제 12 장 라플라스 변환

* 차례

12.1 s-영역

12.2 특이함수

12.3 기타 변환 성질과 변환쌍

12.4 부분분수전개

12.5 미적분방정식의 해법

* 회로방정식을 페이저 형식으로 변환하는 것은 정현파 ac 정상상태 해석에서 계산량을 줄이는 데 효과적인 것으로 입증.

* 라플라스 변환(Laplace transform)은 미적분방정식을 대수방정식으로 바꾸어 준다.

12.1 s-영역

* 라플라스 변환의 정의

[eqn: {rmboldF}(s) = □[f`(t)]=int_0-^inf f`(t) ``e^-st dt`]

(하한 [eqn: 0-]는 특이함수를 위해 필요)

[eqn: HOOKRIGHT] [eqn: f`(t)]의 라플라스 변환은 [eqn: f`(t)<0-`]의 값과는 무관.

[eqn: cdot]라플라스 역변환(Inverse Laplace transform) : [eqn: f`(t)=□^-1 {rm[boldF}(s)]]

[eqn: cdot]라플라스 변환쌍(Laplace transform pair) :     [eqn: f`(t)~ LRARROW {rmboldF}(s)]

* [eqn: f`(t)]의 라플라스 변환[eqn: {rmboldF}(s)]의 존재는 수렴영역(region of convergence)이라고 하는 s-영역의 범위가 존재함을 의미.

[eqn: cdot][eqn: f`(t)]의 라플라스 변환 가능성에 대한 충분조건 :

1. [eqn: f`(t)]는 구분적(piecewise) 연속함수이다 ; 즉, [eqn: f`(t)]는 고립된 유한의 불연속점들[[eqn: f`(t_i + )]와 [eqn: f`(t_i -)]가 상이한 유한값인 점[eqn: "{"t_i`"}"]들]의 집합을 제외하고는 연속이다.

2. [eqn: f`(t)]는 지수차수의 함수이다 ; 즉, 충분히 큰 모든 [eqn: t`]에 대해 [eqn: f`(t)] 보다 크기가 더 큰 실수지수함수 [eqn: M``e^{sigma`t}`]가 존재한다.

[eqn: |f`(t) | <= M ``e^{ sigma t`}]

- 다행히, 대부분의 실제 관심 대상 함수들은 이러한 조건들을 만족하며, 따라서 라플라스 변환이 가능하다.

* 라플라스 변환 : 그림 12.1 ;

1) [eqn: f`(t)=e^-at `u(t)] : 그림 12.1 (a),

[eqn: {rmboldF}(s) &= int_0-^inf e^-at e^-st dt` = int_0-^inf e^-(s+a)t dt` ##&= - 1 over s+a e^-(s+a)t bigg|_0-^inf = 1 over s+a left[e^-(s+a)0- -e^-(s+a)inf right]]

□[eqn: t=inf`]에서의 값을 구하기 위해, [eqn: s`]를 직각좌표계형식 [eqn: s=sigma+j omega`]로          쓰면,

[eqn: e^{-(s+a)t} =e^{-(sigma +a)t} e^{-j omega t}`]  [eqn: RARROW]  크기[eqn: =e^{-(sigma+a)t}`]

[eqn: THEREFORE ~~ under{lim_{t`->`inf} e^{-(sigma+a)t} =e^{-(sigma+a) inf} =0}, ~for~sigma+a `>`0`~(sigma =Re "{"s`"}" `>`-a `)]

따라서,

[eqn: {rmboldF}(s) = □[e^-at u(t)] = 1 over s+a`]

그림 12.1 (b),

[eqn: HOOKRIGHT] [eqn: {rmboldF}(s)]의 수렴범위 : [eqn: Re``"{"s`"}" `>-a`]

2) [eqn: f`(t)=u(t)] :

- 윗 식에서 [eqn: a=0`]라 두면,

[eqn: □[u(t)] = 1 over s`]

[eqn: cdot]극점(pole)과 영점(zero) :

- 극점(pole) :[eqn: {rmboldF}(s)=inf`]가 되는 s의 값 : [eqn: cases{{rmboldF}(s) = 1 over s+a ~~->~~s=-a` ## {rmboldF}(s)= 1 over s ~~->~~ s=0`}]

- 영점(zero) :[eqn: {rmboldF}(s)=0`]가 되는 s의 값 : [eqn: {rmboldF}(s)= s over s+a`~~->~~s=0`]

예제 12.1) [eqn: f`(t)=(e^-t +e^-2t `) u(t)]의 라플라스 변환을 구하라.

<해>

[eqn: cdot]라플라스 변환 :

[eqn: {rmboldF}(s) &= int_0-^inf (e^-t + e^-2t `) e^-st dt` ##&= int_0-^inf e^-t e^-st dt + int_0-^inf e^-2t e^-st dt` ##&= 1 over s+1 + 1 over s+2 = {2s+3} over {(s+1)(s+2)}]

[eqn: cdot]극점과 영점 :

[eqn: cases{rm"Poles"~:~it s=-1,~s=-2` ## rm"Zeros"~:~it s= - 3 over 2`}]

* 라플라스 변환의 선형성 :

[eqn: cdot][eqn: f`(t)=c_1 `f_1 (t) + c_2 `f_2 (t)]이면,

[eqn: {rmboldF}(s) &= int_0-^inf [c_1 f_1 (t) + c_2 `f_2 (t) ] e^-st dt` ## &= c_1 int from 0- to inf f_1 (t) e^-st dt + c_2 int from 0- to inf f_2 (t) e^-st dt` ##&= {c_1 rmboldF}_1 (s) {+ c_2 rmboldF}_2 (s)]

[eqn: □[c_1 `f_1 (t) +c_2 `f_2 (t) ] = {c_1 rmboldF}_1 (s) {+c_2 rmboldF}_2 (s)]

시간함수의 선형조합의 라플라스 변환은 각각의 라플라스 변환의 선형조합과 같다

예제 12.2) [eqn: sin omega t`]와 [eqn: cos omega t`]의 라플라스 변환을 구하라.

<해>

[eqn: cdot]지수함수에 관한 정현파(sinusoid) :

[eqn: cases{sin omega t = {e^{+j omegat} -e^{-j omega t}} over {2`j}` ## cos omega t={e^{+j omegat} +e^{-j omega t}} over 2}`]

[eqn: cdot]선형성에 의해,

[eqn: □[sin omega t] &= □ left[ 1 over 2j (e^{+j omega t} -e^{-j omega t}`) right] = 1 over {2`j} left(1 over {s-j omega} - 1 over {s+j omega} right) ##&= omega over {s^2 + omega^2}`]

[eqn: □[cos omega t] &= □ left[ 1 over 2 (e^{+j omega t} + e^{-j omega t}``) right] = 1 over 2 left(1 over {s-j omega} + 1 over { s+ j omega} right) ##&= s over {s^2 +omega^2}`]

*[eqn: cosh at`] (hyperbolic cosine)과 [eqn: sinh at`] (hyperbolic sine)의 라플라스 변환

[eqn: cdot]지수함수에 관해 :

[eqn: cases{cosh at = 1 over 2 (e^+at + e^-at `) ## sinh at = 1 over 2 (e^+at -e^-at `)}]

[eqn: cdot]선형성에 의해,

[eqn: cases{□[cosh at ] = 1 over 2 left( 1 over s-a + 1 over s+a right) = s over {s^2 - a^2}` ## □[sinh at] = 1 over 2 left( 1 over s-a - 1 over s+a right) = a over {s^2 - a^2}`}]

12.2 특이함수

* 특이함수(singularity function) : 단위스텝함수를 반복하여 적분하고 미분                                  하여 얻는 함수들.

[eqn: cdot]단위스텝함수 [eqn: u(t)]의 반복 적분

- 단위스텝함수(unit step function) : 그림 12.2 (a) ;

[eqn: u(t)= cases{0,~~t<0` ## 1, ~~t>=0`}]

- 단위경사함수(unit ramp function) : [eqn: u(t)]의 적분 : 그림 12.2 (b) ;

[eqn: r`(t)= int from 0- to t u(tau) `d tau = int from 0- to t 1 `d tau = t, ~~t>= 0`]

- 단위포물선함수(unit parabola function) : [eqn: r(t)]의 적분 : 그림 12.2 (c) ;

[eqn: p(t) = int from 0- to t r`(tau) d tau = int from 0- to t tau ``d tau = {t^{2}} over 2 , ~~ t`>=`0`]

[eqn: cdot]특이함수들은 [eqn: t`<`0`]에 대해 모두 0 이다.

[eqn: cases{r`(t)=t``u(t) ## p(t)= 1 over 2 t^{2} u(t)}]  : 점 [eqn: t=0`]는 특이점이다.

[eqn: cdot]계속 적분

- 단위세제곱함수(unit cubic function) : 단위포물선함수의 적분

[eqn: t^{3} over 6 u(t)]

- 단위4차함수(unit quartic function) : 단위세제곱함수의 적분

[eqn: t^{4} over 24 u(t)]

예제 12.3) 다음 그림 12.3의 함수 [eqn: f`(t)]를 스텝함수, 경사함수 및 포물선함수의 선형조합으로 나타내어라.

[eqn: f`(t) &= 0,~~~~~~~~~~-inf `<` t `<` 1 ## &= t^{2} -2t+1, ~~1`<=`t`<`3` ## &=-2t +10,~~~~3`<=`t`<6` ## &=2, ~~~~~~~~~~~6`<=`t`<`inf`]

<해>

[eqn: cdot]각각의 부분구간에 대한 표현식

1) [eqn: 1`<=`t`<=`3`] : 포물선함수

[eqn: f(t)=2 `p(t-1) =2 left[ 1 over 2 (t-1)^2 right] = under{t^{2}-2t+1},~~1`<=`t`<=`3`]

2) [eqn: 3`<=`t`] : [eqn: t^{2}`] 항은 없어져야 한다.

[eqn: THEREFORE ~~f(t)=2` p(t-1)-2`p(t-3)=(t-1)^2 -(t-3)^2 =under{4t-8`}.~~3`<=`t`]

3) [eqn: 3`<=`t`<=`6`] : 기울기[eqn: =-2`]를 위해 [eqn: -6 `r`(t-3)]을 더해야 한다.

[eqn: f(t)=2 p(t-1) -2p(t-3)-6`r`(t-3) =(t-1)^2 -(t-3)^2]

4) [eqn: 6`<=`t`] : 기울기[eqn: =0`]를 위해 [eqn: 2`r`(t-6)]을 더해야 하고,

[eqn: -2t+10 bigg|_t=6 =-2`]이므로, [eqn: +4 u(t-6)]을 더해야 한다.

[eqn: THEREFORE ~~under{f`(t)=2 `p(t-1)-2`p(t-3)-6`r`(t-3)+2`r`(t-6)+4`u(t-6)}]

* [eqn: u(t)]의 거듭 미분

- 단위임펄스함수(unit impulse function) : [eqn: delta(t)]

[eqn: delta(t) = d over dt u(t)]

[eqn: HOOKRIGHT] 단위계단함수[eqn: u(t)]는 [eqn: t=0`]에서 뛰어오르므로(jump), [eqn: delta(t)]는 [eqn: t=0`]를 제외한 모든 [eqn: t`]에 대해 0 이다. 또한 [eqn: t=0`]에서의 [eqn: delta(t)]의 값은 통상적인 수학적 개념에서는 잘 정의되지 않는다.

[eqn: cdot]단위스텝형함수(변형된 경사함수) [eqn: v(t)] : 그림 12.4 ;

[eqn: v(t) = 1 over {2 TRIANGLE } [r`(t +TRIANGLE)-r`(t-TRIANGLE)]]

[eqn: d(t)= d over dt v(t)= 1 over 2TRIANGLE [u(t+TRIANGLE)-u(t-TRIANGLE)]]

[eqn: cdot]△가 0으로 감에 따라, [eqn: delta(t)]는 [eqn: d(t)]의 극한이므로,

[eqn: cases{delta(t)=0,~~rm"for all "it t`!=`0` ## int from -inf to +inf delta(t) dt = 1,~(t=0)}]

[eqn: TRIANGLE `->`0`]이 됨에 따라, 단위임펄스함수 [eqn: delta(t)]는 무한대의 높이와 무한히 좁은 단위면적의 펄스이다.

그림 12.5 ;

[eqn: cdot]단위임펄스함수는 단위스텝함수의 도함수이므로,

[eqn: u(t) = int from -inf to t delta (tau) d tau`]

[eqn: cdot]임펄스의 곱셈법칙 (샘플링 : sampling)

- [eqn: t=0`]를 제외한 모든 [eqn: t`]에 대해 [eqn: delta(t)=0`]이므로,

[eqn: cases{f`(t) delta(t) = f`(0) delta(t) ## f`(t) delta(t-t_0 `) = f`(t_0 `) delta(t-t_0 `)}]

예제 12.4) 일반화 미분 [eqn: d over dt [cos t ``u(t)]]를 계산하고, 이것이 다음과 같은 미적분의     기본정리를 따른다는 것을 증명하라.

[eqn: under{int from -inf to t d over {d tau} [cos(tau) u(tau)] d tau = cos(t) `u(t)}]

<해>

[eqn: cdot][eqn: cost ``u(t)]는 [eqn: t=0`]에서 도약(jump)의 불연속을 가지므로, 미분가능이 아니다.

[eqn: cdot]한가지 방법은 이 함수를 정규미분이 되는 연속함수와 일반화 미분이 단위임펄스함수 [eqn: delta(t)]가 되는 단위스텝함수의 합으로 나타내는 것이다.

[eqn: cos(t) `u(t) = f`(t) + u(t)]

여기서 [eqn: f(t)]는 연속함수이다.

[eqn: f(t) = cases{0,~~~~~~~~~~t`<`0` ## cos(t)-1, ~~t`>=`0}`]

[eqn: HOOKRIGHT] [eqn: f(t)]는 도약(jump)이 없으며, 따라서 정규함수 개념에서 미분가능하다.

[eqn: d over dt [cos(t) `u(t)] &= d over dt f(t) + d over dt u(t) ## &=-sin(t) u(t) + delta(t)]

그림 12.6 ;

[eqn: cdot]이 도함수를 적분,

[eqn: int from -inf to t d over {d tau} [ cos( tau) u(tau)] d(tau) &= - int from -inf to t sin(tau) u(tau)d(tau) + int from -inf to t delta(tau) d tau` ##&=- int_0^t sin(tau) d(tau) + u(t) ##&= [cos (tau)]_0^t + u(t) ##&=[cos(t) -1]u(t) +u(t) ##&=cos(t) u(t)]

[eqn: cdot]라이프니츠의 법칙(Leibniz's rule : 미분을 위한 곱의 법칙)에 의한

미분 계산.

[eqn: d over dt cos(t) u(t) &= left[ d over dt cos (t) right] u(t) + cos(t) left[ d over dt u(t) right]## &= `-sin(t) u(t) + cos(t) delta(t) ##& =`-sin(t) u(t) + delta(t)]

* 선별성(sifting property)

[eqn: int_-inf^inf f`(t) delta(t - t_0 ) dt = int_-inf^inf f`(t_0 ) delta(t- t_0 )dt =f`(t_0 ) under{int_-inf^inf delta(t-t_0 ) `dt`}]

따라서,

[eqn: int_-inf^inf f`(t) delta (t-t_0 ) dt = f`(t_0 )]

적분 내의 임펄스의 효과는 특이점에서 계산한 피적분함수의 나머지 부분의 값을 그 적분값으로 선별 또는 선택한다는 것이다.

예제 12.5) 다음 적분을 계산하라.

[eqn: int_-9^+inf 5 ``log (t) delta (t -10) dt`]

<해>

[eqn: int from -9 to +inf 5 log (t) delta(t - 10) dt &= 5 log(10) int_-9^+inf delta(t-10) dt` ##&= 5 log(10)=5`]

* 고차특이함수(higher-order singularity function)

[eqn: cdot]단위더블릿함수(unit doublet function) [eqn: delta' (t)]와 그 선별성

[eqn: delta prime (t) = d over dt delta (t)]  : 단위임펄스함수의 미분

[eqn: int_-inf^inf f`(t) delta prime (t-t_0 )dt = - f ``' (t_0 )]

단위임펄스가 그 특이점의 함수값을 선별하는 것과 같이, 임펄스의 미분인 단위더블릿은 그 특이점에서의 미분에 [eqn: -1`]을 곱한 값을 선별한다.

[eqn: cdot]나머지 고차특이함수들 [eqn: delta^(2) (t), delta^(3) (t), cdots] 등도 선별성을 갖고 있어, 그 특이점에서 고차 미분값을 골라낸다.

* 미분에 대한 라플라스 변환

[eqn: □ left[ d over dt f(t) right] {=s rmboldF}(s) - f(0-)]

<증명>  [eqn: int_a^b u ``dv = u `v bigg|_a^b - int_a^b v ``du`] 이므로,

[eqn: int_0-^inf d over dt f`(t) e^{-s t} dt` &= int_0-^inf under{e^{-st}}``under{d f`(t)} ##&= f`(t) e^{-st } bigg|_0-^inf + s under{int from 0- to inf f(t) e^{-st } dt}` ##&={s rmboldF}(s) -f(0-)]

* 적분에 대한 라플라스 변환

[eqn: □ left[int_0-^t f(tau) `d tau right] = {{rmboldF}(s)} over s `]

* 특이함수의 라플라스 변환

- [eqn: □[u(t)]= 1 over s`] 이므로,

[eqn: cases{{rmboldR}(s)= □[r(t)] = □ left[int_0-^t u(t) dt right]= 1 over s cdot 1 over s = 1 over s^2` ## {rmboldP}(s)=□ left[int_0-^t r(t) dt right] = 1 over s cdot 1 over s^2` = 1 over s^3`}]

- 그리고

[eqn: □[delta(t)] = □left[ d over dt u(t) right]= s cdot 1 over s - 0 = 1`]

- 따라서,

[eqn: cases{□[delta' (t)] =□ left[ d over dt delta(t) right]=s cdot 1 =s` ## □[delta''(t)]=□[delta^(2) (t)] =□ left[ d over dt delta'(t) right]=s cdot s =s^2` ## □[delta'''(t)]=□[delta^(3) (t)] =□ left[ d over dt delta^(2) (t) right]=s cdot s^2 =s^3`}]

예제 12.6) 다음 미분의 라플라스 변환을 구하라.

1) [eqn: under{d over dt [cosh t ``u(t)]}],   2) [eqn: under{d^{2} over dt^{2} [sinh t ``u(t)]}]

<해>

1) [eqn: d over dt [cosh t ``u(t)]]의 라플라스 변환 :

[eqn: □ left[ d over dt cosh t ``u(t) right] &= s □[cosh t ``u(t)]- cosh(0-)`u(0-) ##&= s^2 over {s^2 -1^2}, ~~( BECAUSE ~u(0-)=0`)]

- 또 다른 방법 :

[eqn: d over dt [cosh t ``u(t)] &= d over dt left[ 1 over 2 left(e^t + e^-t ``right) `u(t) right] ##&= 1 over 2 [(e^t -e^-t `)u(t) +(e^t +e^-t `) delta(t)]##&= {e^t -e^-t} over 2 u(t) + {(e^0 + e^-0 )} over 2 delta(t) ##&=sinh t ``u(t) + delta(t)]

[eqn: THEREFORE ~~□left[d over dt cosh t ``u(t) right] &= □[sinh t ``u(t)+delta(t)]=□[sinh t u(t)] +□[delta(t)] ##&= 1 over {s^2 -1} +1 = s^2 over {s^2 -1}`]

2) [eqn: d^{2} over dt^{2} [sinh t ``u(t)]]의 라플라스 변환 :

[eqn: □ left[ d over dt sinh t ``u(t) right] &= s □ left[sinh t ``u(t) right]- sinh(0-) u(0-) ##&= s over {s^2 - 1^2}`]

따라서,

[eqn: □ left[d^{2} over dt^{2} sinh t ``u(t) right] &= s □ left[ d over dt sinh t ``u(t) right] - d over dt sinh(t) right|_t=0- u(0-) ##&= s^2 over {s^2 -1^2}`]

12.3 기타 변환성질과 변환쌍

1. 시간 변이(time shift) : 그림 12.7 ;

[eqn: □[f`(t-t_0 ) `u(t-t_0 )] {= e^-st_0 rmboldF}(s),~~t_0 >0`]

[eqn: t`<`0`]일 때 0이 되고, 오른쪽으로 변이(지연)된 시간함수의 라플라스 변환은 원래의 변환에 복소지수를 곱하면 된다.

<증명>

[eqn: int from 0- to inf f`(t - t_0 ) `u(t - t_0 ) `e^-st dt &= int from t_0 to inf f`(t-t_0 ) `e^-st dt`]

- 만약 [eqn: tau=t-t_0`]라 두면, [eqn: t=tau+t_0`] 이고 [eqn: dt = d tau`]이다.

[eqn: THEREFORE ~~int_{t_0}^{inf} f`(t-t_0 )`e^-st dt` &=int_0^inf f`(tau) e^{-s(tau+t_0 `)} d tau` ##&= e^-st_0 int_0^inf f`(tau) e^{-s tau} `d tau` ##&= {e^-st_0 rmboldF}(s)]

2. 주파수 변이(frequency shift)

[eqn: □[e^{-s_0 t} f`(t)]{=rmboldF}(s+s_0 )]

s-영역에서의 주파수 변이는 시간영역에서 복소지수를 곱한 것에 대응한다.

예제 12.7) 다음 그림 12.8의 계단형 펄스 g(t)의 라플라스 변환을 시간변이성을 사용하여 구하라.

<해>

[eqn: cdot][eqn: u(t)]에 관한 [eqn: g(t)]의 표현식

[eqn: g(t) = 2 u(t-1) + 2u(t-3) -2 u(t-5) -2u(t-7)]

[eqn: THEREFORE ~{rmboldG}(s) =□[g(t)] = 2 over s left(e^-s + e^-3s - e^-5s - e^-7s `right)]

* [eqn: cos omega t ```f`(t)]의 라플라스 변환 : 변조(modulation)

[eqn: cdot]지수함수에 관한 표현식

[eqn: cos omega t ``f`(t) = 1 over 2 left[e^{j omega t} f`(t) + e^{-j omega t} f`(t) right]]

[eqn: THEREFORE ~~□[cos omega t ``f`(t)] &= 1 over 2 left[int_0-^inf f`(t) e^{j omega t} e^-st dt + int_0-^inf f`(t) e^{-j omega t} e^-st dt right] ##&= 1 over 2 left[int_0-^inf f`(t) e^{-(s-j omega)t} dt + int_0-^inf f`(t) e^{-(s+j omega)t} dt right] ##&= 1 over 2 {[rmboldF}(s-j omega) {+rmboldF}(s+j omega)]]

[eqn: cdot][eqn: f`(t)=r`(t)=t`u(t)] 일 때 라플라스 변환

[eqn: □[cos omega t cdot r`(t)] &=□[t `cos omega t ``u(t)] = 1 over 2 left[1 over {(s-j omega)^2} + 1 over {(s+j omega)^2} right] ## &={s^2 -omega^2} over {(s^2 +omega^2 )^2 }`]

3. 시간-주파수 스케일링

[eqn: □[f`(ct)] = {1 over c rmboldF} `left(s over c right),~~c>0`]

<증명>

[eqn: □[f`(ct)] &= int from 0- to inf f`(ct) e^-st dt` = int from 0- to inf f`(tau) e^{-s tau/c} {d tau} over c ,~~(tau= ct`) ##&= 1 over c int_0-^inf f`(tau) ``e^{- s over c tau} d tau` {= 1 over c rmboldF} `left( s over c right)]

[eqn: cdot]시간 눈금을 압축(확장)하는 것은 주파수 눈금을 동일한 인자로 확장(압축)하게 된다.

[eqn: cdot][eqn: c`>`1`]인 값은 시간 압축에 해당하고, [eqn: c`<`1`]인 값은 시간 확장에 해당한다.

([eqn: c`] : 시간압축인자 )

예) [eqn: g`(t)=f`(3t)] : [eqn: f`(t)]의 3배 압축된 함수.

예제 12.8) [eqn: c`>`1`]인 스케일 인자로 [eqn: f`(t)=u(t)-u(t-1)]을 압축하고, 동시에 동일한 인자 [eqn: c`]로 진폭 스케일을 압축하면, [eqn: g(t)=c ``f`(ct)] [[eqn: c~->~inf`]로 됨에 따라, [eqn: g(t)~->~delta(t)]]를 얻는다. [eqn: g(t)]의 라플라스 변환을 구하라.

<해>

[eqn: cdot]시간변이성에 의해,

[eqn: {rmboldF}(s) =□[u(t)-u(t-1)]= 1 over s - e^-s over s`]

[eqn: cdot]시간-주파수 스케일링에 의한 [eqn: g(t)=c`f`(ct)]의 라플라스 변환

[eqn: {rmboldG}(s)=□[c `f`(ct)]= c `left[1 over c left(1 over (s/c) - e^{-s/c} over (s/c) right) right] = c over s (1 - e^-s/c `)]

[eqn: HOOKRIGHT]  If [eqn: c=2`], [eqn: {rmboldG}(s)= 2 over s (1 - e^-s/2`)]

[eqn: cdot][eqn: c`]가 매우 커질 때 [eqn: G(s)]의 값

- Taylor series :  [eqn: e^x = 1 + x + x^2 over 2! + x^3 over 3! + cdots]

- [eqn: x=-s/c`] 일 때,

[eqn: {rmboldG}(s) &= c over s left[1 - left( 1 - s over c + s^2 over {2!c^2 } - s^3 over {3! c^3 } + cdots right) right] ##&= 1 - s over {2!c} + s^2 over {3! c^2} - cdots]

[eqn: under{lim_{c`->`inf} {rmboldG}(s)=1},~~ LRARROW ~~□[delta(t)]=1`]

4. [eqn: t`]의 곱([eqn: t`]-multiplication)

[eqn: □[t ``f`(t)] = {- d over ds rmboldF}(s)]

<증명>

[eqn: {- d over ds rmboldF}(s) &=`- d over ds left[int_0-^inf f`(t) e^-st dt right] ##&= -int_0-^inf f(t) d over ds left[e^-st `right] dt` ##&=int_0-^inf t ``f`(t) `e^-st dt` ##&=□[t``f`(t)]]

예제 12.9) [eqn: n=1,2,3, cdots] 에 대한 [eqn: t`^n e^-at`]의 라플라스 변환을 구하라.

<해>

[eqn: cdot][eqn: □[e^-at `]= 1 over s+a`] 이므로, [eqn: t`]의 곱 성질에 의해,

[eqn: cases{□[t`e^-at `]= - d over ds 1 over s+a = 1 over (s+a)^2` ## □[t`^2 `e^-at `] = □[t`(t`e^-at `)] = - d over ds 1 over (s+a)^2 = 2 over (s+a)^3` ## □[t`^3 e^-at `]= - d over ds 2 over (s+a)^3 = (3)(2) over (s+a)^4`}]

- 일반적으로,

[eqn: □[t`^n e^-at `] = n! over (s+a)^n+1`]

표 12.1 라플라스 변환성질

	[eqn: f(t)]	[eqn: {rmboldF}(s)]
1. Linearity	[eqn: c_1 f_1 (t) +c_2 f_2 (t)]	[eqn: {c_1 rmboldF}_1 (s) {+c_2 rmboldF}_2 (s)]
2. Differentiation	[eqn: d over dt f`(t)]	[eqn: {s rmboldF}(s) - f(0-)]
3. [eqn: n`]-Fold differentiation	[eqn: d^n over dt^n f`(t)]	[eqn: {s^n rmboldF}(s) - s^n-1 f`(0-) - s^n-2 f`'(0-) #-cdots - s `f^(n-2) (0-) - f^(n-1) (0-)]
4. Integration	[eqn: int_0-^t f`(tau ) d tau`]	[eqn: {{rmboldF}(s)} over s`]
5. Time shift	[eqn: f`(t - t_0 ) `u(t -t_0 ),~ t_0 >0]	[eqn: {e^{-s t_0} rmboldF}(s)]
6. Frequency shift	[eqn: e^{-s_0 t} f`(t)]	[eqn: {rmboldF}(s+s_0 )]
7. Time-frequency scaling	[eqn: f`(ct), ~c>0]	[eqn: {1 over c rmboldF} `left(s over c right)]
8. [eqn: t`]-Multiplication	[eqn: t `f`(t)]	[eqn: {- d over ds rmboldF}(s)]
9. [eqn: n`]-Fold [eqn: t`]-multiplication	[eqn: t`^n f`(t)]	[eqn: {(-1)^n d^{n} over ds^n rmboldF}(s)]

예제 12.10) [eqn: f(t)=(t-3)^2 `e^-2t `u(t-3)]에 대한[eqn: {rmboldF}(s)]를 구하라.

<해>

[eqn: cdot]표 12.2의 13번에서, [eqn: n=3`] 및 [eqn: a=2`] 이므로,

[eqn: □ left[ 1 over (n-1)! t^{n-1} e^-at right]_{n=3,a=2}` &=□left[ 1 over 2 t^{2} e^-2t right] ##&= 1 over {(s+a)^n}` ##&= 1 over (s+2)^3`]

[eqn: THEREFORE ~□ left[1 over 2 (t-3)^2 e^-2(t-3) u(t-3) right] &=□left[ 1 over 2 t^{2} e^-2t right]_{t``->``(t-3)} ##&= e^-3s over (s+2)^3`]

[eqn: THEREFORE ~□[(t-3)^2 e^-2t u(t-3)] &=□ left[left{ 1 over 2 (t-3)^2 e^-2(t-3) u(t-3) right} times 2 `e^-6 right] ##&=□ left[1 over 2 (t-3)^2 e^-2(t-3) u(t-3) right] times 2 `e^-6` ##&= e^-3s over (s+2)^3 times 2` e^-6` ##&= 2e^-3(s+2) over (s+2)^3]

표 12.2 라플라스 변환쌍

	[eqn: f(t)]	[eqn: {rmboldF}(s)]
Singularity functions
1. Unit impulse	[eqn: delta (n)]	[eqn: 1`]
2. Unit step	[eqn: u(t)]	[eqn: 1 over s`]
3. Unit ramp	[eqn: r(t) = t `u(t)]	[eqn: 1 over s^2`]
4. Unit Parabola	[eqn: p(t) = 1 over 2 t^{2} u(t)]	[eqn: 1 over s^3`]
5. [eqn: n^th`] Integral of impulse	[eqn: delta^(-n) (t)]	[eqn: 1 over s^n`]
6. Unit doublet	[eqn: delta`' (t)]	[eqn: s`]
7. [eqn: n^th`] Derivative of impulse	[eqn: delta^(n) (t)]	[eqn: s^n`]
Ordinary functions
8. Constant	1	[eqn: 1 over s`]
9. [eqn: t`]	[eqn: t`]	[eqn: 1 over s^2`]
10. Power of [eqn: t`]	[eqn: t^{n-1} / (n-1)!]	[eqn: 1 over s^n`]
11. Exponential	[eqn: e^-at`]	[eqn: 1 over s+a`]
12. [eqn: t`]-Multiplication exponential	[eqn: t`e^-at`]	[eqn: 1 over (s+a)^2`]
13. Repeated[eqn: t`]-multiplica- tion exponential	[eqn: 1 over {(n-1)!} t^{n-1} e^-at`]	[eqn: 1 over (s+a)^n`]
14. Sine	[eqn: sin omega t`]	[eqn: omega over {s^2 + omega^2}`]
15. Cosine	[eqn: cos omega t`]	[eqn: s over {s^2 + omega^2}`]
16. Sinusoid	[eqn: sqrt{c^{2} + d^{2} } cos left( omega t - tan^-1 d over c right)]	[eqn: {cs + d omega} over {s^2 + omega^2}`]
17. Damped sine	[eqn: e^-at sin omega t`]	[eqn: omega over {(s+a)^2 + omega^2}`]
18. Damped cosine	[eqn: e^-at cos omega t`]	[eqn: s+a over {(s+a)^2 + omega^2}`]
19. Damped sinuoid	[eqn: sqrt{c^2 + d^{2} } e^-at cos left( omega t - tan^-1 d over c right)]	[eqn: {c(s+a)+d omega} over {(s+a)^2 + omega^2}`]
20. [eqn: t`]-Multiplicated sine	[eqn: t `sin omega t`]	[eqn: {2 omega s} over {(s^2 + omega^2 `)^2}`]
21. [eqn: t`]-Multiplicated cosine	[eqn: t `cos omega t`]	[eqn: {s^2 - omega^2} over {(s^2 + omega^2 `)^2}`]

예제 12.11) [eqn: {rmboldF}(s)= {(s^2 +3)} over {(s^2 +4)}]의 역변환 [eqn: f`(t)]를 구하라.

<해>

[eqn: cdot]14번과 15번의 sine과 cosine에 대해,

[eqn: cases{□[sin omega t]= omega over {s^2 + omega^2}` ## □[cos omega t]= s over {s^2 +omega^2}`}], 그리고[eqn: {rmboldF}(s) = under{s^2 over {s^2 +4}} + under{3 over {s^2 + 4}`}]

[eqn: cdot]첫 번째 항에 대해, [eqn: g(t)= d over dt cos 2t`] 라 두면,

[eqn: {rmboldG}(s) &=□ left[d over dt cos 2 t right] =s □[cos 2 t]-cos (0-) ##&= s `left(s over {s^2 +4} right) - cos(0-) = s^2 over {s^2 +4 } -1]

[eqn: cdot]두 번째 항에 대해, [eqn: h(t)= 3 over 2 sin 2t`] 라 두면,

[eqn: □ left[3 over 2 sin 2t right]= 3 over {s^2 +4}`]

[eqn: cdot]따라서,

[eqn: □^-1 `left[left(s^2 over {s^2 +4 } -1 right)+ 3 over {s^2 +4 } right] = d over dt cos 2t + 3 over 2 sin 2t`]

[eqn: □^-1 `left[s^2 over {s^2 +4} + 3 over {s^2 +4} right] &=□^-1 left[1 + left(s^2 over {s^2 +4} -1 right) + 3 over {s^2 +4} right] ##&=delta (t) + d over dt cos 2t + 3 over 2 sin 2t` ##&= delta(t) - 2 sin 2t + 3 over 2 sin 2t`]

[eqn: THEREFORE ~~under{□^-1 `left[ { s^2 + 3} over {s^2 +4 } right] = delta (t) - 1 over 2 sin 2t`}]

12.4 부분분수 전개

* 분수함수(rational function)

[eqn: {rmboldF}(s)= {a_m `s^m + a_m-1 s^m-1 + cdots + a_1 s + a_0} over {b_n `s^n + b_n-1 s^n-1 + cdots + b_1 s + b_0}`]

여기서

[eqn: {rmboldF}(s) = cases{rm"proper"~:~it n`>`m` ## rm"improper"~:~it otherwise}`]

* proper : 적합, 진분수,    improper : 부적합, 가분수

[eqn: cdot]부분분수 전개는 역변환에 필요.

[eqn: cdot]가분수[eqn: {rmboldF}(s)]는 먼저 나누기를 하여 부분분수 전개를 위한 준비를 하여야 한다.

예제 12.12) 가분수[eqn: {rmboldF}(s)= {3s^3 +2s +1} over {s^2 +s+2}`]를 나누기하라.

<해>

[eqn: cdot]나누기는 가분수함수를 다항식과 진분수함수의 합으로 바꾼다.

[eqn: THEREFORE ~{rmboldF}(s) = 3s - 3 + (-s+7) over {s^2 +s+2}`]

[eqn: cdot]만약[eqn: {rmboldF}_1 (s)=3s-3`]라 두면,

[eqn: f_1 (t) =□^-1 {[rmboldF}_1 (s)] =3 delta`' (t) -3 delta(t)]

* 부분분수 전개의 기본 개념은[eqn: {rmboldF}(s)]를 간단한 유리함수, 즉 쉽게 역변환할 수 있는 부분분수들의 합으로 나타내는 것이다.

1) 단순실극점(simple real pole)

* [eqn: {rmboldF}(s) = 2(s+10) over {(s+1)(s+4)}]의 라플라스 역변환을 구하라.

(극점 : [eqn: p=-1`,-4`][eqn: <-] 단순실극점)

[eqn: cdot]변환함수가 진분수이므로, 부분분수도 진분수.

[eqn: {rmboldF}(s) = 2(s+10) over {(s+1)(s+4)} = A over s+1 + B over s+4`]

[eqn: cdot]상수 [eqn: A`]와 [eqn: B`]는 다음과 같이 구해진다.

[eqn: cases{{(s+1) times rmboldF}(s) = (s+1) times 2(s+10) over (s+1)(s+4) = 2(s+10) over {(s+4)} = A + B(s+1) over {(s+4)} ## {(s+4) times rmboldF}(s) =(s+4) times 2(s+10) over (s+1)(s+4) = 2(s+10) over {(s+1)} = A(s+4) over {(s+1)} + B`}]

[eqn: THEREFORE ~~cases{A {=(s+1) times rmboldF}(s) bigg|_s=-1 = 2(s+10) over s+4 bigg|_s=-1 = 2(9) over 3 = 6` ## B ={(s+4) times rmboldF}(s) bigg|_s=-4 = 2(s+10) over s+1 bigg|_s=-4 = 2(6) over -3 = -4`}]

[eqn: cdot]따라서, 부분분수 전개

[eqn: {rmboldF}(s) = 6 over s+1 - 4 over s+4`] [eqn: RARROW]  [eqn: under{f`(t) = 6 `e^-t - 4 `e^-4t`}]

[eqn: {rmboldF}(s)] 내의 각각의 단순실극점 [eqn: p`]에 대해, 그 부분분수 전개에는[eqn: A{=(s-p) rmboldF}(s)|_s=p`]인 [eqn: A/(s-p)] 항이 존재하며, 그 역변환에는 [eqn: A`e^+pt`] 항이 존재한다.

2) 켤레복소극점의 단순쌍

[eqn: CDOT]복소극점들은 켤레쌍으로 생기며, 전개식에서 대응하는 계수들은 켤레복소수이다.

[eqn: {rmboldF}(s) = A over {s-alpha-j beta} + B over {s-alpha +j beta`}]

여기서

[eqn: cases{A=(s-alpha-j beta`) {times rmboldF}(s) bigg|_{s=alpha +j beta}` ## B=(s-alpha+j beta`) {times rmboldF}(s) bigg|_{s=alpha -j beta}=A^*`}]

[eqn: cdot]역변환 ;

[eqn: f`(t) &=A`e^{(alpha+j beta `)t}+ A^* e^{(alpha -j beta`)t} =A e^{(alpha+j beta)t}+ left(A e^{(alpha+j `beta)t} `right)^*` ##&=2 `Re``[A`e^{(alpha+j beta`)t}`]]

- If [eqn: A=|A|e^{j theta}`],

[eqn: f`(t)=2 `Re``[|A| e^{alpha t} e^{j (beta t + theta)}] = 2 `|A| `e^{ alpha t } cos ( beta t + theta)]

[eqn: {rmboldF}(s)] 내의 켤레복소극점의 각 단순쌍(중복근이 아닌) [eqn: p=alpha+j beta`],[eqn: p^* =alpha-j beta`]에 대해, 그 부분분수 전개에는 [eqn: A={(s-p) rmboldF}(s) bigg|_s=p`]인 [eqn: A/(s-p)+A^* /(s-p^* )] 항이 존재한다. 이 극점쌍 때문에 그 역변환에서는 단일항 [eqn: 2|A|e^{alpha t} cos(beta t +angle A)]가 존재한다.

예제 12.13) 라플라스 역변환을 구하라.

[eqn: {rmboldF}(s) = s over {(s+1)(s^2 +2s +2)}]

<해>

[eqn: cdot]부분분수 전개

[eqn: {rmboldF}(s) &= s over {(s+1)(s^2 +2s+2)} = s over {(s+1)(s+1-j`1)(s+1+j`1)} ##&= A over s+1 + B over {s+1-j`1} + B^* over {s+1+j`1}`]

[eqn: cases{A={(s+1) times rmboldF}(s) bigg|_s=-1 = s over {s^2 +2s+2} bigg|_s=-1 = -1` ## B ={(s+1-j ``1) times rmboldF}(s) bigg|_{s=-1+j``1}` = s over {(s+1)(s+1+j`1)} bigg|_{s=-1+j`1}` ##~``= {1-j`1} over 2 = 1 over sqrt{2} rm angle -45^o`}]

[eqn: cdot]따라서, 역변환 ;

[eqn: f`(t) &=A e^-t + 2 Re`[ B `e^{(-1+j`1)t}`] ## &=-e^-t + 2 Re `left[1 over sqrt 2 e^-t angle t - rm 45^o right] ## &=-e^-t + sqrt{2} e^-t cos(t- rm 45^o )]

[eqn: cdot]다른 형식 :

[eqn: f`(t) &=-e^-t +sqrt2 `e^-t `(cost rm cos 45^o + sint rm sin 45^o ) ## &=under{-e^-t +e^-t `(cos t + sint)}]

3) 중복극점(repeated pole 또는 multiple pole)

* [eqn: r`] 차의 중복극점 [eqn: p`]에 대한 부분분수 전개

[eqn: {rmboldF}(s)= {{rmboldN}(s)} over {{rmboldD}_1 (s)(s-p)^r} = A_r over (s-p)^r + A_r-1 over (s-p)^r-1 + cdots + A_1 over {s-p} {+ rmboldF}_1 (s)]

[eqn: cdot][eqn: A_i`]의 결정

- 함수를 다음과 같이 정의하면,

[eqn: {rmboldR}(s) &={rmboldF}(s) times (s-p)^r` ##&=A_r + A_r-1 (s-p) + A_r-2 (s-p)^2 + cdots ##&~~~~~+A_2 (s-p)^r-2 + A_1 (s-p)^r-1 {+ rmboldF}_1 (s) (s-p)^r`],

1) [eqn: under{A_r`}] : [eqn: under{A_r {= rmboldR}(s) |_s=p`}]

2) [eqn: under{A_r-1`}] :

[eqn: {{d rmboldR}(s)} over ds &=A_r-1 + A_r-2 cdot 2 (s-p) + cdots +A_2 cdot (r-2) (s-p)^r-3 ##&~~+ A_1 cdot (r-1)(s-p)^r-2 + d over ds {[rmboldF}_1 (s) (s-p)^r`]]

[eqn: THEREFORE ~~under{A_r-1 = {{d rmboldR}(s)} over ds bigg|_s=p`}]

3) [eqn: under{A_r-2`}] :

[eqn: {{d^{2} rmboldR}(s)} over ds^{2} &=A_r-2 cdot 2 cdot 1 + cdots +A_2 cdot (r-2) (r-3)(s-p)^r-4 ##&~~+ A_1 cdot (r-1)(r-2)(s-p)^r-3 + d^{2} over ds^{2} {rm[boldF}_1 (s) (s-p)^r`]]

[eqn: THEREFORE ~~under{A_r-2 = 1 over 2! {{d^{2} rmboldR}(s)} over ds^{2} bigg|_s=p`}]

[eqn: vdots]

4) [eqn: under{A_r-k`}] : [eqn: under{A_r-k = 1 over k! {{d^{k} rmboldR}(s)} over ds^{k} bigg|_s=p`}]

* 라플라스 역변환 (표 12.2의 13번 참조)

[eqn: □^-1 `left[ 1 over (s+a)^n right] = 1 over (n-1)! t^{n-1} `e^-at`] ,

[eqn: THEREFORE ~~cases{□^-1 `left[A_r over (s-p)^r right] =A_r cdot 1 over (r-1)! t^{r-1} `e^pt` ## □^-1 `left[A_r-1 over (s-p)^r-1 right] =A_r-1 cdot 1 over (r-2)! t^{r-2} `e^pt` ## □^-1 `left[A_r-2 over (s-p)^r-2 right] =A_r-2 cdot 1 over (r-3)! t^{r-3} `e^pt` ## ~~cdots}]

[eqn: {rmboldF}(s)] 내의 [eqn: r`]차의 각 극점 [eqn: p`]에 대해, 그 부분분수 전개에는 [eqn: A_k `/(s-p)^k ,k=1,2, cdots, r`]의 형식으로 된 [eqn: r`]개의 항이 있다. 분자는[eqn: A_k =d^{r-k}/ds^{r-k} (s-p)^r {rmboldF}(s) |_s=p`]로부터 구해진다. 그 역변환에서는[eqn: A_k ``t^{k-1} `e^pt , k=1,2,cdots,r`]의 형식으로 된 [eqn: r`]개의 대응하는 항이 있다.

예제 12.14) 다음 함수의 역변환을 구하라.  (중복극점 + 단순극점)

[eqn: {rmboldF}(s) = 3 over {(s+1)^2 (s+2)}]

<해>

[eqn: cdot]부분분수 전개 형식

[eqn: {rmboldF}(s) = A over{ (s+1)^2 } + B over s+1 + C over s+2`]

[eqn: cdot]분자의 결정

[eqn: under{{rmboldR}(s)= {(s+1)^2 times rmboldF}(s) = 3 over s+2 `}]

- [eqn: A`] :       [eqn: A{=rmboldR}(s) bigg|_s=-1 = 3 over s+2 bigg|_s=-1 = 3`]

- [eqn: B`] and [eqn: C`] :

i) 반복 미분법 [eqn: ->] [eqn: B`]

[eqn: THEREFORE ~~cases{B = {{d rmboldR}(s)} over ds bigg|_s=-1 = d over ds left( 3 over s+2 right) bigg|_s=-1 = -3 over (s+2)^2 bigg|_s=-1 = -3` ## C={(s+2) times rmboldF}(s) bigg|_s=-2 = 3 over {(s+1)^2 } bigg|_s=-2 = +3`}]

ii) 반복 뺄셈법 [eqn: ->] [eqn: B`]

- [eqn: {rmboldF}(s)= 3 over {(s+1)^2} + B over s+1 + C over s+2 `] 이므로,

[eqn: {rmboldF}_1 (s) &={rmboldF}(s)- 3 over (s+1)^2` ##&= 3 over {(s+1)^2 (s+2) } - 3 over {(s+1)^2}= B over s+1 + C over s+2]

[eqn: THEREFORE ~{rmboldF}_1 (s)= -3 over {(s+1)(s+2)} = B over s+1 + C over s+2`]

[eqn: THEREFORE ~~cases{B={(s+1) times rmboldF}_1 (s) bigg|_s=-1 = -3 over s+2 bigg|_s=-1 = -3` ## C={(s+2) times rmboldF}_1 (s) bigg|_s=-2 = -3 over s+1 bigg|_s=-2 = +3`}]

[eqn: cdot]부분분수 전개와 해

[eqn: {rmboldF}(s) = 3 over {(s+1)^2 } - 3 over s+1 + 3 over s+2`]

[eqn: THEREFORE ~~under{f`(t)=3t``e^-t -3`e^-t +3`e^-2t =3[(t-1)e^-t + e^-2t `]``}]

예제 12.15) 역변환을 구하라. (중복 켤레복소극점 + 단순극점)

[eqn: {rmboldF}(s)= 1 over {(s+1)(s^2 +2s+2)^2}`]

<해>

[eqn: cdot]2차항의 근

[eqn: s^2 +2s+2 &=(s+1-j`)(s+1+j`) ##&=[s-(-1+j`)]`[s-(-1-j`)] ##&=(s-p)(s-p^* )~~<-~~under{p=-1+j``1}]

[eqn: THEREFORE ~~(s^2 +2s+2)^2 = [(s-p)(s-p^* )]^2 =(s-p)^2 (s-p^* )^2`]

[eqn: cdot]부분분수 전개 형식

[eqn: {rmboldF}(s) &= 1 over {(s+1)(s-p)^2 (s-p^* )^2} ##&= A over {(s-p)^2} + B over (s-p) + A^* over {(s-p^* )^2} + B^* over {(s-p^* )}+ C over s+1`]

[eqn: cdot]분자의 결정

[eqn: A &={(s-p)^2 times rmboldF}(s) bigg|_s=p = 1 over {(s+1) (s-p^* )^2} bigg|_s=p` ##& = 1 over {(p+1) (p-p^* )^2} = 1 over {(j`1) (j`2)^2} = under{j 1 over 4`= 1 over 4 rm angle 90^o`}]

[eqn: B &= d over ds bigg[{(s-p)^2 times rmboldF}(s) right]_s=p = d over ds left[1 over {(s+1) (s-p^* )^2} right]_s=p` ##&= {-[(s-p^* )^2 + 2(s+1)(s-p^* )]}over {(s+1)^2 (s-p^* )^4} bigg|_s=p` ##&= {-[(p-p^* )^2 + 2(p+1)(p-p^* )]} over {(p+1)^2 (p-p^* )^4} ##&={-[-4+2 (j`1) (j`2)]} over{(-1)(16)} = under{1 over 2`= 1 over 2 rm angle 0^o`}]

[eqn: C ={(s+1) times rmboldF}(s) bigg|_s=-1 = 1 over {(s^2 +2s+2)^2} bigg|_s=-1 = under{1`= 1 rm angle 0^o`}]

[eqn: cdot]부분분수 전개와 역변환

[eqn: {rmboldF}(s) &= A over {(s-p)^2} + B over (s-p) + A^* over {(s-p^* )^2} + B^* over {(s-p^* )}+ C over s+1` ##&={j 1 over 4} over (s-p)^2 + {1 over 2} over (s-p) + {-j 1 over 4} over {(s-p^* )^2} + {1 over 2} over {(s-p^* )} + 1 over s+1`]

[eqn: THEREFORE ~~f`(t) &=A t `e^pt + B `e^pt + A^* t `e^{p^* t} + B^* e^{p^* t} + C`e^-t` ##&=2 `Re ``[At`e^pt + B`e^pt `] + C``e^-t`]

[eqn: THEREFORE ~~f`(t) &= 2 `Re `left{t ``left(1 over 4 rm angle 90^o right) it (e^-t e^+jt `)+ left(1 over 2 rm angle 0^o right) it (e^-t e^+jt `) right} `+`e^-t` ## &= 1 over 2 t ``e^-t `Re `left{e^{j(t+ rm 90^o )} right}+ e^-t `Re `left{ e^jt `right} + e^-t` ## &= 1 over 2 t `e^-t cos(t+ rm 90^o ) + it e^-t cos(t) + e^-t` ## &= under{- 1 over 2 t`e^-t sin t + e^-t cos t + e^-t`}]

12.5 미적분방정식의 해법

미적분방정식은 먼저 라플라스 변환을 한 후, 대수적 방식으로 푼다. 부분분수 전개를 한 후, 그 해의 역변환을 취한다.

예제 12.16) 다음 2계 미분방정식의 해를 구하라.

[eqn: {d^{2} x(t)} over dt^{2} + 4 {d`x(t)} over dt + 3`x(t) = e^-2t`]  for [eqn: t>0`],

주어진 초기조건 : [eqn: under{x(0-)=1}], [eqn: under{x'(0-)=2`}].

<해>

[eqn: cdot]시간영역방정식[eqn: ->] 라플라스 변환 또는 s-영역 방정식

[eqn: ->] 역변환, 등식(equality)의 성질은 유지.

[eqn: cdot]라플라스 변환과 해

[eqn: □ left[{d^{2} x} over dt^{2} right] + 4 □ left[ dx over dt right] + 3 □[x] = □[e^-2t `] = 1 over s+2`]

[eqn: THEREFORE ~~left[{s^2 rmboldX}(s) -s ``x(0-) - dx over dt (0-) right] {+ 4 `[s rmboldX}(s) -x(0-)] {+ 3 rmboldX}(s) ##= 1 over s+2`]

[eqn: THEREFORE ~~[{s^2 rmboldX}(s) - s times 1 - 2 ] {+ 4`[s rmboldX} (s)-1] {+ 3 rmboldX}(s) = 1 over s+2`]

[eqn: HOOKRIGHT][eqn: {rmboldX}(s) (s^2 +4s+3)-s-6= 1 over s+2`]

[eqn: HOOKRIGHT][eqn: {rmboldX}(s)(s+1)(s+3)= 1 over s+2 +s+6 ={s^2 +8s+13)} over s+2`]

[eqn: THEREFORE ~{rmboldX}(s) = {s^2 + 8s + 13} over {(s+1) (s+2)(s+3)} = 3 over s+1 - 1 over s+2 - 1 over s+3`]

[eqn: THEREFORE ~~under{x(t) = □^-1 {rm[boldX}(s)]=3e^-t - e^-2t - e^-3t`}]

[eqn: cdot]직접 대입하여 해를 확인

[eqn: &{d^{2} x} over {dt^{2}} + 4 dx over dt +3x` ##&~~= d^{2} over dt^{2} (3 e^-t - e^-2t - e^-3t `)+ 4 d over dt (3 e^-t - e^-2t - e^-3t `) ##& ~~~~``~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~+ 3(3 e^-t - e^-2t - e^-3t `) ##& ~~= (3 e^-t - 4e^-2t - 9e^-3t `) + 4(-3 e^-t + 2e^-2t +3 e^-3t `) ##&~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~+3(3 e^-t - e^-2t - e^-3t `) = under{e^-2t`}]

예제 12.17) 다음 그림 12.10의 단일망로회로에서 [eqn: t`>`0`]에 대한 망로방정식은 다음과 같다. 단위스텝함수가 작동하기 직전에, [eqn: t`<`0`] 회로는[eqn: i(0-)=0``rm[A]] 및 [eqn: v_C (0-)=1 rm[V]]인 dc 정상상태에 있었다. 망로전류 [eqn: i(t)]를 구하라.

[eqn: di over dt + 2i + left[ 5 int from 0- to t i(tau ) d tau + 1 right] = 1 + u(t)]

<해>

[eqn: cdot]변환 및 해

[eqn: {[s rmboldI}(s)-0]{+2 rmboldI}(s) + {{5 rmboldI}(s)} over s + 1 over s = 1 over s + 1 over s`]

[eqn: HOOKRIGHT][eqn: {rmboldI}(s) left(s+2+ 5 over s right) = 1 over s`] [eqn: ->] [eqn: {rmboldI}(s) left( {s^2 +2s+5} over s right) = 1 over s`]

[eqn: THEREFORE ~{rmboldI}(s) &= 1 over {s^2 + 2s + 5} = 1 over {(s+1-j``2)(s+1+j``2)} ##&= A over {s+1-j``2} + A^* over {s+1+j``2}`]

여기서

[eqn: A &={(s+1-j``2) times rmboldI}(s) bigg|_{s=p=-1+j``2}` ##&= 1 over {s+1+j``2} bigg|_{s=p=-1+j``2} = - {j``1} over 4`= 1 over 4 e^{-j`90^o`}]

[eqn: THEREFORE ~~i(t)& = A e^{(-1+j`2)t} + A^* e^{(-1-j`2)t}` ##&=2 e^-t `Re`[A e^{j``2 t}`] = 2 `e^-t `Re` left[ 1 over 4 e^{-j`90^o`} e^{j``2 t}`right] ##&= 1 over 2 e^-t cos(2t-rm 90^o ) = under{1 over 2 it e^-t sin 2t`}]

예제 12.18) 다음 그림 12.11의 회로에서 마디전압 [eqn: v_1`]과 [eqn: v_2`]를 구하라.

<해>

[eqn: cdot]마디해석방정식

[eqn: cases{1 over 2 (v_1 -3 ) + d over dt v_1 + 2 d over dt (v_1 - v_2 `) = 0` ## 2 d over dt ( v_2 - v_1 ) + 1 over 3 v_2 = r(t)}]

[eqn: cdot]방정식들의 변환 ([eqn: i_i `(t) |_t=0- `=0`] 및 [eqn: v_i (t)|_t=0- `=0`] 라 가정)

[eqn: cases{1 over 2 `left[{rmboldV}_1 (s) - 3 over s right] {+ s rmboldV}_1 (s) {+ 2 s rm[boldV}_1 (s) {- rmboldV}_2 (s)]=0` ## 2s{[rmboldV}_2 (s) {-rmboldV}_1 (s)] + 1 over 3 {rmboldV}_2 (s) = 1 over s^2`}]

[eqn: HOOKRIGHT] [eqn: BMATRIX {{3s + 1 over 2 } & {-2s} # {-2s} & {2s+ 1 over 3}} Bmatrix{{rmboldV}_1 (s) ## ``{rmboldV}_2 (s)``} = Bmatrix {3 over 2s & # ``1 over s^2 ``}]

[eqn: THEREFORE ~~ TRIANGLE = left(3s+ 1 over 2 right)left(2s+ 1 over 3 right)-(-2s)^2 =2s^2 +2s + 1 over 6`]

[eqn: THEREFORE ~~Bmatrix{{rmboldV}_1 (s)~~ ## {rmboldV}_2 (s)~~}&= 1 over {2s^2 +2s+ 1 over 6} BMATRIX {{2s + 1 over 3} & {2s} # {2s} & {3s + 1 over 2}} Bmatrix {3 over 2s # 1 over s^2} # &= Bmatrix {{{3 over 2 s + 5 over 4} over {s` left(s^2 +s+ 1 over 12 right)}} ## {3 over 2 s^2 + 3 over 2 s + 1 over 4 } over { s^2 left(s^2 + s + 1 over 12 right)}}}]

[eqn: cdot]부분분수 전개와 해

1) [eqn: v_1 (t)] :

[eqn: {rmboldV}_1 (s) &={{3 over 2 s + 5 over 4} over {s` left(s^2 +s+ 1 over 12 right)}} = A over s + B over {s + 1 over 2 - sqrt{1 over 6}} + C over {s + 1 over 2 + sqrt{1 over 6}}`##&= A over s + B over {s+0.0918} + C over {s+0.908}`]

여기서

[eqn: A= s {times rmboldV}_1 (s) bigg|_s=0 = {3 over 2 s + 5 over 4} over {s^2 +s + 1 over 12} bigg|_s=0 = 5 over 4 DIV 1 over 12 =15`]

[eqn: B =(s+ 0.0918) {times rmboldV}_1 (s) bigg|_s=-0.0918 = { 3 over 2 s + 5 over 4} over {s(s+ 0.908)} bigg|_s=-0.0918` ##~``= {left(3 over 2 right)(-0.0918) + 5 over 4} over {(-0.0918)(0.816)} = -14.848`]

[eqn: C = (s+0.908) {times rmboldV}_1 (s) bigg|_s=-0.908 = {3 over 2 s + 5 over 4} over {s(s+ 0.0918)} bigg|_s=-0.908` ##~``= {left(3 over 2 right) (-0.908) + 5 over 4 } over {(-0.908) (-0.816) } = -0.152`]

[eqn: THEREFORE ~{rmboldV}_1 (s)= 15 over s - 14.848 over s+0.0918 - 0.152 over s+0.908`]

[eqn: THEREFORE~~under{v_1 (t) =15 -14.848 `e^-0.0918t -0.152 e^{-0.908t}}`]

2) [eqn: v_2 (t)] :

[eqn: {rmboldV}_2 (s) &= {3 over 2 s^2 + 3 over 2 s + 1 over 4} over {s^2 left(s^2 + s + 1 over 12 right)} ##&= A_2 over s^2 + A_1 over s + B over {s+ 1 over 2 - sqrt{1 over 6}} + C over {s + 1 over 2 + sqrt{1 over 6}}`##&= A_2 over s^2 + A_1 over s + B over s+0.0918 + C over s+0.908 `##&= {3 over 2 s^2 + 3 over 2 s + 1 over 4} over {s^2 (s+0.0918)(s+0.908)}]

여기서

[eqn: A_2 =s^2 {times rmboldV}_2 (s) bigg|_s=0 = {3 over 2 s^2 + 3 over 2 s + 1 over 4} over {s^2 +s + 1 over 12} bigg|_s=0 = 1 over 4 DIV 1 over 12 = 3`]

[eqn: A_1 = d over ds left[s^2 {times rmboldV}_2 (s) right] bigg|_s=0 = d over ds left( {3 over 2 s^2 + 3 over 2 s + 1 over 4} over {s^2 +s + 1 over 12} right) bigg|_s=0 = -18`]

[eqn: B=(s+0.0918) {times rmboldV}_2 (s) bigg|_s=-0.0918 = {3 over 2 s^2 + 3 over 2 s + 1 over 4} over {s^2 (s+0.908)} bigg|_s=-0.0918 =18.19`]

[eqn: C=(s+0.908) {times rmboldV}_2 (s) bigg|_s=-0.908 = {3 over 2 s^2 + 3 over 2 s + 1 over 4} over {s^2 (s +0.0918)} bigg|_s=-0.908 = -0.190`]

[eqn: THEREFORE ~{rmboldV}_2 (s)= 3 over s^2 - 18 over s + 18.19 over s+0.0918 - 0.190 over s+0.908`]

[eqn: THEREFORE ~~under{v_2 (t)=3t-18+18.19 e^-0.0918t -0.190 e^-0.908t}`]

* 요 약 : Self-study

Report

<문제> 12.1(a)(c)(e)(f), 12.12(a)(c)(e), 12.22(a)(d), 12.23(c)(e), 12.29 (b)(d),

12.32(c)(f), 12.35(d)(e)(f)(h), 12.37(d) (g), 12.40(b)(d), 12.44

(10 문제)