- 1 over omegaC right)^2}]

- 공진피크는 [eqn: omega_n`]에서 나타나며, [eqn: omega_n`]에서의 실제이득은 [eqn: 1/R`]이다. [eqn: omega_n`]에서 멀리 떨어진 곳에서는 이득이 20 dB/dec로 떨어진다.

- 복소극점을 갖기위한 요구사항은 감쇠비가 [eqn: zeta`<`1`]이 되어야 한다는 것이다. 공진주파수 [eqn: omega_r`]은 이득[eqn: {rm|boldH}(j omega)|]가 최대 또는 최소인 점을 통과하는 곳에서의 주파수로 정의.

□직렬 [eqn: RLC`] 회로의 임피던스,

[eqn: {rmboldZ}(j omega)=R+j omega L + 1 over {j omega C}=R+j left(omega L - 1 over {omega C} right)]

- [eqn: {rmboldZ}(j omega)]는 [eqn: omega=omega_n =root{1/LC}`]에서 최소 (어드미턴스는 최대)이다.

([eqn: BECAUSE ~~omega L-1/omega C=0`])

- 따라서 공진주파수는

[eqn: omega_r = omega_n =root{1/LC}`]

* 공진회로의 대역폭(bandwidth) [eqn: B`] : 주파수 선택도의 척도.

[eqn: B= omega_u - omega_l`]

여기서 [eqn: omega_u`]와 [eqn: omega_l`]은 이득이 [eqn: omega_r`]에서의 값 보다 3 dB 낮은 곳에서의 주파수

[eqn: cases{omega_u ~:~rm"upper half-power frequency"` ## omega_l ~:~rm"lower half-power frequency"}`]

□정현파의 진폭이 3 dB 또는 [eqn: 1/root2`]로 감소되면, 전력은 진폭비의 제곱인[eqn: 1/2`]로 감소.

[eqn: {|rmbold Y}(j omega) `| = 1 over root2 1 over R`]

□소자값에 관련한 대역폭(bandwidth)

[eqn: B = R over L`]

<증명>

□반전력주파수에서의 어드미턴스,

[eqn: {rm|boldY}(j omega)|= 1 over {{rm|boldZ}(j omega)|}} = 1 over root{R^2 + left(omega L - 1 over {omega`C} right)^2}= 1 over root2 1 over R`]

[eqn: 2R^2 =R^2 + left(omega L - 1 over {omega`C} right)^2`] [eqn: ->] [eqn: R^2 = left( {omega^2 - 1 over {L`C}} over {omega over L} right)^2`]

[eqn: left(omega^2 - 1 over {L`C} right)^2 = left( {omegaR} over L right)^2`] [eqn: ->] [eqn: omega^2 - 1 over {L`C} =+- omegaR over L`]

[eqn: omega^2 -+ R over L omega - 1 over {L`C} =0`]

□반전력주파수 ([eqn: omega_u`], [eqn: omega_l`])와 대역폭 ([eqn: B`])

[eqn: THEREFORE~~omega_1,2 &=+- R over 2L +- root{left( R over 2L right)^2 + 1 over {L`C}}` ##&=cases{R over 2L + root{left( R over 2L right)^2 + 1 over {L`C}}~~~:~rm"positive"it(omega_u`) ## - R over 2L + root{left( R over 2L right)^2 + 1 over {L`C}}~:~rm"positive"it (omega_l `) ## R over 2L - root{left( R over 2L right)^2 + 1 over {L`C}}~~~``:~rm"negative"` ## - R over 2L - root{left( R over 2L right)^2 + 1 over {L`C}}~``:~rm"negative"`}]

[eqn: THEREFORE ~~under{B=omega_u -omega_l `= R over L`}]

* 대역폭 [eqn: B`]는 공진피크의 첨예도(sharpness)에 대한 항상 좋은 척도는 아니다. 양호도(quality factor) [eqn: Q`]는 주파수 선택도에 대한 좋은 척도이다.

- 정의 : 공진주파수와 대역폭의 비 ;

[eqn: Q= omega_r over B = omega_r over {omega_u -omega_l}`]

- 양호도 [eqn: Q`]가 클수록, 회로의 주파수 선택도가 더 높다.

□대역폭 [eqn: B`]는 동일하지만, 양호도 [eqn: Q`]가 다른 두 이득 선도 : 그림 14.14 ;

□[eqn: omega_r = 1 over root{L`C}`] 및 [eqn: B= R over L`]이므로, 직렬 [eqn: RLC`] 회로에 대한 [eqn: Q`]는

[eqn: Q = 1 over R SQRT { L over C}`]

예제 14.10) [eqn: C= 1 ``rm muF`]에 대해 공진주파수가 1 kHz이고, 양호도가 [eqn: Q=100`]인 직렬 [eqn: RLC`] 회로를 설계하라.

<해>

□공진주파수에 관한 식으로부터,

[eqn: omega_r = 1 over root{L`C}`] [eqn: ->] [eqn: 2 pi times 10^3 = 1 over root{L times 10^-6}]

[eqn: THEREFORE ~~cases{L = 1 over (2pi)^2 = 25.3 times 10^-3 ``rmH` ## R = 1 over Q root{L over C}=10^-2 root{{25.3 times 10^-3} over 10^-6} = 1.59 ``Omega`}]

* 병렬 [eqn: RLC`] 회로 : 그림 14.15 ;

□입력 [eqn: i(t)]와 출력 [eqn: v(t)]에 대한 전달함수 :

[eqn: {rmboldH}(s) &= {{rmboldV}(s)} over {{rmboldI}(s)} {=rmboldZ}(s) = 1 over {sC+(1/R)+(1/sL)} ##&= {(1/C`)s} over {s^2 + (1/RC`)s +(1/LC`)}]

- 직렬회로인 경우의 전달함수[eqn: {rmboldH}(s)= {(1/L)s} over {s^2 +(R/L)s + (1/LC`)}]와 비교하면, 전달함수는 다음과 같이 치환하면 같아진다.

[eqn: L~->~C, ~~C~->~L, ~~R~->~1/R`]

표 14.1 직렬 및 병렬 [eqn: RLC`] 회로의 특성

특성	직렬 [eqn: RLC`]	병렬 [eqn: RLC`]
[eqn: omega_r`](resonant frequency)	[eqn: 1 over root{LC}`]	[eqn: 1 over root{LC}`]
[eqn: B`](bandwidth)	[eqn: R over L`]	[eqn: 1 over RC`]
[eqn: Q`](quality factor)	[eqn: 1 over R root{L over C}`]	[eqn: R root{C over L}`]

□보드이득선도 : 그림 14.15 (b) ;

[eqn: {rm|boldH}(j omega)|{=rm|boldZ}(j omega)|= left| 1 over {1 over R +j `left(omega C - 1 over {omega L} right)} right| = 1 over root{left(1 over R right)^2 + left( omega C- 1 over {omega L} right)^2}`]

예제 14.11) 다음 그림 14.16의 회로에서 입력 [eqn: i(t)]와 출력 [eqn: v(t)]에 대한 전달함수와 보드이득선도를 구하라.

<해>

□전달함수

[eqn: {rmboldZ}(s)={{rmboldV}(s)} over {{rmboldI}(s)} ={(10/s)(10s+1)} over {(10/s)+10s +1} = {10left(s+ 1 over 10 right)} over{s^2 + left( 1 over 10 right)s+1}]

□보드이득선도

-[eqn: {rmboldZ}(s)]는 상수인자 10, 실수영점 [eqn: s=-1/10`], 그리고

[eqn: under{omega_n =1}, ~under{2 zeta omega_n =1/10}~(under{zeta=1/20})]인 복소근쌍인자를 갖는다.

[eqn: {rmboldZ}(j omega) = {10 left(j omega+ 1 over 10 right)} over {(j omega)^2 + j omega `left(1 over 10 right) +1} = {10(1+j``10 omega)} over {10(1- omega^2 )+j omega}`]

[eqn: THEREFORE ~~{rm|boldZ}(j omega)|= 10 root{{1+10^2 omega^2} over {10^2 (1-omega^2 )^2 + omega^2}}]

그림 14.16(b) ;

- 보드선도는 회로가 [eqn: omega_n =1 `rm[rad/s]] 부근에서 공진함을 보여준다. 이는 최대이득의 정확한 위치 [eqn: omega_r`]은 아니다.

□공진주파수의 계산

① 최대이득주파수

[eqn: d over {d omega} {rm|boldZ}(j omega)| =0`]  [eqn: ->]  [eqn: under{omega_r = root{99} over 10 APPROX 1`}]

②[eqn: {rmboldZ}(j omega)]의 위상이 0 이 되는 주파수

[eqn: tan^-1{(10 omega)}=tan^-1 left( omega over {10(1- omega^2 )}right)]

[eqn: THEREFORE ~~10 omega = omega over {10(1- omega^2 `)}]  [eqn: ->]  [eqn: under{omega_r = root{99} over 10 APPROX 1`}]

14.5 Op Amp의 주파수응답

* op amp : 주파수에 독립적인 소자들, 즉 저항과 상수이득을 갖는 제어            (종속)전원들로 구성된 능동소자 : 그림 14.17 ;

[eqn: cases{{rmboldV}_out {=A rmboldV}_"in"` ## ``{rmboldH}(j omega)= {rmboldV}_out over {rmboldV}_"in" =A`}]

* 실제 op amp (주파수에 종속)

[eqn: cases{{rmboldV}_out {{=rmboldA}(j omega) rmboldV}_"in"` ## ``{rmboldH} (j omega)= {rmboldV}_out over {rmboldV}_"in" {=rmboldA}(j omega)`}]

□개방루프이득(open-loopgain)은 상수가 아니다. 따라서 주파수에 따라 개방루프이득이 실제로 감소하는 특성을 갖도록 수정.

[eqn: {rmboldH}(j omega) {=rmboldA}(j omega)= {A_0 omega_0} over {j omega +omega_0}`]

- DC 개방루프이득(DC open-loop gain) : [eqn: A_0 =10^5 sim 10^6`]

*[eqn: {rm|boldA}(j omega)|]의 보드선도 :

□단일 극점 [eqn: s=-omega_0`] [eqn: ->] [eqn: omega=omega_0`]([eqn: 5 sim 50 ``rm rad/s`] : [eqn: 0.8 sim`][eqn: 1.6``rmHz`])에서 한번

꺽여지며, 이후 [eqn: -20 rm[dB/dec]]의 기울기로 감소.

□단위이득대역폭(unity-gain bandwidth) ([eqn: omega_ug`]) : 이득의 크기가 1 ([eqn: 0 `rmdB`])로                  감소되는 곳의 주파수.

If [eqn: omega=omega_ug =A_0 omega_0`],

[eqn: {rm|boldA}(j omega)|_omega=omega_ug &={A_0 omega_0} over root{ omega^2 +omega_0^2} bigg|_omega=omega_ug = {A_0 omega_0} over root{A_0^2 omega_0^2 + omega_0^2} = A_0 over root{A_0^2 +1} ##&APPROX 1,~(0 ``rm[dB])]

그림 14.18 ;

□개방루프에서 op amp는 매우 큰 이득을 가질 수 있지만, 직류에서는 [eqn: omega_0 =1`rm[Hz]]까지의 극히 좁은 대역폭에 대해서만 클 뿐이다.

* 귀환경로(feedback path)를 갖는 전형적인 반전증폭기 : 그림 14.19 ;

□식(3.12)를 다시 쓰면,

[eqn: v_2 = -R_F over {R_A + 1 over A (R_A +R_F )} v_1`]  [eqn: ->] [eqn: {rmboldV}_2 {= {rmboldH}(j omega) rmboldV}_1]

[eqn: {rmboldH}(j omega) &= {-R_F over {R_A + 1 over{{rmboldA}(j omega)} (R_A +R_F )}} ##&= -R_F over R_A 1 over {{1+ 1 over {{rmboldA}(j omega)}} left( 1 + R_F over R_A right)} ##&={-R_F over R_A} 1 over {1+left({j omega +omega_0 } over {A_0 omega_0}right) left(1+ R_F overR_A right)} ##&={-R_F over R_A} {1 over {j omega{left[{1+(R_F /R_A )} over {A_0 omega_0}right]}+{left[1+ {1+(R_F /R_A )} over {A_0}right]}}}]

□[eqn: A_0`]가 매우 크므로, [eqn: R_F `/R_A < < A_0`].

따라서,

[eqn: {rmboldH}(j omega)={-R_F over R_A} {1 over {j omega{left[{1+(R_F /R_A )} over {A_0 omega_0}right]}+1}}`]

□이 단일 극점 이득함수에 대한 보드선도 : 그림 14.20 ;

- 음귀환(negative feedback) 때문에 이득이 [eqn: A_0`]에서 [eqn: R_F /R_A`]로 감소하지만, 그 대신 대역폭은 [eqn: omega_0`]에서 [eqn: omega_c =omega_0 cdot A_0 /[1+(R_F /R_A )]]로 거의 완전하게 확장된다.

예) [eqn: A_0 =10^5`], [eqn: omega_0 =10`rm[rad/s]], 및 [eqn: R_F /R_A =4`]이면,

[eqn: cases{rm"Gain reduction"~:~it A_0 =10^5 ~->~R_F /R_A =4`,~(1/25,000) ## rm"Bandwidth" ~:~it omega_0 =10~->~omega_c = it {A_0 omega_0} over {1+R_F /R_A }=200,000 rm[rad/s] ## ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~approx 20 `rm[kHz]}]

- 반전증폭기의 이득-대역폭곱(gain-bandwidth product)

[eqn: {rm GBW} = R_F over R_A omega_c =A_0 omega_0 {R_F /R_A} over {1+(R_F /R_A )}]

[eqn: HOOKRIGHT] 이득 [eqn: R_F /R_A`]가 1 ~ 10의 적당한 값을 가지므로, 이득-대역폭곱은 개방루프 이득-대역폭곱 GBW[eqn: = A_0 omega_0`]와 거의 같다.

14.6 필터

* 필터(filter)는 저지대역(stopband)의 주파수를 갖는 신호의 통과를 저지하는 반면, 통과대역(passband)에 있는 주파수의 신호는 입력으로부터 출력까지 별 변화없이 통과시키는 소자이다.

이상적인 필터는 저지대역(stopband)에서[eqn: {rmboldH}(j omega)=0`]이고, 통과대역(passband)에서는[eqn: {rmboldH}(j omega)=1 rm angle 0^o`]이다. 통과대역에서의[eqn: {rmboldH}(j omega)=1 rm angle 0^o`]는 입력과 출력 사이에 크기는 동일하고 위상변이가 없음을 의미한다.

□필터의 종류 :

- 저역통과필터(Low-pass filter : LPF),

- 고역통과필터(High-pass filter : HPF)

- 대역통과필터(Band-pass filter : BPF)

- 대역저지필터(Band-stop filter : BSF

또는 Band-rejection filter : BRF)

□반전력주파수(half-power frequency), 차단주파수(cutoff frequency)

또는 3-dB 주파수 :

[eqn: omega_c =] 이득이 최대값보다 3-dB 낮아지는 곳의 주파수

예제 14.12) 다음 그림 14.21의 간단한 [eqn: RC`] 전압분배회로는 저역통과필터(LPF) 또는 고역통과필터(HPF) 중 하나로 구성할 수 있다. 필터함수와 이득곡선을 구하라.

<해>

* 저역통과필터 (LPF) : [eqn: {rmboldV}_C`]를 출력으로 정의하면,

[eqn: {rmboldH}_LP (j omega) = {rmboldV}_C over {rmboldV}_"in" = {1/(j omega C `)} over {R+[1/(j omega C`)]} = 1 over {j omega RC +1}]