제 11 장 3상회로

* 차례

11.1 단상 3선방식

11.2 3상 Y-Y 방식

11.3 단상 대 3상의 전력공급c

11.4 델타 (△) 결선

11.5 Y-△ 변환

11.6 SPICE와 3상회로

11.1 단상 3선 방식

[eqn: cdot]이중첨자기호 사용 : 그림 11.1 ;

[eqn: {rmboldV}_ab =] 점 [eqn: b`]에 대한 점 [eqn: a`]의 전압

[eqn: {rmboldI}_aA =] 마디 [eqn: a`]에서 마디 [eqn: A`]로의 직접 경로를 통해 흐르는 전류

[eqn: cdot]전압 및 전류의 rms 값과 rms 페이저 사용.

[eqn: cases{{rmbold V}= {rm|bold V}|rm angle 0^o ~[V`` "rms"] ## {rmbold I} = {rm|bold I}| angle -theta ~rm[A``"rms"]}]  [eqn: RARROW]  [eqn: Z=|Z``| angle theta ~[Omega]]

[eqn: cdot]소자에 공급되는 평균전력 :

[eqn: P {= rm |bold V}| {CDOT rm |bold I}|`cos theta =V_"rms" I_"rms" cos theta {= Re `"{"Z``"}" rm |bold I}|^2 ~rm[W]]

[eqn: cdot]시간영역 전압 및 전류 (순간값) :

[eqn: cases{v= root 2 {rm |bold V}| cos omega t ~rm[V] ## i= root 2 {rm |bold I}| cos (omega t - theta) ~rm[A]}]  [eqn: <-] [eqn: cases{{rm|boldV}| = V_"rms" = V_m over root{2}` ## {`rm|`boldI}`| =I_"rms" = I_m over root{2}`}]

예제 11.1) 다음 그림 11.2(a)의 회로에서 페이저[eqn: {rmboldV}_ab`]를 구하라.

<해>

[eqn: cdot]두 점 [eqn: a`]와 [eqn: b`] 사이의 전압 : 그림 11.2(b) ;

[eqn: {rm bold V}_ab &{=rm bold V}_an {+rm bold V}_nb` {=rm bold V}_an {- rm bold V}_bn` ##&``= 100 rm angle 0^o - 100 rm angle -120^o =100 root3 rm angle 30^o ``rm[V``"rms"]]

* 단상 3선전원은 세 개의 출력단자 [eqn: a,b`] 및[eqn: {rmboldV}_ab`]의 중간단자인 중성단자 [eqn: n`]을 갖는 전원이다 : 그림 11.3 (a) ;

(단상 3선 회로)

[eqn: {rm bold V}_an {=rm bold V}_nb {=rm bold V}_1`]

[eqn: HOOKRIGHT] If[eqn: {rm|boldV}_an | {=|rmboldV}_1 |=115``rm[V``"rms"]], then

[eqn: {rm|boldV}_ab | {=rm|2 boldV}_1 |=230``rm[V``"rms"]]

* 두 개의 동일 부하([eqn: Z_1`])를 갖는 전원 :

(두 개의 동일 부하를 갖는 3선회로)

[eqn: cdot]선 [eqn: aA`]와 [eqn: bB`]에 흐르는 전류 :

[eqn: cases{{rm bold I}_aA = {{rm bold V}_an} over {~Z_1} ={ {rm bold V}_1 } over {~Z_1} ## {rm bold I}_bB = {{rm bold V}_bn} over {~Z_1}={{rm -bold V}_1} over {~Z_1} {{= rm -bold I}_aA`}}]

[eqn: cdot]따라서, 중성선 ([eqn: nN~])에 흐르는 전류 : by KCL,

[eqn: {rm bold I}_nN = -({rm bold I}_aA {+ rm bold I}_bB `) =0`]

[eqn: HOOKRIGHT] 중성선은 계통(system) 내의 어떠한 전류나 전압의 변화없이 제거될 수 있다.

[eqn: cdot]이는 다음 그림 11.4의 대칭 단상 3선회로에 대한 두 개의 망로 방정식을 사용해서 입증 가능.

[eqn: cases{{(Z_1 + Z_2 + Z_3 ) rm bold I}_aA + {Z_3 rm bold I}_bB - {Z_1 rm bold I}_3 {= rm bold V}_1` ## ``{Z_3 rm bold I}_aA + {(Z_1 + Z_2 + Z_3 ) rm bold I}_bB {+ Z_1 rm bold I}_3 {= - rm bold V}_1`}]

이 식들을 더하면,

[eqn: (Z_1 + Z_2 + Z_3 ) {(rm bold I}_aA {+rm bold I}_bB `) + Z _3 {(rm bold I}_aA {+rm bold I}_bB `) = 0`]

[eqn: THEREFORE ~under{{rm bold I}_aA {+rm bold I}_bB = 0`}]

[eqn: cdot]만약 단자 [eqn: A-N~]과 [eqn: N-B`]의 부하가 같지 않거나 또는 선 [eqn: aA`]와 [eqn: bB`]의 선 임피던스가 같지 않아 대칭성이 깨지면, 중성선에는 0이 아닌 전류가 흐른다.

예제 11.2) 단자 [eqn: AN~]과 [eqn: NB`]에 걸리는 부하가 동일하지 않은 다음 그림 11.5의 회로에서 중성선 전류를 구하라.

<해>

[eqn: cdot]벡터-행렬 형식 망로 방정식과 determinant □ :

[eqn: bmatrix{42 + j & -2 ## -2 & ``50 +j``} `rm BMATRIX {{bold I}_1 ## ``{bold I}_2 ``} = BMATRIX {115 rm angle 0^o ## 115 rm angle 0^o`}]

[eqn: DELTA = (42 + j `) (50+ j `) -4 = 2097 rm angle 2.51^o`]

[eqn: THEREFORE ~~rm BMATRIX {{bold I}_1 ## ``{bold I}_2``} =it {115 rm angle 0^o} over DELTA BMATRIX { 50 + j & +2 ## +2 & ``42+j``} BMATRIX {1 ## ``1``}= BMATRIX {2.85 rm angle -1.41^o` ## 2.41 rm angle -1.21^o`}]

[eqn: THEREFORE ~under{{rmboldI}_nN {=rmboldI}_2 {-rmboldI}_1 =0.44 rm angle 177^o``rm[A``"rms"] ~neq ``0`}]

11.2 3상 Y-Y 방식

* 선단자 [eqn: a,`b`],[eqn: c`] 및 중성선 단자 [eqn: n`]이 있는 3상 전원 :

그림 11.6 ; Y-결선 전원의 두 가지 표현

[eqn: cdot]선단자와 중성선 단자 사이의 상전압(phase voltage) : 평형을 이룸.

- 정상순(positive sequence) 또는 [eqn: abc`] 상순([eqn: abc`] sequence) :

[eqn: {rmboldV}_an`] ; 기준 페이저

[eqn: {rm bold V}_an &= V_p rm angle 0^o `## {rm bold V}_bn &= V_p rm angle -120^o` ## {rm bold V}_cn &= V_p rm angle 120^o`]

- 역상순(negative sequence) 또는 [eqn: acb`] 상순([eqn: acb`] sequence) :

[eqn: {rmboldV}_an`] ; 기준 페이저

[eqn: {rm bold V}_an &= V_p rm angle 0^o` ## {rm bold V}_bn &= V_p rm angle 120^o` ## {rm bold V}_cn &= V_p rm angle -120^o`]

[eqn: THEREFORE under{{rm bold V}_an {+ rm bold V }_bn {+rm bold V}_cn =0`}]

[eqn: cdot]페이저 도 : 그림 11.7

[eqn: HOOKRIGHT] 본 강의에서는 정상순만을 다룬다.

[eqn: cdot]페이저 관계 :

[eqn: cases{{rm bold V}_bn {=rm bold V}_an rm angle - 120^o` ## {rm bold V }_cn {=rm bold V}_an rm angle 120^o`}]

[eqn: cdot]선간전압(line-to-line voltage) 또는 선전압(line voltage) :

[eqn: {rm bold V}_ab & {=rm bold V}_an {-rm bold V}_bn = V_p rm angle 0^o` - it V_p rm angle -120^o` ## & ```= V_p rm angle 0^o` + it V_p rm angle -120^o + 180^o = it V_p rm angle 0^o` + it V_p rm angle +60^o` ##&```=(V_p ) + (V_p ) left(1 over 2 + j{ root 3} over 2 right ) = root3 V_p left( root3 over 2 + j 1 over 2 right) ##&```= under{root3 V_p rm angle 30^o`}]

[eqn: {rm bold V}_bc = under{root 3 V_p rm angle -90^o`}]

[eqn: {rm bold V}_ca = under{root 3 V_p rm angle -210^o`}]

[eqn: cdot]선전압의 크기 :

[eqn: V_L = root 3 V_p`]

[eqn: THEREFORE ~under{{rm bold V}_ab = V_L rm angle 30^o} , under{it{rm bold V}_bc = V_L rm angle -90^o}, under{it{rm bold V}_ca = V_L rm angle -210^o`}]

[eqn: cdot]위상과 선전압에 대한 페이저 도 : 그림 11.8 ;

[eqn: HOOKRIGHT] 선전압도 역시 평형을 이루고 있다.

* 평형 Y-Y 3상 4선 방식 : 그림 11.9 ;

[eqn: HOOKRIGHT] 중성선에는 어떠한 전류도 흐르지 않으므로, 3상 3선 방식을 형성하기 위해 중성선을 제거해도 된다.

[eqn: cdot]중성선을 포함하는 루프를 따라 KVL을 적용,

[eqn: cases{{rm bold I}_aA = {{rm bold V}_an} over {~Z_p}` ## {rm bold I}_bB = {{rm bold V}_bn} over {~Z_p} = {{rm bold V}_an rm angle -120^o} over {Z_p} {=rm bold I}_aA rm angle -120^o` ## {rm bold I}_cC = {{rm bold V}_cn} over {~Z_p} = {{rm bold V}_an rm angle 120^o} over {Z_p } {=rm bold I}_aA rm angle 120^o`}]

[eqn: THEREFORE ~{rm -bold I}_nN {=rm bold I}_aA {+rm bold I}_bB {+rm bold I}_cC = 0`]  [eqn: RARROW]  [eqn: under{{rmbold I}_nN =0`}]

[eqn: cdot]선전류(line current)[eqn: =] Y-Y 결선에서의 페이저 전류,

[eqn: cases{{rm bold I}_aA = I_L angle -theta = I_p angle -theta` ## {rm bold I}_bB = I_L rm angle -theta - 120^o = it I_p rm angle -theta -120^o` ## {rm bold I}_cC = I_L rm angle -theta +120^o = it I_p rm angle -theta +120^o`}], ([eqn: theta`] : angle of [eqn: Z_p`])

[eqn: cdot]각 상에 공급되는 평균전력과 전체전력 :

[eqn: cases{P_p = V_p `I_p `cos theta = I_p^{2} `Re ``Z_p` ## P = 3 P_p`}]

전류가 흐르지 않는 임피던스 [eqn: Z`]를 포함하는 회로에서, [eqn: Z`]가 임의로 변화해도 어떤 전류나 전압에도 영향을 주지 않는다. 특히, [eqn: Z`]를 단락회로([eqn: Z=0`]) 또는 개방회로 ([eqn: Z=inf`])로 대치해도 된다.

예제 11.3) 다음 그림 11.10과 같이 선 임피던스를 가진 평형방식에서 선전류를 구하라.

<해>

[eqn: cdot]유효 상 부하 :

[eqn: Z= 4 + j``3 =5 rm angle 36.9^o ``[OMEGA]]

[eqn: cdot]중성선 전류가 0이므로,

[eqn: {rm bold I}_aA = {100 rm angle 0^o`} over {5 rm angle 36.9^o} = 20 rm angle -36.9^o ``rm[A``"rms"]]

[eqn: THEREFORE ~cases{{rm bold I}_bB = 20 rm angle -36.9^o -120^o =20 angle -156.9^o ``rm[A``"rms"] ## {rm bold I}_cC = 20 rm angle -36.9^o -240^o =20 angle -276.9^o ``rm[A ``"rms"]}]

[eqn: cdot]이 예제는 □상당법(per-phase method)"으로 풀었다. 중성선은 단락회로로 생각 : 그림 11.11 ;

(상당법으로 해석하기 위한 단상회로)

예제 11.4) 평형 Y-Y 회로에서, 뒤진역률 [eqn: pf=0.9`]로 [eqn: P=900``rm[W]]인 전체평균전력을 부하에 공급하고 있다. 선전류 [eqn: I_L`]과 상임피던스[eqn: Z_p`]를 구하라.

<해>

[eqn: cdot]각 상에 공급되는 전력

[eqn: P_p &= V_ p `I_p cos theta = left(V_L over root3 right) I_p cos theta` ##&= left(200 over root3 right) I_p `(0.9) = 900 over 3 = 300 ``rm[W]]

[eqn: cdot]상전류 ([eqn: =] 선전류) :

[eqn: under{I_L} = I_p = {300 root3} over {200 (0.9)} ={3 root3} over 2(0.9) = under{2.89 ``rm[A``"rms"]}]

[eqn: cdot]상 임피던스 :

[eqn: cases{|Z_p `| = V_p over I_p = {200 /root3} over {3 root3 /(2) (0.9)} = 40 ``[OMEGA] ## theta=cos^-1 ``0.9 = rm 25.84^o`}]

[eqn: THEREFORE ~~under{Z_p = 40 rm angle 25.84^o ``[OMEGA]}]

11.3 단상 대 3상의 전력공급

[eqn: CDOT]부하에 전력을 공급하기 위한 단상 3선회로(그림 11.12(a))와 3상회로(그림 11.12(b)) :

[eqn: HOOKRIGHT] 3상회로는 더 많은 회로소자, 즉 더 많은 전선, 더 많은 상전원 및 더 많은 상 임피던스를 갖고 있으나, 전력손실은 3상회로에서 더 적다.

* 선전력손실(line power loss) :

1) 단상의 경우 : [eqn: I_nN =0`]이며, 그림 11.12(a)의 [eqn: Z_N~]을 단락회로로 대치,

- [eqn: a`]-상에 대한 상전류와 전력 :

[eqn: {rm bold I}_aN = {V rm angle 0^o} over {`Z_1 + Z_L`}]

[eqn: THEREFORE ~~P_aN &{=rm |bold V}_aN | {rm |bold I}_aN | `cos theta = V cdot V over {|Z_1 + Z_L |} cdot cos theta` ##&~= {V^{2} cos theta} over {|Z_1 + Z_L `|}]

- 공급되는 전체전력

[eqn: P_aN + P_bN = 2 P_aN = {2 V^{2} cos theta} over {|Z_1 + Z_L `|}~cdots~(1)]

2) 3상회로

- [eqn: I_{n'N`'}=0`]이고 상당 계산은 위와 같으므로, 전체전력은

[eqn: P_{a'N`'} +P_{b'N`'} + P_{c'N`'} = 3 P_{a'N`'} ={3 V^{2} cos theta} over {|Z_3 + Z_L `|}~cdots~(2)]

[eqn: cdot]만약 전원이 공급하는 전체전력이 같다면([eqn: 2 P_aN =3 P_{a'N`'}`]), 식(1)을 식(2)로 나눔으로써,

[eqn: {|Z_3 + Z_L |} over {|Z_1 + Z_L |} = 3 over 2`]

[eqn: cdot]따라서, 선전류와 선전력손실

[eqn: {{rm |bold I}_aN `|} over {{rm |bold I}_{a'N`'}|} = {V/| Z_1 + Z_L |} over {V/| Z_3 + Z_L |} = 3 over 2`]  [eqn: RARROW] [eqn: {rm|boldI}_{a'N``'}|=`` 2 over 3 {rm|boldI}_aN `|]

[eqn: THEREFORE ~~cases{P_L {= 2 rm |bold I}_aN `|^2 `Re ``Z_L` ## P_L`' {= 3 rm |bold I}_{a'N`'}|^2 ``Re ``Z_L`}]

여기서   PL : 단상의 경우 전체 선전력손실,

PL' : 3상의 경우 전체선전력손실.

[eqn: THEREFORE ~~P_L`' = 3 cdot left(2 over 3 right) ^2 {rm |bold I}_aN |^2 Re ``Z_L `= 4 over 3 {rm |bold I}_aN |^2 `Re ``Z_L`]

즉, [eqn: P_L = 3 over 2 P_L`'`] : (3상 전력공급이 더 효율적)

예제 11.5) 앞의 그림 11.12에서[eqn: V=4``rm[kV``"rms"]], [eqn: Z_L =2``[Omega]] 및 단상 부하 임피던스 [eqn: Z_1 =30+j``8 ``[Omega]]이라 한다. 동일한 [eqn: pf~]에서 단상전원과 3상전원이 동일한 전력을 공급하기 위한 상 임피던스 [eqn: Z_3`]와, 선과 부하에 공급되는 전력을 구하라.

<해>

[eqn: cdot]단상회로

- rms 선전류 :

[eqn: {rm bold I}_aN = {V rm angle 0^o} over {Z_L + Z_1} ={4000 rm angle 0^o} over {32+j``8} = 121 rm angle -14.0^o`]

- 부하에 공급되는 전력 :

[eqn: P_Load = 2{|rmboldI}_aN `|^2 Re ``Z_1 =2(121)^2 (30) =878 ``rm[kW]]

- 선에서 소비되는 전력 :

[eqn: P_L =2{|rmboldI}_aN `|^2 Re ``Z_L =2(121)^2 (2) =58.6``rm[kW]]

- 전원이 공급하는 전체전력 :

[eqn: P_Total =P_Load + P_L = 878 +58.6 =936.6 ``rm[kW]]

* 3상회로

- 선에서 소비되는 전력 :

[eqn: P_L ' = 2 over 3 P_L =left( 2 over 3 right) (58.6)=39.0 ``rm[kW]]

- 전원이 공급하는 전체전력은 동일하므로,

[eqn: {|Z_3 +2|} over {|32+j``8|} = 3 over 2`]  [eqn: ->]  [eqn: |Z_3 +2| = 49.5`]

- 동일한 [eqn: pf~]에 대해, 임피던스 [eqn: Z_3 +2`]의 각도

[eqn: =] [eqn: Z_1 +2 =32+j`8`]의 각도 ([eqn: theta=rm angle 14.0^o`])

[eqn: THEREFORE ~~Z_3 +2 = |Z_3 + 2| angle theta = 49.5 rm angle 14.0^o`]

[eqn: THEREFORE ~~under{Z_3} =49.5 rm angle 14.0^o -2 it= under{46.0 +j`12.0``rm[Omega]}]

* 순간전력의 파형

1) 단상회로 : 그림 11.12(a) ;

[eqn: {rm bold I}_aN {=rm bold I}_nB ={V rm angle 0^o} over {Z_1 + Z_L}`]

[eqn: THEREFORE ~~i_aN `(t) = i_nB (t) = {root 2 V} over {|Z_1 + Z_L `|} cos (omega t - theta`)]

- 각각의 부하에 공급되는 순간전력

[eqn: cases{p_11 (t)=i_aN^{2} (t) Re ``Z_1 = left[ {root2 V} over {|Z_1 +Z_L |} right]^2 cos^2 (omega t-theta) `Re``Z_1` ## p_12 (t)=i_nB^{2} (t) Re ``Z_1 = left[ {root2 V} over {|Z_1 +Z_L |} right]^2 cos^2 (omega t-theta) `Re``Z_1`}]

- 따라서, 전체전력 : 그림 11.13(a) ;

[eqn: P_1T `(t) &= p_11 (t) +p_12 (t)= 2 `[i_aN^{2}(t) ``Re ``Z_1 ] ##&= 2 `left[{root 2 V} over {|Z_1 + Z_L |} right]^2 cos^2 (omega t -theta) cdot Re``Z_1` ##&={2V^{2} Re``Z_1} over {|Z_1 + Z_L `|^2} ``[1+cos2(omega t-theta)]]

[eqn: HOOKRIGHT] [eqn: p_{1T}`(t)]는 그의 최대값과 0 사이에서 주기적으로 변화.

2) 3상회로 : 그림 11.12 (b) ;

[eqn: {rm bold I}_{a'N``'} = {V rm angle 0^o} over {Z_3 + Z_L}`] [eqn: ->] [eqn: i_{a'N`'}(t) = {root2 V} over {|`Z_3 + Z_L `|} cos(omega t -theta)]

[eqn: THEREFORE ~~cases{i_{b' N`'} (t)= {root2 V} over {|`Z_3 + Z_L `|} cos (omega t-theta-rm 120^o ) ## i_{c'N`'} (t)= {root2 V} over {|`Z_3 + Z_L `|} cos(omega t-theta+ rm 120^o )}]

- 세 선전류는 평형을 이룬다 : 그림 11.14 ;

- 전체순간전력[eqn: =] 3개의 개별 상의 전력의 합

[eqn: cases{p_31 (t)= i_{a'N`'}^{2} (t) Re ``Z_3 = left[{root2 V} over {|Z_3 +Z_L |} right]^2 cos^2 (omega t-theta) `Re ``Z_3` ## p_32 (t)=i_{b'N`'}^{2} (t) Re ``Z_3 = left[{root2 V} over {|Z_3 +Z_L |} right]^2 cos^2 (omega t-theta-rm 120^o ) it Re ``Z_3` ## p_33 (t)=i_{c'N`'}^{2} (t) Re ``Z_3 = left[{root2 V} over {|Z_3 +Z_L |} right]^2 cos^2 (omega t-theta+rm 120^o ) it Re ``Z_3`}]

[eqn: under{p_3T `(t)} &=p_31 (t) +p_32 (t) +p_33 (t) ##&= left[{root 2 V} over {|Z_3 + Z_L |} right]^2 times Re``Z_3 `[cos^2 (omega t -theta) ##& ~~~~~~+cos^2 (omega t - theta - rm 120^o ) +it cos^2 (omega t - theta + rm 120^o )] ## &= {2 V^{2} Re``Z_3} over {|Z_3 +Z_L |^2} times left[3 over 2 + 1 over 2 cos2 (omega t - theta) ##&~~~~~~+ cos2 (omega t - theta - rm 120^o ) + it cos 2 (omega t - theta rm + 120^o ) right] ## &=under{bold"constant"`}]

; 그림 11.13 (b)

단상전력은 0과 그 최대값 사이에서 주기적으로 변하면서 일정하지 않게 공급되며, 반면에 3상전력은 시간에 대해 상수(즉, 일정)이다.

* 3상전력 공급의 잇점 :

① 모터 구동 : 일정한 토크(torque)

② 형광등 : 일정한 밝기

11.4 델타 (△) 결선

* 평형[eqn: TRIANGLE]-결선 부하

[eqn: HOOKRIGHT] 만약 전원이 Y- 또는 [eqn: TRIANGLE]-결선이면,

그 계통(system)은 Y-[eqn: TRIANGLE] 또는 [eqn: TRIANGLE]-[eqn: TRIANGLE] 방식이다.

□[eqn: TRIANGLE]-결선 부하의 장점

- 부하들이 선에 직접 연결되어 있으므로, 각 상의 부하를 추가하거나 제거하기가 보다 쉽다.

□ Y-결선 부하의 장점

- [eqn: TRIANGLE]-결선 방식에서 비평형 전압원은 환류전류(circulating current)를 야기 → 발전기 가열 효과

-  Y-결선 상전압이 [eqn: TRIANGLE]-결선 보다 더 낮으므로 절연이 덜 요구된다.

* [eqn: TRIANGLE]-결선 부하에 대한 페이저 도 : 그림 11.16 ;

- 선전압은 상전압과 같다.

[eqn: {rm bold V}_AB = V_L rm angle 30^o , it {rm bold V}_BC = V_L rm angle -90^o , it {rm bold V}_CA = V_L rm angle 150^o`]

여기서

[eqn: V_L = V_p`]

[eqn: cdot]상전류

[eqn: cases{{rm bold I}_AB ={{rm bold V}_AB} over {~Z_p} = {V_L rm angle 30^o} over {|Z_p | angle theta} = I_p rm angle (30^o - theta`) ## {rm bold I}_BC ={{rm bold V}_BC} over {~Z_p} = {V_L rm angle -90^o} over {|Z_p | angle theta} =I_p rm angle (-90^o - theta`) ## {rm bold I}_CA ={{rm bold V}_CA} over {~Z_p} = {V_L rm angle 150^o} over {|Z_p | angle theta}= I_p rm angle (150^o - theta`)}]

여기서

[eqn: I_p = V_L over {|Z_p `|}]

[eqn: cdot]선전류

[eqn: cases{{rm bold I}_aA {=rm bold I}_AB {-rm bold I}_CA` ## {rm bold I}_bB {=rm bold I}_BC {-rm bold I}_AB` ## {rm bold I}_cC {=rm bold I}_CA {-rm bold I}_BC`}]  [eqn: RARROW]   [eqn: CASES{{rm bold I}_aA = root 3 I_p ``angle - theta` ## {rm bold I}_bB = root 3 I_p rm angle (-120^o -theta`) ## {rm bold I}_cC = root 3 I_p rm angle (-240^o -theta`)}]

[eqn: CDOT]선전류와 상전류의 크기 관계 :

[eqn: I_L = root3 I_p`]

[eqn: cdot][eqn: I_L`]에 관한 선전류

[eqn: {rm bold I}_aA = I_L angle -theta, {rm bold I}_bB = I_L rm angle -120^o - theta, it {rm bold I}_cC = I_L rm angle -240^o - theta`]

예제 11.6) 앞의 그림 11.15의 [eqn: TRIANGLE]-결선 부하를 갖는 3상회로에서, 선전압이 [eqn: 250``rm[V``"rms"]]이고, 부하가 뒤진역률 [eqn: pf~]= [eqn: 0.8`]로 [eqn: 1.5``rm[kW]]를 흡수할 때, 선전류 [eqn: I_L`]을 구하라.

<해>

[eqn: cdot]한 상에 대해,

[eqn: P_p = 1500 over 3 =500``rm[W]]  [eqn: RARROW]  [eqn: THEREFORE ~~500=250 I_p (0.8)]

[eqn: HOOKRIGHT] [eqn: I_p = 2.5 ``rm[A``"rms"]]

- 선전류 :   [eqn: I_L = root 3 I_p = 4.33 ``rm[A``"rms"]]

* 부하가 Y-결선이든 △-결선이든 역률각이 [eqn: theta`]인 평형 3상 부하에 공급되는 전력 :

- 상전압과 상전류에 관하여,

[eqn: P= 3 P_p = 3 V_p ``I_p `cos theta`]

- 선전압과 선전류에 관하여,

Y-결선인 경우 [eqn: V_p = V_L /root3`] 및 [eqn: I_p =I_L`]이고,

[eqn: TRIANGLE]-결선인 경우 [eqn: V_p =V_L`] 및 [eqn: I_p =I_L /root3`] 이므로,

[eqn: P=3 V_p ``I_p cos theta = 3 {V_L I_L} over root3 cos theta`]

즉,

[eqn: P= root3 V_L `I_L `cos theta`]

[eqn: cdot]예제 11.6 검토 :

[eqn: 1500 = root3 `(250) I_L (0.8)]  [eqn: RARROW]  [eqn: THEREFORE ~~I_L = 4.33 ``rm[A``"rms"]]

11.5 Y-□ 변환

* 많은 전력 계통 응용에서, Y-결선 부하를 등가 △-결선 부하 또는 그 반대로 변환하는 것이 중요.

[eqn: cdot]등가 3상부하에 필요한 부하 예 : 그림 11.17 ;

* Y-to-[eqn: TRIANGLE] 변환식 또는 [eqn: TRIANGLE]-to-Y 변환식을 구하기 위해, 다음 그림 11.18의 Y-결선 및 △-결선을 고려.

1) Y[eqn: ->][eqn: TRIANGLE] 변환

[eqn: cdot]Y-회로에 대한 마디 방정식 ([eqn: C`~]: 기준마디)

[eqn: cases{Y_a {(rmboldV}_A {-rmboldV}_D ``) {=rmboldI}_1` ## Y_b {(rmboldV}_B {-rmboldV}_D ``) {=rmboldI}_2` ## Y_a {(rmboldV}_D {-rmboldV}_A ``) + Y_b {(rmboldV}_D {-rmboldV}_B ``) + Y_c {rmboldV}_D =0`}]

[eqn: THEREFORE ~~cases{Y_a {rm bold V}_A {-Y_a rm bold V}_D {= rm bold I}_1 ~cdots~(1) ## Y_b {rm bold V}_B {-Y_b rm bold V}_D {= rm bold I}_2 ~cdots~(2) ## -Y_a {rm bold V}_A {-Y_b rm bold V}_B {+ (Y_a + Y_b + Y_c `) rm bold V}_D =0 ~cdots~(3)}]

- 식(3)을[eqn: {rmboldV}_D`]에 대해 풀면,

[eqn: {rmboldV}_D = {Y_a {rmboldV}_A +Y_b {rmboldV}_B} over {Y_a + Y_b + Y_c} ~cdots~(4)]

- 식(4)를 식(1)과 (2)에 대입,

[eqn: cases{{Y_a Y_b + Y_a Y_c} over {Y_a + Y_b +Y_c} {rm bold V}_A - {Y_a Y_b} over {Y_a + Y _b +Y_c} {rm bold V}_B = {rm bold I}_1` ## -{Y_a Y_b} over {Y_a + Y_b +Y_c} {rm bold V}_A `+` {Y_a Y_b + Y_b Y_c} over {Y_a + Y_b +Y_c} {rm bold V}_B {=rm bold I}_2`} {~cdots~(a)}]

[eqn: cdot][eqn: TRIANGLE]-회로에 대한 마디 방정식 ([eqn: C`] : 기준마디)

[eqn: cases{Y_ab {(rmboldV}_A {-rmboldV}_B ``) - Y_ca {rmboldV}_A {=rm boldI}_1` ## Y_ab {(rmboldV}_B {-rmboldV}_A ``) +Y_bc {rmboldV}_B {=rmboldI}_2`}]

[eqn: THEREFORE ~~cases{(Y_ab + Y_ca `) {rm bold V}_A -Y_ab {rm bold V}_B {=rm bold I}_1` ## -Y_ab {rm bold V}_A + (Y_ab + Y_bc `) {rm bold V}_B {=rm bold I}_2`} {~cdots~(b)}]

[eqn: cdot]식(a)의 계수와 식(b)의 계수를 같다고 놓으면,  Y[eqn: ->][eqn: TRIANGLE] 변환 :

[eqn: Y_ab = {Y_a Y_b} over {Y_a + Y_b +Y_c}` ## Y_bc = {Y_b Y_c} over {Y_a + Y_b +Y_c}` ## Y_ca = {Y_c Y_a} over {Y_a + Y_b +Y_c}`]

[eqn: TRIANGLE]-회로의 한 가지(arm) 어드미턴스는 Y-회로의 인접한 가지(arm)의 어드미턴스의 곱을 Y-어드미턴스의 합으로 나눈 것과 같다.

2) [eqn: TRIANGLE][eqn: ->]Y 변환 : (문제 11.38의 풀이과정 참조)

[eqn: Z_a = {Z_ab `Z_ca} over {Z_ab + Z_bc +Z_ca}` ## Z_b = {Z_bc `Z_ab} over {Z_ab + Z_bc +Z_ca}` ## Z_c = {Z_ca `Z_bc} over {Z_ab + Z_bc +Z_ca}`]

Y-회로의 한 가지(arm) 임피던스는 △-회로의 인접한 가지(arm)의 임피던스의 곱을 △-임피던스의 합으로 나눈 것과 같다.

예제 11.7) 다음 그림 11.19(a)의 회로에서 전원 페이저 전류[eqn: rmboldI`]를 구하라.

<해>

[eqn: cdot]Y[eqn: ->][eqn: TRIANGLE] 변환 : [eqn: a-b-c`] part

[eqn: cases{Y_a =-j`1,~ Y_b =j`2,~and~Y_c =4` ## Y_a + Y_b + Y_c =4+j`1`}]

[eqn: THEREFORE ~~cases{Y_ab = {Y_a Y_b} over {Y_a +Y_b +Y_c} ={(-j`1) (j`2)} over {4+j`1} = 2 over {4+j`1}` ## Y_bc = {Y_b Y_c} over {Y_a +Y_b +Y_c} = {(j`2)(4)} over {4+j`1} = {j``8} over {4+j`1}` ## Y_ca = {Y_c Y_a} over {Y_a +Y_b +Y_c}={(4)(-j`1)} over {4+j`1} ={-j`4} over {4+j`1}`}]

그림 11.19 (b);

[eqn: cdot]가지 [eqn: a-b`] 및 [eqn: b-c`]에 대한 어드미턴스 :

[eqn: cases{Y_{a-b} =Y_ab ~||~1/(2-j`2)= 2 over {4+j`1} + 1 over {2-j`2} = {8-j``3} over {10 -j``6}` ## Y_{b-c} =Y_bc ~||~ 1/(6+j``1)={j``8} over {4+j`1} + 1 over {6+j`1} = {-4+j`49} over {~23+j`10}`}]

[eqn: cdot]따라서, 마디 [eqn: a,b,][eqn: c`] 사이의 가지 임피던스 :

[eqn: cases{Z_{a-b} = 1 over Y_{a-b} = {10-j``6} over {8-j``3}` ## Z_{b-c} = 1 over Y_{b-c} = {~23+j``10} over {-4+j`49}` ## Z_{c-a} = 1 over Y_{c-a} = {4+j``1} over {-j`4} = {-4-j``1} over {j``4}`}]

[eqn: cdot]가지 임피던스를 나타낸 등가회로 : 그림 11.20 ;

[eqn: cdot]직-병렬 조합을 사용,

[eqn: Z_1 = {10-j``6} over {8-j``3} + {23+j`10} over {-4+j`49} =1.51-j`0.73`]

[eqn: THEREFORE ~~Z &= 2 + {left({-4-j`1} over {j``4} right) Z_1} over {left({-4-j`1} over {j``4} right) + Z_1} ##&= 2 + {(-0.25+j`1)(1.51-j``0.73)} over {1.26+j``0.27}` = 2.54 +j`1.23`]

[eqn: THEREFORE ~under{{rm bold I} = {115 rm angle 0^o} over Z = {115 rm angle 0^o} over {2.54+j`1.23} = 40.7 rm angle -25.8^o} ``rm[A``"rms"]]

[eqn: cdot]평형부하에 대한 Y[eqn: ->][eqn: TRIANGLE] 변환.

- [eqn: Y_a =Y_b =Y_c =Y_Y``]([eqn: Y_Y =] Y-회로의 공통 상 어드미턴스) 및

[eqn: Y_ab =Y_bc =Y_ca =Y_Delta`]([eqn: Y_Delta =][eqn: TRIANGLE]-회로의 공통 어드미턴스)라 두면,

[eqn: under{Y_DELTA = {(Y_Y )^2} over 3Y_Y = 1 over 3 Y_Y`}] , [eqn: left( ~BECAUSE ~~Y_ab ={Y_a Y_b} over {Y_a + Y_b + Y_c} ~right)]

- 역을 취하면,

[eqn: Z_DELTA = 3 Z_Y`]

평형 [eqn: TRIANGLE]-결선 상 임피던스는 등가의 평형 Y-결선 상 임피던스의

3배이다.

예제 11.8) 다음 그림 11.21의 Y-[eqn: TRIANGLE] 결선 회로에서, 평형 선전압[eqn: {rmboldV}_AB` , {rmboldV}_BC` ,] 및[eqn: {rmboldV}_CA`]의 크기를 구하라.

<해>

[eqn: cdot]상당법을 사용하기 위해, Y-Y 결선 회로로 변환 :

[eqn: Z_Y = 1 over 3 Z_DELTA = 1 over 3 (6+j``3) = 2+j``1`]

[eqn: cdot]등가 상-[eqn: a`] 임피던스 [eqn: Z_Y`]에 걸리는 전압 : by 전압분배법칙,

[eqn: {rmboldV}_AN = {2+j``1} over {3+j``1} (12 rm angle 0^o ) = 8.49 rm angle 8.13^o`]

[eqn: cdot]선전압

[eqn: {rm|boldV}_AB`| &``= root 3 {rm|boldV}_AN`| = root 3 `(8.49) = 14.7 ``rm[V``"rms"] ##&{=rm|boldV}_BC`| {=rm|boldV}_CA`|]

[eqn: cdot]Y-[eqn: TRIANGLE] 회로를 Y-Y 회로로 변환함으로써, 전류, 전압 및 전력을 상당법으로 계산할 수 있게 된다.

11.6 SPICE와 3상회로

[생략]

* 요 약 : Self-study

Report

<문제> 11.1, 11.4, 11.7, 11.15, 11.18, 11.28, 11.31, 11.35, 11.38,

11.41(SPICE)  (10 문제)