제 13 장 s-영역에서의 회로해석

* 차례

13.1 회로소자와 키르히호프의 법칙ccc

13.2 s-영역 회로

13.3 전달함수

13.4 극점과 안정성

13.5 초기값 및 최종값 정리

13.6 임펄스응답과 콘벌루션

13.1 회로소자와 키르히호프의 법칙

* 키르히호프의 전압 및 전류 법칙은 s-영역에서도 성립 : 그림 13.1 ;

(a) KVL을 위한 폐루프(망로),   (b) KCL을 위한 마디

[eqn: cdot]키르히호프의 법칙 적용,

[eqn: cases{v_1 (t) + v_2 (t) +v_3 (t) + v_4 (t)=0` ## i_1 (t) + i_2 (t) +i_3 (t) + i_4 (t)=0`}]

[eqn: cdot]식들을 변환하면,

[eqn: cases{{rmboldV}_1 (s) {+rmboldV}_2 (s) {+rmboldV}_3 (s) {+rmboldV}_4 (s)=0` ## {rmboldI}_1 (s) {+rmboldI}_2 (s) {+rmboldI}_3 (s) {+rmboldI}_4 (s)=0`}]

* [eqn: RLC`] 소자법칙

[eqn: R~:~cases{~~v_R (t) = R``i_R (t) ## {rmboldV}_R (s) {=R rmboldI}_R (s)}]

[eqn: L~:~cases{~~v_L (t) = L {di_L (t)} over dt` ## {rmboldV}_L (s) {=s L rmboldI}_L (s) - L i_L (0-)}]

[eqn: C~:~cases{~~i_C (t) = C {dv_C (t)} over dt` ## {rmboldI}_C (s) {= s`C rmboldV}_C `(s) - C `v_C `(0-) ## {rmboldV}_C (s) = 1 over sC {rmboldI}_C (s) - 1 over s v_C `(0-)}]

[eqn: cdot][eqn: RLC`] 소자의 임피던스[eqn: {rmboldZ}(s)]는 모든 초기조건들이 0 일 때의[eqn: {rmboldV}(s)]와[eqn: {rmboldI}(s)]의 비로 정의.

[eqn: {rmboldV}(s) {=rmboldZ}(s) {rmboldI}(s), ~~rm"all IC's"=0`]

- 따라서 임피던스는 : 그림 13.2 ;

[eqn: {rm bold Z}_R (s) = R`]

[eqn: {rm bold Z}_L (s) = sL`]

[eqn: {rm bold Z}_C (s) = 1 over sC`]

[eqn: Z_R (s)=R`], [eqn: Z_L (s)=sL`], [eqn: Z_C (s)= 1/sC`]

예제 13.1) 다음 그림 13.3의 회로에서 [eqn: t`>`0`]에 대한 [eqn: v_C (t)]를 구하라.

<해>

[eqn: cdot]KVL 방정식

[eqn: {rm bold V}_C (s) {+rm bold V}_R (s) {+rm bold V}_L (s)=0`]

[eqn: cdot][eqn: t`<`0`]에서 전원이 없으므로, [eqn: t=0-`]에서 모든 초기조건들은 0 이다.

[eqn: 2 over s {rm bold I}(s) + 3 `right[{rm bold I}(s) + 1 over s right] {+ s rm bold I}(s)=0`]

[eqn: THEREFORE ~{rm bold I}(s)={- 3 over s} over {s+3+(2/s)}= -3 over {s^2 +3s+2}`]

[eqn: cdot]따라서, 커패시터 전압 :

[eqn: {rmbold V}_C (s) & {=rm bold Z}_C (s) {rm bold I}(s) = - 6 over {s`(s^2 + 3s+2)} ##& ~= - 6 over {s(s +1)(s+2)} = -3 over s + 6 over {s+1} - 3 over {s+2}`]

[eqn: THEREFORE ~~under{v_C (t) = 6 `e^-t - 3`e^-2t -3 ~~(t>0)}]

* 어드미턴스[eqn: {rmboldY}(s)]는 임피던스[eqn: {rmboldZ}(s)]의 역수로써, 모든 초기조건들이 0 일 때의 전류[eqn: {rmboldI}(s)]와[eqn: {rmboldV}(s)]의 비로 정의.

[eqn: {rmbold I}(s) {= rm bold Y}(s) {rm bold V}(s)~~~~(rm"all IC's" =0)]

따라서, [eqn: R`], [eqn: L`], [eqn: C`]의 어드미턴스 :

[eqn: {rm bold Y}_R (s) = 1 over R = G`]

[eqn: {rm bold Y}_L (s) = 1 over sL`]

[eqn: {rm bold Y}_C (s) = sC`]

예제 13.2) 다음 그림 13.4의 회로 내의 부회로의 등가 임피던스[eqn: {rmboldZ}(s)]를 구하라.

<해>

[eqn: cases{{rm bold Z}_1 (s) &= 1rm[H]`□``2[Omega] =it s+2` ## {rmbold Z}_2 (s) &= 1 over 3 rm[F] {`//`rmboldZ}_1 (s) ##&= 1 over {[1/(s+2)] +(s/3)} = 3(s+2) over {s^2 +2s+ 3}`}]

[eqn: {rmbold Z}(s) & ={rmbold Z}_2 (s)+2s+4` ## &= {3(s+2)+(2s+4)(s^2 +2s +3)} over {s^2 +2s +3}` ##&= {2s^3 + 8s^2 + 17s +18} over {s^2 +2s+ 3}`]

예제 13.3) 위 예제 13.2의 그림 13.4의 회로에서, 모든 초기조건이 0이라 가정할 때, 입력전압[eqn: {rmboldV}(s)= 1 over s^2`]에 대한[eqn: {rmboldI}_C (s)]를 구하라.

<해>

[eqn: cdot]예제 13.2로 부터,

[eqn: {rmbold Z}(s) & ={rmbold Z}_2 (s)+2s+4` ## &= {3(s+2)+(2s+4)(s^2 +2s +3)} over {s^2 +2s +3}` ##&= {2s^3 + 8s^2 + 17s +18} over {s^2 +2s+ 3}`]

[eqn: cdot][eqn: {rmboldV}(s)= 1 over s^2`]이므로,

[eqn: {RM BOLD I}(s) = {rm bold Y}(s){rm bold V}(s) ={s^2 +2s+ 3} over {2s^3 + 8s^2 + 17s +18} 1 over s^2]

[eqn: THEREFORE ~{rmbold I}_C (s) = s/3 over {(s/3)+ 1/(s+2)} {rmboldI}(s) = (s+2) over {s(2s^3 + 8s^2 + 17s +18)}]

13.2 s-영역 회로

* 키르히호프의 법칙 (KVL, KCL)은 s-영역에서도 유효.

[eqn: cdot]s-영역 [eqn: RLC`] 소자법칙 ([eqn: v`]-형식) : [eqn: {rmbold V}(s)={rmboldZ}(s) {rmboldI}(s)]

[eqn: {rmboldV}_R (s) =□[R`i(t)] =R □[i(t)] {= R `rm bold I}_R (s)]

[eqn: {rm bold V}_L (s) =□left[L {d `i_L (t)} over dt right] = L cdot □ left[ {d i_L (t)} over dt right]{= s L rm bold I}_L (s) - L `i_L (0-)]

[eqn: {rm bold V}_C (s) &=□left[1 over C int_-inf^t i_C (t) dt `right]=□left[1 over C int_-inf^0 i_C (t) dt right]+ □left[1 over C int_0^t i_C (t) dt right] ##& = □ [v_c (0-)] + 1 over C □left[int_0^t i_C (t) dt right]= 1 over sC {rm bold I}_C (s) + 1 over s v_C (0-)]

[eqn: HOOKRIGHT] [eqn: RLC`] 소자의 s-영역 등가회로 : 테브냉 형식 : 그림 13.5 ;

예제 13.4) 다음 그림 13.6(a)의 회로에서 [eqn: t`>`0`]에 대한 커패시터에 걸리는              전압 [eqn: v_C (t)]를 구하라.

<해>

[eqn: cdot]전원전압이 [eqn: t=0`]일 때 [eqn: 12``rm[V]]에서 [eqn: 24``rm[V]]로 점프하므로, [eqn: t=0`]- 에서 dc 정상상태 값은  :

[eqn: cases{i_L (0-)=12/6=2``rm[A] ## v_C (0-)=12``rm[V]}]  [eqn: LARROW] [eqn: L`]-단락 및 [eqn: C`]-개방

[eqn: cdot]s-영역 회로 : 그림 13.6 (b) ;

[eqn: cases{{rmboldV}_L (s) {=sL rmboldI}_L (s) -Li_L (0-) {= 30 `s rmboldI}_L (s) -60` ## {rmboldV}_C (s) = 1 over sC {rmboldI}_C (s) + 1 over s v_C (0-) `=` 5 over s {rmboldI}_C (s) + 12 over s`}]

[eqn: DOWNARROW]

[eqn: cdot]KCL 방정식

[eqn: {{rm bold V}(s) - (12/s)} over 5/s + {{rm bold V}(s)} over 6 +{{rm bold V}(s) - [60 + (24/s)]} over 30s = 0`]

[eqn: THEREFORE ~{rmbold V} (s) = {12 s^2 + 10s +4} over {s `left(s^2 + 5 over 6 s+ 1 over 6 right)} = 24 over s + 24 over {s+ 1over2} - 36 over {s+ 1 over 3}`]

[eqn: THEREFORE ~~under{v_C (t) = 12(2 +2 e^-t/2 - 3 `e^-t/3 `)}]

예제 13.5) 다음 그림 13.7(a)의 회로에서 s-영역 망로전류[eqn: {rmboldI}_1 (s)]와[eqn: {rmboldI}_2 (s)]             를 구하라.

<해>

[eqn: cdot][eqn: t`<`0`]에 대해, 전압원은 0이고 인덕터는 단락회로로 동작.

[eqn: cases{i_L_1 (0-) =i_L_2 (0-)=2``rm[A] ## v_C (0-)=0`}]

[eqn: cdot]s-영역 회로 : 그림 13.7 (b) ;

[eqn: cases{{rmboldV}_L_1 (s) {=sL_1 rmboldI}_L_1 (s) -L_1 i_L_1 (0-) {= s rmboldI}_L_1 (s) -2` ## {rmboldV}_L_2 (s) {=sL_2 rmboldI}_L_2 (s) -L_2 i_L_2 (0-) {= 2s rmboldI}_L_2 (s) -4` ## {rmboldV}_C (s) = 1 over sC {rmboldI}_C (s) + 1 over s v_C (0-) = 8 over s {rmboldI}_C (s) + 0`}]

[eqn: □[e^{-3t} u(t) ]= 1 over s+3`]

[eqn: DOWNARROW]

[eqn: cdot]망로 방정식 :

[eqn: cases{{(s+4+1) rmboldI}_1 (s) {-4 rmboldI}_2 (s) -s cdot 2 over s = 1 over s+3 -2` ## {-4 rmboldI}_1 (s) + left(2s+4+2+ 8 over 3 right) {rmboldI}_2 (s) -2s cdot 2 over s =-4`}]

[eqn: cases{{(s+5) rmboldI}_1 (s) {-4 rmboldI}_2 (s) = 1 over s+3` ## {-4 rm boldI}_1 (s) + left(2s+6+ 8 over s right){rmboldI}_2 (s) =0`}]

[eqn: THEREFORE ~~bmatrix{s+5 & -4 # -4 & 2s+6+ 8 over s} bmatrix{{rm bold I}_1 (s) # `{rm bold I}_2 (s)`} = bmatrix{1 over s+3 # 0}]

[eqn: HOOKRIGHT] [eqn: bmatrix{{rmboldI}_1 (s) # `{rmboldI}_2 (s)`}= 1 over Delta(s) bmatrix {2s+6+ 8 over s & 4 # 4 & `s+5`} bmatrix{1 over s+3 # 0}]

여기서

[eqn: Delta(s) &= (s+5) left(2s + 6 + 8 over s right) -(-4)(-4) ##&=(s+5) left(2s + 6 + 8 over s right) -16`]

[eqn: THEREFORE ~~bmatrix{{rmboldI}_1 (s) # `{rmboldI}_2 (s)`}= 1 over {(s+3)(s^3 +8s^2 +11s+20 )} bmatrix{s^2 + 3s +4 # 2s}]

* s-영역 [eqn: RLC`] 소자법칙 ([eqn: i`]-형식) : [eqn: {rmbold I}(s) {=rmboldY}(s) {rmboldV}(s)]

[eqn: {rmboldI}_R (s) =□left[{v_R (t)} over R right] = {{rm bold V}_R (s)} over R`]

[eqn: {rm bold I}_L (s) &=□left[1 over L int_-inf^t v_L (t) dt `right]=□ left[ 1 over L int_-inf^0 v_L (t) dt + 1 over L int_0^t v_L (t) dt right] ##&= □[i_L (0-)] + 1 over L □ left[int_0^t v_L (t) dt right] = {{rmbold V}_L (s)} over {sL} + {i_L (0-)} over s`]

[eqn: {rm bold I}_C (s) &= □left[C {dv_C (t)} over dt right] = C cdot □ left[ {d v_C (t)} over dt right] ={C ``[s rmboldV}_C (s) -v_C (0-) ] ##&= s`C {rmbold V}_C (s) -C`v_C `(0-) = 1 over 1/sC {rmboldV}_C (s) -C`v_C (0-)]

[eqn: HOOKRIGHT] [eqn: RLC`] 소자의 s-영역 등가회로 : 노튼 형식 : 그림 13.8 ;

13.3 전달함수

* 회로해석의 목적은 그 회로의 동작을 완전하게 구하는 것이다. 즉, 모든 전원과 초기저장에너지에 대하여 회로 내의 모든 소자들의 전류와 전압의 값들을 구하는 것이다.

* 입-출력 관계 해석의 목적은 하나의 특정 회로변수(입력 : input)와 다른 회로변수(출력 : output) 사이의 관계를 구하는 것이다.

[eqn: cdot]입력[eqn: {rmboldV}_i (s)]와 출력[eqn: {rmboldV}_o (s)]를 갖는 회로에 대해, 전달함수[eqn: {rmboldH}(s)]는 모     든 초기조건들이 0 일 때 s-영역에서의 입력에 대한 출력의 비로 정의.

[eqn: {rmbold H}(s) {= rm bold V}_o (s) {/rm bold V}_i (s),~~rm"all IC's"=0`]

[eqn: HOOKRIGHT] 여기서[eqn: {rmboldV}_i (s)]와[eqn: {rmboldV}_o (s)]는 둘 다 전류, 둘 다 전압, 또는 각각 전류 또는 전압일 수 있다.

- 이 식을 다시 쓰면,

[eqn: {rm bold V}_o (s) {{= rmbold H}(s) rm bold V}_i (s),~~rm"all IC's"=0`]

[eqn: HOOKRIGHT] 어떤 입력에 대한 s-영역 출력값은 바로 전달함수와 s-영역 입력의 곱이다.

[eqn: cdot][eqn: {rmboldH}(s)]를 결정하기 위해, 모든 초기조건들은 0으로 설정한다.

예제 13.6) 다음 그림 13.9(a)의 회로에서 입력 [eqn: v_s (t)]와 출력 [eqn: v_1 (t)]에 대한 전달함수[eqn: {rmboldH}(s)]를 구하라.

<해> [eqn: cdot]s-영역 회로 : 그림 13.9(b) ;

□지정된 출력전압과 전달함수

[eqn: {RM BOLD Z}_1 (s) = {(s)(2s+4)} over {s + (2s+4)} = {2s^2 +4s} over {3s+ 4}`]

[eqn: THEREFORE ~{rm bold V}_1 (s) =& {4/s} over {(4/s) {+ rm bold Z}_1 (s)}{rm bold V}_s (s) #=& {6s+8} over {s^3 + 2s^2 + 6s+8}{rm bold V}_s (s)]

[eqn: THEREFORE ~under{{rm bold H} (s) = {{rm bold V}_1 (s)} over {{rm bold V}_s (s)} = {6s+8} over {s^3 + 2s^2 + 6s+8}`}]

예제 13.7) 다음 그림 13.10(a)의 회로에서 전달함수

[eqn: {rmboldH}_1 (s) {=rmboldV}_2 (s){/rmboldI}_s_1 (s)]를 구하라. (그림 수정 : ⅓□→ 1□)

<해>

□[eqn: {rmboldV}_s_2` (s)]를 제거한 s-영역 회로 : 그림 13.10 (b) ;

□벡터-행렬 형식 KCL 방정식

[eqn: bmatrix{s+2 & -2 # -2 & 2s+3} bmatrix{{rm bold V}_1 (s)#{rm bold V}_2 (s)} = bmatrix{{- rm boldI}_s_1 (s)` # ``0``}]

□By Cramer's rule,

[eqn: {rm bold V}_2 (s) = dmatrix{s+2 & {-rm boldI}_s_1 (s) #-2 & 0} over dmatrix{s+2 & -2 #-2 & 2s+3} = -2 over {2s^2 + 7s +2} {rm boldI}_s_1 (s)]

[eqn: THEREFORE ~under{{rm bold H}_1 (s) = {{rm bold V}_2 (s)} over {{rm bold I}_s_1 (s)} = {-2} over {2s^2 + 7s+2}`}]

* 한 개 이상의 독립전원을 갖고 있는 회로의 전달함수

□[eqn: n`]-개의 서로 다른 독립전원에 대한 출력

[eqn: {rmbold V}_ok (s) {=rm boldH}_k (s) {rm bold V}_ik (s),~(rm"All IC's" = 0, ``rm"all other"it{rm boldV}_ij (s) = 0`)]

여기서[eqn: {rmboldH}_k (s)]는 [eqn: {rmboldV}_o (s)]와[eqn: {rmboldV}_ik (s)] 사이의 전달함수이다.

□모든 전원[eqn: {rmboldV}_{i`1} (s), {rmboldV}_{i`2} (s) ,~cdots~,{rmboldV}_{i`n} (s)]에 대한 전체 출력

[eqn: {rm bold V}_o (s) {=rmboldV}_o1 (s) {+ rm bold V}_{o`2} (s) + cdots {+ rm bold V}_on (s)]

또는[eqn: {rm bold V}_o (s) {=rmboldH}_1 (s){rmboldV}_1 (s) {+rmboldH}_2 (s) {rm bold V}_2 (s) + cdots {+rmboldH}_n (s) {rm bold V}_n (s)]

여러 개의 입력을 갖는 회로에서, 모든 전원에 기인한 s-영역 강제출력은, 서로 다른 각각의 입력에 대한 전달함수와 이에 대응하는 s-영역 입력값의 중첩이다.

예제 13.8) 위 예제 13.7의 그림 13.10(a)의 회로에서 입력[eqn: {rmboldV}_s_2 (s)]에 기인한 전달함수[eqn: {rmboldH}_2 (s){=rmboldV}_2 (s){/rmboldV}_s_2 (s)]와, 모든 입력에 기인한 전체 출력[eqn: {rmboldV}_2 (s)]를 구하라.

<해>

□[eqn: {rmboldI}_s_1`]을 제거한 s-영역 회로 : 그림 13.11 ;

□직-병렬 조합에 의해,

[eqn: {rm bold Z}_1 (s) = {left( 1 over 2 + 1 over s right) left( 1 over 2s right)} over { left( 1 over 2 + 1 over s right) + 1 over 2s} ={s+2} over {2s^2 + 6s}`]

[eqn: HOOKRIGHT]

□전압분배에 의해,

[eqn: {rm bold V}_2 (s) = {Z_1 (s)} over {1 + Z_1 (s)} {rm bold V}_s_2 (s)]

[eqn: THEREFORE ~{rm bold H}_2 (s) &={{rm bold V}_2 (s)} over {{rm bold V}_s_2 (s)} = {(s+2)/(2s^2 + 6s)} over {1 + [(s+2)/(2s^2 + 6s)]} ##&= under{s+2 over {2s^2 + 7s +2}`}]

□모든 입력에 기인한 전체 출력

-[eqn: {rmboldH}_1 (s)] :

[eqn: LARROW cases{{rmboldZ}_2 (s)= 1 over s + 1 over 2 = s+2 over 2s` ## {rmboldZ}_3 (s)= {(1/2s) times 1} over {(1/2s) +1} = 1 over 2s+1`}]

[eqn: THEREFORE ~{rmboldV}_2 (s) &= - {rmboldZ}_3 over {{rmboldZ}_2 +{rmboldZ}_3} cdot {{rmboldI}_s_1 (s)} over s = - {1 over 2s+1} over {s+2 over 2s + 1 over 2s+1} cdot {{rmboldI}_s_1 (s)} over s` ##&= - {{2 rmboldI}_s_1 (s)} over {(s+2)(2s+1)+2s} = - {{2 rmboldI}_s_1 (s)} over {2s^2 +7s+2}`]

[eqn: THEREFORE ~{rmboldH}_1 (s)= {{rmboldV}_2 (s)} over {{rmboldI}_s_1 (s)} = - 2 over {2s^2 +7s+2}`]

[eqn: THEREFORE ~{rm bold V}_2 (s) &{=rmboldH}_1 (s) {rmboldI}_s_1 (s) {+rmboldH}_2 (s) {rm bold V}_s_2 (s) ##& ~= -2 over {2s^2 + 7s +2}{rmboldI}_s_1 (s) + s+2 over {2s^2 + 7s +2} {rm bold V}_s_2 (s)]

□만약 [eqn: i_s_1 (t)=u`(t)] 이고 [eqn: v_s_2 (t)= e^-t u`(t)] 라면,

[eqn: {rm bold V}_2 (s) = -2 over {2s^2 + 7s +2} left( 1 over s right) + s+2 over {2s^2 + 7s +2} left( 1 over s+1 right)]

13.4 극점과 안정성

* 변환함수[eqn: {rmboldF}(s)] 내의 극점 [eqn: p`]의 위치에 따른 [eqn: f(t)] 내의 [eqn: Ke^pt`] 항의 종속성 : 그림 13.12 ;

Left Half Plane (LHP)              Right Half Plane (RHP)

(stable system)                    (unstable system)

□For [eqn: omega=0`], [eqn: p=sigma + j omega`=sigma+j `0`] [eqn: ->] [eqn: under{e^pt =e^sigmat`}]

□For [eqn: omega neq 0`], [eqn: p=sigma +j omega`] and [eqn: p^* =sigma -j omega`]

[eqn: THEREFORE ~~e^pt + e^{p^* t } = e^sigmat e^{j omega t} + e^sigmat e^{-j omega t}= under{2e^sigmat cos{omega t}`}]

[eqn: f`(t)]의 각 항의 증가 또는 감소 비율은 그 극점의 실수부에 의해 지배된다. 만약 [eqn: Re ~p= sigma`<`0`] 이면, [eqn: f`(t)] 내의 대응하는 항은 0 으로 감소하게 된다.

* 고유응답을 구하기 위해서는, 모든 독립전원을 제거하고, s-영역에서 완전한 회로망 해석(망로 또는 마디 해석) 방정식을 세운다.

(망로 해석법인 경우),

[eqn: bmatrix{{rmboldZ}_11 (s) & {rmboldZ}_12 (s) & cdots & {rmboldZ}_1n (s) # {rmboldZ}_21 (s) & {rmboldZ}_22 (s) & cdots & {rmboldZ}_2n (s) # cdot & cdot & cdots & cdot # {rmboldZ}_n1 (s) & {rmboldZ}_n2 (s) & cdots & {rmboldZ}_nn (s)} bmatrix{{rmboldI}_1 (s) # {rmboldI}_2 (s) # cdot # ``{rmboldI}_n (s)``}=bmatrix{{rmboldV}_IC_1 (s) # {rmboldV}_IC_2 (s) # cdot # ``{rmboldV}_IC_n (s)``}]

즉,

[eqn: {rm bold M} (s) {rmboldI}(s) {=rm bold V}_IC (s)]

여기서

[eqn: cases{{rmboldM}(s) ~:~rm"square connection matrix (system matrix)"` ## {rmboldI} (s)~:~ rm "vector of unknown mesh currents"` ## {rmboldV}_IC (s) ~:~rm"vector of initial condition generator source terms"}`]

[eqn: {rmboldM}(s)]의 determinant가 0 이 되는 s의 값들을 회로의 극점이라 한다.

예제 13.9) 다음 그림 13.13의 회로에서[eqn: {rmboldV}_o (s)=0`]에 대한 망로전류[eqn: {rmboldI}_1 (s)],[eqn: {rmboldI}_2 (s)] 및 마디전압[eqn: {rmboldV}(s)]를 구하라.

<해>

1) 망로전류[eqn: {rmboldI}_1 (s)]와[eqn: {rmboldI}_2 (s)] :

□[eqn: {rmboldV}_o (s)=0`]일 때의 망로 방정식,

[eqn: cases{{(2s+4) rmboldI}_1 (s) {-4 rmboldI}_2 (s)=2 i_1 (0-) ## {-4 rm boldI}_1 (s) + left(4+ 8 over s right){rmboldI}_2 (s) = - {v_C `(0-)} over s`}]

[eqn: THEREFORE ~~bmatrix{2s+4 & -4 ## -4 & 4+ 8 over s} bmatrix{#{rmboldI}_1 (s) ## {rmboldI}_2 (s) } = bmatrix{ 2 i_1 (0-) ## {-v_C (0-) }over s}]

[eqn: HOOKRIGHT] [eqn: Delta(s) = (2s+4)left(4 + 8 over s right) -16 = {8(s^2 + 2s+4)} over s]

□따라서, 회로의 극점[eqn: =][eqn: Delta(s)]의 영점 : [eqn: under{p_1 ,p_2 =-1+- root3`}]

□망로전류에 대한 해

[eqn: bmatrix{{rmboldI}_1 (s) # {rmboldI}_2 (s)} &= 1 over Delta(s) bmatrix{4+ 8 over s & 4 # 4 & 2s+4} bmatrix{ 2 i_1 (0-) ## - {v_C (0-) } over s } # &= 1 over {s^2 + 2s +4}bmatrix{ i_1 (0-) + 2 i_1 (0-) - 1 over 2 v_C (0-) # (i_1 (0-) + 2 i_1 (0-))s - 1 over 2 v_C (0-)}]

2) 마디전압[eqn: {rmboldV}(s)] :

□마디해석방정식

[eqn: {s over 8 bigg(rm bold V}(s) - {v_C (0-)} over s right) {+ 1 over 4 {rm bold V}(s)} + 1 over {2 s} {[rm bold V}(s) -2i_1 (0-) ] = 0`]

[eqn: THEREFORE ~{rmboldV}(s) = {s`v_c (0-) + 8i_1 (0-)} over {s^2 + 2s +4}`]

[eqn: HOOKRIGHT] 망로 및 마디해석은 동일한 극점을 얻게 된다.

회로 내의 모든 고유응답이 시간에 따라 0으로 감소한다면 그 회로는 안정하다고 정의한다. 회로의 안정성은 모든 회로 극점 [eqn: p`]에 대해 [eqn: Re~p`<`0`]와 같다. 다시 말하면, 안정성은 회로의 모든 극점들이 복소평면의 좌반면(LHP : Left Half Plane)에 위치해야 함을 요구한다.

예제 13.10) 다음 그림 13.14의 s-영역 회로는 이득이 [eqn: k`]□인 하나의 전류제어전압원(CCVS)과, 초기조건을 제공하는 하나의 인덕터를 포함하고 있다. 이 회로가 안정한 가를 결정하라.

<해>

□망로방정식

[eqn: bmatrix{2s+2 & `-2` ## -2-k & 3} bmatrix{{rm bold I}_1 (s) ## ``{rm bold I}_2 (s)``} = bmatrix{ {rm bold V}_1 (s)+ ``2 i_1 (0-)`` ## 0}]

[eqn: HOOKRIGHT] [eqn: Delta(s) = (2s+2)(3) - 2(2+k) = 6s + 2(1-k)]

□극점의 위치 : [eqn: under{p= 1 over 3 (k-1)}]

[eqn: THEREFORE ~~cases{k`<`1 ~:~rm"negative real part"~->~rm"stable"` ## k`>=`1 ~:~rm"positive real part"~->~rm"unstable"}]

정상상태해석은 오직 안정한 회로에만 적용가능하다. 불안정한 회로에 대한 정상상태는 없다.

예제 13.11) 위 예제의 그림 13.14의 회로에서, 전원 [eqn: v_1 (t)=40 cos 2t``rm[V]] 에 대한 회로 내의 [eqn: i_1 (t)]의 ac 정상상태 값을 구하라.

<해>

□망로방정식

[eqn: bmatrix{2s+2 & `-2` ## -2-k & 3} bmatrix{{rm bold I}_1 (s) ## ``{rm bold I}_2 (s)``} = bmatrix{ {rm bold V}_1 (s)+ ``2 i_1 (0-)`` ## 0}]

□Cramer's rule을 적용,

[eqn: {rm bold I}_1 (s) = dmatrix{{rm bold V}_1 (s)+2 i_1 (0-) & `-2` # 0 & 3} over dmatrix{2s+2 & `-2` # -2-k & 3}= {i_1 (0-) } over {s+ 1 over 3 (1-k)} + {1 over 2 {rm bold V}_1 (s)} over {s+ 1 over 3 (1-k)}]

□극점의 위치와 정상상태 해

- 단 하나의 극점 : [eqn: under{p= 1 over 3 (k-1)}]

[eqn: cases{k`>=`1 ~:~rm"unstable" ~->~rm"no steady state solution" ## k`<`1 ~:~ rm"stable"~->~rm"steady state solution"}]

- [eqn: k`<`1`]에 대해,[eqn: {rmboldV}_1 (s) =□[40 cos 2t]= 40s over {s^2 +4}`]이고 [eqn: i_1 (0-)=0`]이므로,

[eqn: {rmboldI}_1 (s)= 20s over{ left[s+ 1 over 3 (1-k) right] ``(s^2 +4 )} = A over {s+ 1 over 3 (1-k)} + B over {s-j``2} + B^* over {s+j``2}`]

[eqn: THEREFORE ~~under{i_1 (t)=A `e^{- 1 over 3 (1-k) t} + 2 `|B`| cos (2t + angle B)}]

여기서 정상상태응답만을 위해서는 [eqn: A`]를 계산할 필요가 없다.

[eqn: B = 20s over {left[ s + 1 over 3 (1-k) right] (s^2 +4)} times (s-j``2) bigg|_{s=j``2}`]

[eqn: ={20 (j`2)} over{ left[j`2+ 1 over 3 (1-k) right] ``(j`4 )}= 10 over {1 over 3 (1-k)+j`2}`]

[eqn: THEREFORE ~~under{i_1 (t) = 2`|B`| cos(2t + theta)}] : 정상상태응답

여기서

[eqn: cases{|B`| = 10 over sqrt{1 over 9 (1-k)^2 + 4}` ## theta = - tan^-1 `6 over 1-k}`]

* 안정회로에서 주어진 입력[eqn: {rmboldV}_i (s)]에 대한[eqn: {rmboldV}_o (s)]를 계산 :

[eqn: {rm bold V}_o (s) {=rmboldH} (s) {rm bold V}_i (s),~rm"all IC's" = 0`]

13.5 초기값 및 최종값 정리

□[eqn: t=0`]에서 임펄스 또는 고차 특이점을 갖지 않는 [eqn: f(t)]를 고려.

[eqn: f(t)]를 다음 형식으로 쓰면,

[eqn: f`(t)=g`(t)+d`u`(t)]

여기서 [eqn: g(t)]는 [eqn: t=0`]에서 연속이며, [eqn: d=f`(0+)-f`(0-)]는 [eqn: t=0`]에서[eqn: f`(t)]의 점프 불연속의 크기이다. 이를 미분하면,

[eqn: df over dt = dg over dt + d `delta(t)]

□라플라스 변환하면,

[eqn: □left[{d`f`(t)} over dt right] {= s rmboldF}(s)-f(0-) = int_0-^inf df over dt e^-st dt`]

[eqn: &= int_0-^inf dg over dt e^-st dt + under{int_0-^inf d ``delta(t) e^-st dt}` ##&=int_0-^inf dg over dt e^-st dt + under{d``} ~~cdots~~(a)]

1) 초기값정리(Initial value theorem) : 시간함수의 초기값 [eqn: f(+0)]에 대해,

□식(a)에서 [eqn: s``->``inf`]로 갈 때의 극한값을 취하면,

[eqn: lim_{s``->``inf} {[s rm boldF}(s) - f(0-)] &= lim_{s``->``inf} `left [ int_0-^inf dg over dt e^-st dt right] + lim_{s``->``inf}[d`] ##&=int_0-^inf dg over dt lim_{s``->``inf}[e^-st `]dt + d` ##& =d= f(0+)-f(0-)]

[eqn: THEREFORE~~lim_{s``->``inf} {s rm boldF}(s)-under{f(0-)} = f(0+)-under{f(0-)}]

□따라서,

[eqn: lim_{s``->``inf} {s rm boldF}(s) = f(0+)] : 초기값 정리

2) 최종값정리(Final value theorem) : 시간함수의 최종값 [eqn: f(inf)]에 대해,

□식(a)에서 [eqn: s``->``0`]로 갈 때의 극한값을 취하면,

[eqn: lim_{s``->``0} {[s rm boldF}(s)-f(0-)] &=lim_{s``->``0} `left [ int_0-^inf dg over dt e^-st dt right] + lim_{s``->``0}[d`] ##&=int_0-^inf dg over dt lim_{s``->``0}[e^-st `]`dt + d` ##& = int_0-^inf dg over dt dt + d= g(inf)-g(0-) + d`]

[eqn: THEREFORE~~lim_{s``->``0} {s rm boldF}(s)-f(0-)= g(inf)-g(0-)+d`]

- [eqn: f`(t)=g`(t)+d`u(t)] 이므로,

[eqn: cases{g(inf)=f`(inf)-d`u(inf) =f`(inf)-d` ## g(0-)=f`(0-)}]

[eqn: THEREFORE~~lim_{s``->``0} {s rm boldF}(s)-under{f`(0-)} &= g(inf)- g(0-)+d` ##&=f(inf)-d -f(0-) +d` ##&=f(inf)-under{f(0-)}]

□따라서,

[eqn: lim_{s``->``0} {s rm boldF}(s) = f`(inf)] : 최종값 정리

예제 13.12) 다음 식에서 초기값 [eqn: i(0+)]와 최종값 [eqn: i(inf)]를 구하라.

[eqn: {rmboldI}(s)= {7s^3 +2} over {s^4 +3s^3 +5s^2 +2s +2}`]

<해>

□최고차 항과 최저차 항으로부터,

[eqn: cases{lim_{s``->``inf} {s rm boldI}(s) = i(0+) = 7` ## lim_{s``->``0} {s rm boldI}(s) = i(inf) = 0`}]

13.6 임펄스응답과 콘벌루션

* 전달함수[eqn: {rmboldH}(s)] 와,[eqn: {rmboldV}_i (s)]에 대한[eqn: {rmboldV}_o (s)] :

[eqn: under{{rm bold V}_o (s) {=rmboldH} (s) {rm bold V}_i (s),~~rmall ~rmIC's = 0`}]

□따라서, [eqn: v_i `(t) = delta(t)]이면,

[eqn: {rm bold V}_o (s) {=rmboldH} (s) cdot 1 {=rmboldH} (s)]

[eqn: THEREFORE ~~v_o (t`) = □^-1 {[rmboldH} (s)] = h(t`)]

[eqn: h(t`)]를 (단위)임펄스응답이라 한다. 임펄스응답 [eqn: h(t`)]와 전달함수

[eqn: {rmboldH}(s)]는 라플라스 변환쌍이다.

예제 13.13) 다음 그림 13.15(a)의 회로에서 입력 [eqn: v_s_1 (t)]와 출력 [eqn: v_L (t)]에 대한 전달함수[eqn: {rmboldH}(s)]와 단위임펄스응답 [eqn: h(t)]를 구하라.

<해>

□다른 전원을 제거한 s-영역 회로 : 그림 13.15(b) ;

□마디방정식

[eqn: cases{{rmboldV}_1 (s) + {[rmboldV}_1 (s) {-rmboldV}_s_1 (s)] + {[rmboldV}_1 (s) {-rmboldV}_2 (s)]=0` ##~ 1 over 18s {rmboldV}_2 (s) + {[rmboldV}_2 (s) {-rmboldV}_1 (s)] +2s{[rmboldV}_2 (s) {-rmboldV}_s_1 (s)]=0`}]

[eqn: cases{{3 rmboldV}_1 (s) {- rmboldV}_2 (s) {= rmboldV}_s_1 (s) ~cdots~(1) ## {- rm boldV}_1 (s) + left( 1 over 18s +2s+1 right){rmboldV}_2 (s) {=2s rm boldV}_s_1 (s) ~cdots~(2)}]

- (2)[eqn: times]3 + (1) :

[eqn: left( 1 over 6s +6s+3-1 right) {rm bold V}_2 (s) {= (6s+1) rmbold V}_s_1 (s)]

[eqn: THEREFORE ~{rm bold H}(s) &={{rm bold V}_2 (s)} over {{rm bold V}_{s`1} (s)} ={6s+1} over {1 over 6s +6s +2}={6s(6s+1)} over {36s^2 +12s+1}` ##&={6s`(6s+1)} over (6s+1)^2 = 6s over 6s+1 = {s} over {s+ 1 over 6} = under{1- {1 over 6} over {s+ 1 over 6}`}]

□임펄스응답 :  [eqn: THEREFORE ~~under{h(t) = delta(t) - 1 over 6 e^-t/6 u(t)}]

예제 13.14) 초기조건이 0 이고 다른 모든 독립전원들이 제거된 회로에서, 다음과 같은 입력 및 출력전압에 대한 전달함수[eqn: {rmboldH}(s)]와 임펄스함수응답 [eqn: h(t)]를 구하라.

[eqn: cases{v_i `(t)=3 `delta(t-5) ## v_o (t) = e^-4t cos[7(t-9)]u(t-9)}]

<해>

□[eqn: v_i (t)]와 [eqn: v_o (t)]의 변환

① [eqn: v_i (t)][eqn: ->][eqn: {rmboldV}_i (s)]

[eqn: {rm bold V}_i (s) =□[v_i (t)]=□[3 delta(t-5)]=3 e^-5s`]

② [eqn: v_o (t)][eqn: ->][eqn: {rmboldV}_o (s)] :  [eqn: □[e^-at cos omegat`]= s+a over {(s+a)^2 +omega^2}`] 이므로,

[eqn: □ left[e^{-4(t-9)} cos"{"7(t-9)"}" u(t-9) right]={(s+4) e^-9s} over {(s+4)^2 +49}`]

[eqn: THEREFORE ~{rmboldV}_o (s) &=□[v_o (t)] =□[e^{-4t} cos "{"7(t-9)"}" u(t-9) ] ##&={(s+4) e^{-9s} cdot e^-36} over {(s+4)^2 +49}`]

□전달함수와 임펄스응답

[eqn: {rm bold H}(s) &={{rm bold V}_o (s)} over {{rm bold V}_i (s)} = 1 over {3e^-5s} cdot {(s+4) e^-9s e^-36} over {(s+4)^2 +49}` ##&={1 over 3 (s+4) e^-4s e^-36 } over {(s+4)^2 +49}]

[eqn: □[e^{-4(t-4)} cos "{"7(t-4)"}" `u(t-4)] = {(s+4) e^-4s } over {(s+4)^2 +49}`] 이므로,

[eqn: h(t) &= {□^-1 rm[boldH}(s)] =□^-1 left[{1 over 3 (s+4) e^-4s e^-36 } over {(s+4)^2 +49} right] ##&= 1 over 3 e^-36 □^-1 `left[{(s+4) e^-4s} over {(s+4)^2 +49} right] ##&= 1 over 3 e^-36 cdot e^-4(t-4) cos [7(t-4)] `u(t-4) ##&= under{1 over 3 e^-4(t+5) cos[7(t-4)]u(t-4)}]

* 단위스텝응답

단위스텝응답 [eqn: s(t)]는 초기조건이 0 이고 다른 모든 독립전원들이 제거되었다고 가정할 때, 단위스텝입력 [eqn: u(t)]가 인가될 때의 출력으로 정의한다.

□단위스텝응답 [eqn: s(t)]와 그 변환[eqn: {rmboldS}(s)]

-[eqn: {rmboldV}_i (s) = 1 over s`] 이고[eqn: {rmboldV}_o (s) {=rmboldS}(s) {=rmboldV}_i (s) {cdot rmboldH}(s)] 이므로,

[eqn: {rmboldS}(s) = {{rm bold H}(s)} over s]

□적분 규칙(integration rule)을 사용,

[eqn: s(t) = int_0-^t h(tau) d tau`]

[eqn: h(t) = d over dt s(t)]

예제 13.15) 다음 그림 13.15(b)의 회로에 대한 단위스텝응답을 구하라 (예제 13.13 참조).

<해>

□예제 13.13으로부터, 전달함수는

[eqn: {rmboldH}(s)= {{rmboldV}_2 (s)} over {{rmboldV}_s_1 (s)}= s over {s + 1 over 6}`],

□단위스텝응답 :

[eqn: {rmboldS}(s) = {{rm bold H}(s)} over s = 1 over {s + 1 over 6}`]

[eqn: THEREFORE ~~under{s(t) = e^-t/6 u(t)}]

* 시간영역에서 입력, 출력 및 전달함수 사이의 관계

□콘벌루션 연산 :

[eqn: d(t)=int_-inf^inf f`(tau) `g(t- tau)`d tau =f(t) `*` g(t)]

- [eqn: t`<`0`]에 대해 [eqn: f(t)=0`] 및 [eqn: g(t)=0`]이면,

[eqn: d(t)=int_0-^inf f(tau) `g(t- tau)`d tau`]

- 변환,

[eqn: {rmboldD}(s) &=int_0-^inf `left[ int_0-^inf f(tau) `g(t-tau)`d tau right] `e^-st dt` ##&=int_0-^inf f(tau) `left[int_0-^inf g(t-tau) e^-st dt right] `d tau` ##&=int_0-^inf f(tau) `[ e^{-s tau} {rmboldG}(s)] `d tau` ##&=left[int_0-^inf f(tau) `e^{-s tau} d tau right]{rmboldG}(s) {{= rmboldF}(s) rmboldG}(s)]

- 따라서,

[eqn: □ left[int_-inf^inf f`(tau) `g(t-tau) `dt right]=□[f(t)`*`g(t)] {{=rm bold F}(s) rm bold G} (s)]

두 시간함수의 콘벌루션을 라플라스 변환한 것은 각 함수의 라플라스 변환값을 곱한 것이다.

□콘벌루션에 관한 선형시스템에서의 입-출력 관계.

[eqn: □ left[int_-inf^inf h(tau) `v_i (t-tau) `d tau `right] {{=rmboldH} (s) rm bold V}_i (s) {=rm bold V}_o (s),~rm all~IC's =0`]

[eqn: THEREFORE ~~under{v_o (t)=int_-inf^inf h(tau) `v_i (t-tau) d tau`}, ~rm all~IC's=0`]

초기조건이 0 이라 가정할 때, 출력은 임펄스응답과 입력의 콘벌루션과 같다.

예제 13.16) 다음 그림 13.16에서 보여진 것처럼 [eqn: v_s (t)]가 점점 감소하는(drooping) 펄스이고, [eqn: v_2 (0-)=0`]일 때, [eqn: t`>`0`]에 대한 [eqn: v_2 (t)]를 구하라.

<해>

□전달함수와 임펄스응답

[eqn: {rmboldH}(s)={{rm bold V}_2 (s)} over {{rm bold V}_s (s)} = {3(15/s) over {3+(15/s)}} over {3(15/s) over {3+(15/s)}+ 5} = 3 over s+8 `]

[eqn: THEREFORE ~~under{h (t) = 3 e^-8t u(t)}]

[eqn: HOOKRIGHT]

□출력 [eqn: v_2 (t)]

[eqn: under{v_2 (t) = int from -inf to inf h(t-tau) v_s (tau)d tau`}]

- Since

[eqn: v_s (tau)=cases{e^-tau ,~~0`<=`tau`<=2` ## ~0,~~~otherwise}`],

[eqn: v_2 (t) &= int from 0 to 2 3e^-8(t-tau) u(t- tau) e^-tau d tau` ##&=cases{int_0^2 3`e^-8(t-tau) e^-tau d tau = 3 over 7 (e^-2 - e^-16 ) `e^-8(t-2),~~t`>`2` ## int_0^t 3`e^-8(t-tau) e^-tau d tau = 3 over 7 (e^-t - e^-8t `),~~0`<=`t`<=`2`}]

그림 13.17 ;

예제 13.17) 다음 그림 13.18에서 보여진 함수 [eqn: v_i (t)]와 [eqn: h(t)]의 콘벌루션을 계산하라.

<해>

□콘벌루션에 대한 그래프 모양 : 그림 13.19, 13.20 ;

[eqn: v_o (t)= int_-inf^inf v_i `(t-tau) `h(tau) d tau`]

- [eqn: v_i (t) ~->~v_i (tau) ~->~ v_i (-tau) ~->~ v_i (t-tau)] and [eqn: h(t)~->h(tau)]

□콘벌루션의 값[eqn: =] 곱의 곡선 아래의 면적

(a) [eqn: under{t-1`<=`0`}] ([eqn: t`<=`1)]  :  [eqn: v_o (t) = 0`]

(b) [eqn: under{t-1`<=`3`}] ([eqn: 1`<=`t`<=`3`]) : [eqn: v_o (t) = 1 over 2 (t-1)^2`]

(c) [eqn: under{2`<=`t-1`<=`4`}] ([eqn: 3`<=`t`<=`5`]) :

[eqn: v_o (t) &= [(t-1)-(t-3)](t-3) + 1 over 2 [(t-1)-(t-3)]^2` ##&=2 (t-2)]

(d) [eqn: under{4`<=`t-1`<=6`}] ([eqn: 5`<=`t`<=`7`]) :

[eqn: v_o (t) &= [4 - (t-3)](t-3) + 1 over 2 [4-(t-3)]^2` ##&= 1 over 2 (t+1)(t-7)]

(e) [eqn: under{t-1`>=`6`}] ([eqn: t`>=`7`]) : [eqn: v_o (t) = 0`]

* 요 약 : Self-study

Report

<문제> 13.2, 13.3, 13.9, 13.16, 13.27, 13.34, 13.45, 13.51, 13.56, 13.64

(10 문제)