제 10 장 교류정상상태 전력

* 차례

10.1 평균전력

10.2 RMS 값

10.3 복소전력

10.4 중첩과 전력

10.5 최대전력전송

10.6 전력의 보존성

10.7 무효전력과 역률

10.8 SPICE와 교류정상상태 전력

* 순간전력(instantaneous power), 피크전력(peak power),

및 평균전력(average power)

10.1 평균전력

* 주기함수 입력을 갖는 선형회로망 내의 정상상태 전류 및 전압은 동일한 주기를 갖는 주기함수이다.

[eqn: cases{v(t+T`)=v(t) ## i(t+T`)=i(t)}]

* 순간전력(instantaneous power) : [eqn: under{p(t)=v(t)`i(t)}~rm[W]]

[eqn: p(t+T`)=v(t+T`)`i(t+T`)=v(t)`i(t)=p(t)]

[eqn: cdot]주기(period)[eqn: T`]와 [eqn: p(t)]의 주기[eqn: T_p`] ([eqn: p(t)]가 자신을 반복하는 최소시간)

[eqn: under{T=nT_p`}]

예제 10.1) 저항 [eqn: R`]에 주기가 [eqn: T=2 pi /omega`]인 전류 [eqn: i=I_m cos omega t`]가 흐를 때, 순간전력을 구하라.

<해>

[eqn: cdot]순간전력 :

[eqn: p(t) & = v(t) i(t)=Ri(t) cdot i(t) =R`i^{2}(t) ##&=R`I_m^{2} cos^2 omega t = {R`I_m^{2}}over 2 (1+cos2 omega t)]

[eqn: T_p = 2pi/2 omega=pi/omega`]이므로, [eqn: T=2pi/omega`], 및 [eqn: T=2 T_p`] ([eqn: n=2`]).

[eqn: cdot]주기순간전력과 전류의 파형 (정현파(sinusoidal)의 경우) : 그림 10.1;

[eqn: cdot]주기순간전력 (비정현파(nonsinusoidal)의 경우) : 그림 10.2;

[eqn: cdot][eqn: under{i(t)=I_m (1+cos omega t)}]이면, [eqn: i(t)]는 여전히 주기가 [eqn: T`]인 주기함수이다.

[eqn: p(t)=R`I_m^{2} (1+ cos omega t)^2`]

이 경우, [eqn: T_p =2 pi/omega`] 이며[eqn: n=1`].

* 주기순간전력에 대한 평균전력 :

[eqn: P = 1 over T_p int_{t_1} ^{t_1 +T_p} p(t) dt`],  or  [eqn: P = 1 over mT_p int_{t_1} ^{t_1 +mT_p} p(t) dt`]

[eqn: cdot]만약[eqn: m`]을 [eqn: T=mT_p`] ([eqn: v(t)] 또는[eqn: i(t)]의 주기)를 만족하도록 선택하면,

[eqn: P= 1 over T int_{t_1}^{t_1 +T} p(t) dt`]

* 일반적인 2단자소자를 고려 (ac 정상상태에 있다고 가정)

그림 10.3;

[eqn: cdot] [eqn: under{v(t)= V_m cos(omega t +phi_v `)}]이면, [eqn: under{i(t)= I_m cos(omega t +phi_i`)}].

따라서, 평균전력 :

[eqn: P &= 1 over T int_0^T p(t) dt = 1 over T int_0^T v(t) i(t) dt` ##&= {V_m I_m} over {2pi/omega} int_0^2pi/omega cos(omegat +phi_v `)cos(omegat+phi_i `)dt` ##&={omega V_m I_m} over 2pi int_0^{2pi /omega} cos(omega t +phi_v `) cos(omega t +phi _i `) dt`]

[eqn: cdot][eqn: cos alpha cos beta = 1over 2 cos(alpha+ beta)+ 1 over2 cos(alpha -beta)]이므로,

[eqn: P &={omega V_m I_m} over 2pi int_0^{2pi/omega} left{under{1 over 2 cos(2 omega t +phi_v +phi_i `)} + 1over2 cos(phi_v - phi_i `) right}dt` ##&={omega V_m I_m} over 2pi cdot 1 over 2 cos(phi_v -phi_i `) cdot t ``right|_0^2pi/omega` ##&= {omega V_m I_m} over 2pi cdot 1 over 2 cos(phi_v -phi_i `) cdot 2pi/omega = under{{V_m I_m} over 2 cos (phi_v -phi_i `)}]

따라서,

[eqn: P = {V_m `I_m}over 2 cos(phi_v - phi_i `) ={V_m `I_m}over 2 cos theta`]

여기서 [eqn: theta=phi_v - phi_i`][eqn: =]전압의 위상[eqn: -] 전류의 위상.

[eqn: cdot][eqn: v(t)]와 [eqn: i(t)]의 페이저 :

[eqn: cases{{rmbold V}= V_m ANGLE phi_v = {rm|boldV}| angle phi_v` ## ``{rmbold I}= I_m ANGLE phi_i = {rm|boldI}|angle phi_i`}]

[eqn: THEREFORE ~~under{P = 1 over 2 {rm|bold V}|{rm|bold I}| cos(phi_v - phi_i `)}]

2단자 부회로에 의해 흡수되는 평균전력은 그 전류와 전압 페이저 크기 곱의 반에 그들의 위상차의 여현(cosine)을 곱한 것이다.

[eqn: cdot]2단자소자 [eqn: R`]에 대해, [eqn: phi_v - phi_i =0`]이고 [eqn: V_m =RI_m`].

[eqn: THEREFORE ~~under{P_R = 1 over 2 RI_m^{2}`}]  [eqn: <-][eqn: {rm|boldV}|=V_m` , {rm|boldI}|=I_m` , cos(phi_v -phi_i `)=1`]

[eqn: cdot]만약 [eqn: i(t)=I_dc`] (dc 전류)이면, [eqn: omega=0`], [eqn: phi_v =phi_i =0`], 및 [eqn: I_m =I_dc`].

따라서, [eqn: p(t)=v(t)i(t)=(RI_dc `)(I_dc `)=R `I_dc^{2}`][eqn: =] 상수.

[eqn: THEREFORE ~~under{P_R = R`I_dc^{2}`}]

예제 10.2) 다음 그림 10.4(a)의 ac 정상상태회로에서 [eqn: 1``[Omega]] 저항과 [eqn: 1 over 4`rm[F]] 커패시터 및 모든 임피던스에 의해 흡수되는 평균전력을 구하라.

<해>

[eqn: cdot]페이저 회로 ([eqn: omega=2`]) : 그림 10.4 (b);

[eqn: cdot]전류와 전압 :

[eqn: {rmbold Z}= 2+ {(j`2)(1-j`2)} over {(j`2)+(1-j`2)} = 6+j``2 ~[Omega]]

[eqn: THEREFORE ~~{rmbold I} = {4 rm angle 0^o} over{ 6+j``2} = 0.632 rm angle -18.4^o ``rm[Ｅ]]

By 전류분배법칙,

[eqn: {rmbold I}_1 = {j``2} over {(j`2)+(1-j``2)} {rmbold I} = {j``2} over 1 {rmboldI} =1.26 rm angle 71.6^o ``rm[A]]

[eqn: THEREFORE ~~cases{{rmboldV}_R = {(1) cdot rmboldI}_1 =1.26 rm angle 71.6^o ``rm[V] ## {rmbold V}_C =(-j`2){rmbold I_1} =2.52 rm angle -18.4^o ``rm[V]}]

[eqn: cdot]이들 전류와 전압에 대한 페이저 도 : 그림 10.5;

[eqn: cdot][eqn: 1``rm[Omega]] 저항과 [eqn: 1 over 4 `rm[F]] 커패시터에 의해 흡수되는 평균전력 :

[eqn: cases{P_R = 1 over 2 {rm|bold V}_R | {rm|bold I}_1 | cos({ angle rmbold V}_R {- angle rmbold I}_1 `)= 1 over 2 (1.26)^2 = 0.80 ``rm[［] ## P_C = 1 over 2 {rm|boldV}_C | {rm|bold I}_1 | cos({angle rmboldV}_C {-angle rmboldI}_1 `) = 1 over 2 (2.52)(1.26) cos rm 90^o =0`rm[W]}]

[eqn: cdot]모든 임피던스에 의해 흡수되는 순(net) 평균전력 :

[eqn: P_Z = 1 over 2 (4)(0.632) cos ({angle rmboldV} {-angle rmboldI} `) =1.26cos(rm 18.4^o ) = 1.20 ``rm[［]]

예제 10.3) 다음 그림 10.6의 회로에서 두 전원에 의해 공급되는 전력을 구            하라.

<해>

[eqn: cdot]병렬 임피던스 조합에 의해,

[eqn: {rm bold Z} = 1[Omega]//(-j`1`[Omega])={(1)(-j`1)}over {1-j`1} = 1 over 2 -j 1over 2 ``rm[Omega]]

[eqn: cdot]망로 방정식 :

[eqn: left(1 over 2 -j 1 over 2 +2 right){rmbold I} +{j`2(rmboldI}-10 rm angle 0^o )=-2 rm angle 30^o`]

[eqn: THEREFORE ~~{rmbold I} = 7.23 rm angle 54.3^o ``rm[A]]

[eqn: THEREFORE ~~{rm bold V}_S1 = j``2(10 angle 0 {-rmbold I}) = 16.5 rm angle 44.6^o ``rm[Ｚ]]

[eqn: cdot]전류원이 [eqn: 10 rm angle 0^o`]이고[eqn: {rmboldV}_S1`]이 수동부호규정을 위반하므로,

전류원은 전력을 공급.

[eqn: P_S1 = 1 over 2 {rm|bold V}_S1 |``|10 rm angle 0^o | rm cos 44.6^o = 1 over 2 (16.5)(10)(0.712) = 58.7 ``rm[［]]

[eqn: cdot][eqn: rmboldI`]와 전압원 [eqn: 2 rm angle 30^o`]은 수동부호규정을 만족하므로,

전압원은 전력을 흡수f

[eqn: P_S2 = 1 over 2 |2 rm angle 30^o | {rm|bold I}|`cos (rm 30^o - rm 54.3^o ) = 1 over 2 (7.23)(2)(0.911) = 6.59 ``rm[［]]

* 저항은 항상 전력을 흡수. 왜냐하면 전류와 전압 페이저가 동상(in phase). (손실소자(lossy element))

* 커패시터와 인덕터는 어떤 회로에서도 정상상태 평균전력을 흡수하지도 공급하지도 않는다. 왜냐하면, 전류와 전압 페이저가 항상[eqn: rm 90^o`]의 위상차.

(무손실소자(lossless element))

10.2 RMS 값

* 상이한 파형의 전원이 공급하는 전력의 비교 방법으로, 주기적인 전류와 전압을 rms(root-mean-square) 또는 실효값(effective value)으로 표현.

[eqn: cdot]주기적인 전류(전압)의 rms값(실효값)은 저항 [eqn: R`]에 동일한 평균전력을 공급하는 dc 전류(전압)값과 같은 값을 나타내는 상수이다.

(AC)                       (DC)

[eqn: P = R`I_"rms"^{2} = 1over T int_0^T R`i^{2} (t) `dt`],  [eqn: P = V_"rms"^{2} over R = 1 over T int_0^T `{v^{2} (t)} over R `dt`]

따라서, 실효 전류(전압)은,

[eqn: I_"rms" = SQRT{1 over T int_0^T i^{2} (t) `dt`}]

[eqn: V_"rms" = SQRT { 1 over T int_0^T v^{2}(t) `dt`}]

[eqn: cdot]정현파(sinusoidal) 전류(전압)의 rms 값 :

[eqn: i(t)=I_m cos(omega t+phi_i `)] [eqn: ->] [eqn: I_"rms" = SQRT{{omega I_m^{2}} over {2pi} int_0^{2pi/omega} cos^2 (omega t+phi_i `)`dt} = I_m over root{2}]

[eqn: v(t)=V_m cos(omega t+phi_v `)][eqn: ->][eqn: V_"rms" = SQRT{{omega V_m^{2}} over {2pi} int_0^{2pi/omega} cos^2 (omega t+phi_v `)`dt} = V_m over root{2}]

[eqn: cdot]따라서, 임의의 2단자 부회로에 대한 평균전력 :

[eqn: P &= {V_m `I_m} over 2 cos (phi_v -phi_i `) = V_m over root2 I_m over root2 cos (phi_v -phi_i `) ##&= V_"rms" ``I_"rms" `cos (phi_v - phi_i `) = V_"rms" ``I_"rms" `cos theta`]

[eqn: HOOKRIGHT] [eqn: P`]는 수동부호규정이 만족되면 흡수되는 평균전력이고, 그렇지 않으면 공급되는 전력이다.

[eqn: cdot]페이저[eqn: rmboldV`]와[eqn: rmboldI`]에 대한 rms 페이저의 정의 :

[eqn: cases{{rmbold V}_"rms" = 1 over sqrt2 {rmbold V} = 1 over root2 V_m angle phi_v =V_"rms" angle phi_v` ## ~{rmbold I}_"rms" `= 1 over sqrt2 {rmbold I} ``= 1 over root2 I_m angle phi_i ~=I_"rms" angle phi_i `}]

[eqn: cdot]rms 페이저에 관한 평균전력 :

[eqn: P {= rm|bold V}_"rms" | {rm|bold I}_"rms" | `cos(phi_v - phi_i `)]

[eqn: cdot]모든 페이저를 [eqn: root2`]로 나누면, rms 페이저는 KCL과 KVL을 만족하며,

또한 임피던스에 대해서는,

[eqn: {rm bold V}_"rms" {= rm Z bold I}_"rms"]

[eqn: cdot]rms 페이저 회로 : 모든 독립전원을 rms 페이저로, 소자들은 임피던스로 표기.

예제 10.4) 다음 그림 10.7 (a)의 회로에서 60-Hz 교류발전기 ([eqn: omega=2pi f``] [eqn: =377 rm[rad/s]])가 부하 임피던스에 공급하는 전력을 구하라.

<해>

[eqn: cdot]rms 페이저 회로 :

- rms 전원 페이저 :[eqn: (325/root2 `) rm angle 0^o =230 angle 0^o``rm[V``"rms"]]

- 등가 부하 임피던스 :

[eqn: cases{Z_S =2+j omega L =2+j`1``[Omega] ## Z_L = 1 over {j omega C} //``30 = {(-j`53)(30)} over {30 - j``53} = 22.7 - j`12.9 ~[Omega]}]

[eqn: cdot]망로 전류 :

[eqn: {rm bold I}_"rms" &= 230 rm angle 0^o / it (Z_S + Z_L `) = 230 rm angle 0^o / it(24.7 - j`11.9) ##&=8.39 rm angle 25.7^o ``rm[A``"rms"]]

[eqn: cdot]부하 임피던스 ZL에 의해 흡수되는 평균전력 :

[eqn: {rm bold V}_"rms" &= {Z_L rm bold I}_"rms" =(22.7 - j`12.9 )(8.39 rm angle 25.7^o `) ##&= 219 rm angle -3.91^o ``rm[V``"rms"]]

[eqn: THEREFORE ~~P &= {rm|bold V}_"rms" | {rm|bold I}_"rms" |`cos(phi_v - phi_i `) ## &=(219)(8.39) rm cos(-3.91^o - 25.7^o ) ##&= 1598``rm[W]]

10.3 복소전력

* 2단자 부회로에 대한 전압 및 전류 페이저

-[eqn: {rmboldV}_"rms"`]와[eqn: {rmboldI}_"rms"`]는 수동부호 규정을 만족.

[eqn: LRARROW]  [eqn: cases{{rm bold V}_"rms" = {rm|bold V}_"rms" | angle phi_v =V_"rms" angle phi_v` ## ``{rm bold I}_"rms" ``= {rm|bold I}_"rms"| angle phi_i ~= `I_"rms" `angle phi_i`}]

[eqn: cdot]부회로로 들어가는 복소전력의 정의 :

[eqn: {{{rmboldS} {=rmboldV}_"rms" ``rmboldI}}_"rms"`^* {= |rmboldS}| {angle rmboldS`}]

여기서 진폭(magnitude)과 위상각(phase angle) :

[eqn: {rm|bold S}| = {rm |bold V}_"rms"|{rm| bold I}_"rms"`^* |={rm |bold V}_"rms"|{rm |bold I}_"rms"`|]

[eqn: &{angle rm bold S} {= angle rm bold V}_"rms" + angle({rm bold I}_"rms"`^* `) {= angle rm boldV}_"rms" {- angle rm bold I}_"rms"` ##& ~~~~~= phi_v - phi_i~]

[eqn: cdot]복소전력의 실수부[eqn: =] 평균전력

[eqn: Re {left{rm bold S `right}} {=rm|bold V}_"rms"|{rm|bold I}_"rms"| cos (phi_v - phi_i `) =P`]

[eqn: HOOKRIGHT] 복소전력[eqn: rmboldS`]를 계산하고 그 실수부를 취하여 평균전력을 구한다.

[eqn: HOOKRIGHT] [eqn: cases{P=Re`{"{" rmboldS}`"}" `>`0 ~:~under{rm"absorbed power by the subcct"} ## P=Re`{"{" rmboldS}`"}" `<`0 ~:~under{rm"delivered power by the subcct"}}]

예제 10.5) 위 예제 10.3의 그림 10.6의 회로에 대한 rms 페이저 회로를 이용하여 두 전원이 공급하는 전력을 구하라 (예제 10.3 참조).

<해>

[eqn: cdot]rms 페이저 회로 : 그림 10.8 ;

[eqn: cdot]예제 10.3으로 부터,

[eqn: cases{{rm bold I}_"rms" = 7.23 over root2 rm angle 54.3^o = 5.11 rm angle 54.3^o ``rm [A``"rms"] ## {rm bold V}_{S1`"rms"} = 16.5 over root2 rm angle 44.6^o = 11.7 rm angle 44.6^o ``rm[V``"rms"]}]

[eqn: cdot]전압원과 전류원으로 들어가는 복소전력 :

1)[eqn: {rm bold S}_{S`1}] : 수동부호규정을 따르기 위해 전류의 부호를 반전한 후,

[eqn: {rm bold S}_{S`1} &= {rmboldV}_{S1"rms"} {(rmboldI}_{S1"rms"}`)^*` ##&={rmbold V}_{S1`"rms"}(5sqrt2 rm angle 180^o )^* =(11.7 rm angle 44.6^o )(7.07 rm angle 180^o )^* ## &= (11.7 rm angle 44.6^o ) (7.07 rm angle -180^o ) ## &= 82.7 rm angle -135.4^o`]

2)[eqn: {rm bold S}_{S`2}`] :

[eqn: {rm bold S}_{S`2} &= {rmboldV}_{S2"rms"} {(rmboldI}_"rms"`)^*` ##&=(sqrt2 rm angle 30^o ) (5.11 rm angle 54.3^o )^* = 7.23 rm angle -24.3^o`]

[eqn: cdot]전원들이 흡수하는 평균전력 :

[eqn: cases{P_S1 = Re rm left{{bold S}_S1 `right} = 82.7 cos rm(-135.4^o ) =-58.7 ``rm[W] `>`0` ## P_S2 =Re rm left{{bold S}_S2 `right} = 7.23 cos rm (-24.3^o ) =6.59 ``rm[W]`<`0`}]

[eqn: HOOKRIGHT] 전류원은 회로의 나머지 부분에 [eqn: 58.7``rm[W]]를 공급하며,

전압원은 [eqn: 6.59``rm[W]]를 흡수한다.

* 단일 임피던스 또는 임피던스로만 이루어진 2단자 부회로의 복소전력

[eqn: cdot]수동부호규정을 만족하는 단자 rms 페이저

[eqn: {rm bold V}_"rms" = {Z rmbold I}_"rms"`]

[eqn: cdot]부회로로 들어가는 복소전력

[eqn: &{rmbold S} {= rm bold V}_"rms" {rmboldI}_"rms"`^* {= Z ``rmbold I}_"rms" {rmboldI}_"rms"`^* ## & ~~~``= {Z ```|rmboldI}_"rms" `|^2`]

[eqn: HOOKRIGHT] [eqn: rmboldS`]의 위상각은 임피던스 자체의 각도와 동일하다.

[eqn: cdot][eqn: Re``{"{"rmboldS}"}" =P`]이므로,

[eqn: P=Re ``"{" Z ``"}" {rm |bold I}_"rms" |^2 = {Re ``"{"Z``"}"} over {|Z`|^2} {rm|boldV}_"rms" `|^2`]

[eqn: HOOKRIGHT] 만약 임피던스가[eqn: rm+-90^o`]의 각도를 갖는다면, [eqn: P=0`]. (무손실의 경우).

수동소자로 이루어진 임피던스의 각도는 크기가 [eqn: rm90^o`] 또는 그 이하이   다.

* 어드미턴스에 관한 전력

[eqn: {rm bold I}_"rms" {= Y rmboldV}_"rms"`]

[eqn: THEREFORE ~~{rmbold S} {{= rm bold V}_"rms" rmbold I}_"rms"`^* {= rmboldV}_"rms" {(Y rmboldV}_"rms" )^* =Y`^* {rm|bold V}_"rms" `|^2`]

[eqn: THEREFORE ~~P &= {Re ``"{"Y`^* "}" rm|bold V}_"rms" `|^2 {= Re ``"{"Y ``"}" rm|bold V}_"rms" `|^2` ##&= {Re`"{"Y``"}"} over {|Y``|^2} {rm|boldI}_"rms" |^2`]

예제 10.6) 다음 그림 10.9 (a)의 회로에서, rms 페이저 회로를 사용하여 부하에서의 전력을 구하라.

<해>

[eqn: cdot]rms 페이저 회로 : 그림 10.9 (b) ;

[eqn: cases{Z_1 = 3`[Omega]// 1 over 2 rm[F] =it{(3)(-j`2)}over {3-j`2} = 0.923 - j`1.38 ~[Omega] ## Z_L = 2 +j`1 ~[Omega]}]

[eqn: DOWNARROW]

[eqn: cdot]평균전력

[eqn: THEREFORE ~~{rm bold V}_{L~"rms"} &= Z_L over {Z_L +Z_1} 50 over root2 ={2+j`1} over {(2+j`1)+(0.923-j`1.38)} 50 over root{2} ##&={35.4(2+j`1)} over {2.92 - j`0.38} = 26.9 rm angle 34.1^o ``rm[V``"rms"]]

[eqn: Y_L = 1 over Z_L = 1 over {2+j`1} =0.4 -j`0.2 ``rm[S]]

[eqn: THEREFORE ~~ under{P = Re ``"{"Y_L`"}"{rm|boldV}_{L"rms"} |^2 = 0.4(26.9^2 )=289 ``rm[W]}]

예제 10.7) 다음 그림 10.10 (a)의 회로에서 전원이 회로의 나머지 부분에 [eqn: 1``rm[W]]를 공급하도록 컨덕턴스 [eqn: G`]의 값을 구하라.

<해>

[eqn: cdot]rms 페이저 회로 : 그림 10.10 (b) ;

[eqn: SWARROW]

[eqn: Y_1 = 1 over {-j`1} + 1 over { 1 over 2 + j``0.2} = j`1 + 2 over {2+j``0.4} = 1.72 +j``0.31`rm[S]]

[eqn: DOWNARROW]

[eqn: RARROW]

[eqn: Y = G + Y_1 =(G +1.72)+j`0.31 ``rm[S]]

[eqn: cdot]컨덕턴스 [eqn: G``] :

- 전체 어드미턴스 [eqn: Y`]에 관한, 회로에 의해 흡수되는 전력 :

[eqn: P={Re ``"{"Y``"}"} over {|Y``|^2} cdot {rm |boldI}_"rms" |^2 = {Re ``"{"Y``"}"} over {|Y``|^2} cdot 4 = 1.0``rm[W]]

[eqn: THEREFORE ~~{4(G+1.72)} over {(G + 1.72)^2 +0.31^2} =1`]

[eqn: THEREFORE ~~under{G^2 -0.56G -3.83 =0}]  [eqn: ->]  [eqn: G=2.25,``-3.39`]

[eqn: THEREFORE ~~under{G=2.25``rm[S]}] (Since [eqn: G`>`0`] for passive conductors)

[eqn: HOOKRIGHT] [eqn: R=1/G=1/2.25 = under{0.444``rm[Omega]}] resistor

* 무효전력(reactive power) [eqn: Q`] =  복소전력의 허수부

[eqn: {rmbold S} {=rm bold V}_"rms" {rm bold I}_"rms"`^* =P+j`Q`]

여기서

[eqn: cases{P {=rm|bold V}_"rms"| {rm|bold I}_"rms" | cos(phi_v - phi_i `)``rm[W]~:~rm"average power" ## Q {= rm|bold V}_"rms" | {rm|bold I}_"rms" | sin(phi_v - phi_i `)``rm[var]~:~rm"reactive power"}]

([eqn: rm[var]] : volt-ampere reactive )

* 다음 그림 10.11의 부회로와 rms 페이저 도 고려.

[eqn: cdot][eqn: {rmboldV}_"rms"`]의 두 직교(orthogonal) 성분 :

[eqn: cases{{rm |bold V}_i `| {= rm|boldV}_"rms" `|`cos theta` ## {rm|bold V}_q `| {=rm |bold V}_"rms" `|`sin theta`}]

[eqn: cdot]부회로가 흡수하는 복소전력 :

[eqn: &{rmbold S} {{=rm bold V}_"rms" {rmboldI}}_"rms"`^* {{=rm (bold V}_i {+ rm bold V}_q `) {rmboldI}}_"rms"`^* ##&~~```{{=rm bold V}_i {rmboldI}}_"rms"`^* {{+ rm bold V}_q {rmboldI}}_"rms"`^*`]

여기서

[eqn: cases{{{rmboldV}_i {rmboldI}}_"rms"`^* `=P`~:~rm"in-phase component (purely real)" ## {{rmboldV}_q {rmboldI}}_"rms"`^* =j`Q~:~rm"quadrature component(purely imaginary)"}}]

[eqn: cdot]상응하는 시간함수 :

[eqn: cases{i(t)=sqrt2{rm |bold I}_"rms"|cos omega t`## v_q (t) =sqrt2 {rm|bold V}_q | cos(omega t+-rm 90^o ) ## ~~~~``=sqrt2 {rm |bold V}_"rms" | sin theta cos(omega t+-rm90^o )}]

[eqn: THEREFORE ~~p_q (t) &= v_q (t) i(t) = [2 {rm| bold V}_"rms" | {rm |bold I}_"rms" | sin theta] `cos omega t ``cos(omega t +-rm90^o ) ##&={rm| bold V}_"rms" | {rm |bold I}_"rms" | sin theta `cos(2omega t +-rm90^o )]

* 무효전력 [eqn: Q`]는 주어진 부회로와 회로의 나머지 부분 사이에 일어나는 주기적 에너지 교환량의 척도이다.

[eqn: cases{Q`>`0` ~:~rm"for inductive reactances" ## Q`<`0`~:~ rm"for capacitive reactances"`}]

예제 10.8) 수동소자들과 전압원에서의 복소전력을 구하라.

<해>

[eqn: cdot]전원전압과 망로전류에 대한 rms 페이저

[eqn: cases{{rmbold V}_{s`"rms"} =12 rm angle 0^o` ## {rm bold I}_"rms" = {12 rm angle 0^o} over {1-j`2+j`1} = 8.5 rm angle 45^o`}]

[eqn: cdot]소자에 대한 복소전력 :

- 임피던스에 대해 :[eqn: {rm bold S} {= rm bold V}_"rms" {rmboldI}_"rms"`^* {{= rm bold Z} rm |bold I}_"rms" |^2`]

[eqn: THEREFORE ~~cases{R~:{rm bold S}_R = P_R +j`Q_R = (1)(8.5^2 `)=72+j``0 ~rm("purely real") ## C~: {rm bold S}_C =P_C +j`Q_C = (-j`2)(8.5^2 `)=0-j``144 ~rm("purely imaginary") ## L~:{rm bold S}_L =P_L +j`Q_L = (j`1)(8.5^2 `)=0+j``72 ~rm("purely imaginary")}]

[eqn: cdot]전원이 흡수하는 복소전력 :

-[eqn: {rmboldV}_"rms"`]와 함께[eqn: {rmboldI}_"rms"`]의 기준방향을 수동부호규정을 만족하도록 반전시키면,

[eqn: {rm bold S}_V = P_V +j`Q_V =(12 angle 0) (8.5 rm angle-135^o )^* =it -72 +j``72`]

10.4 중첩과 전력

* 두 개의 독립전원을 포함하는 회로.

[eqn: cdot]임의의 선형회로 내의 전류와 전압 : By 중첩원리,

[eqn: cases{i(t) = i_1 (t) + i_2 (t) ## v(t) = v_1 (t) + v_2 (t)}]

[eqn: cdot]순간전력 : 중첩이 만족되지 않는다.

[eqn: p(t) &=i(t)`v(t) =[ i_1 (t) + i_2 (t)] [ v_1 (t) + v_2 (t) ] ## & =i_1 (t) v_1 (t) + i_2 (t) v_2 (t) +[i_1 (t) v_2 (t) + i_2 (t) v_1 (t) ] ##& = p_1 (t) + p_2 (t) + [i_1 (t) v_2 (t) + i_2 (t) v_1 (t)]]

[eqn: HOOKRIGHT] [eqn: under{p(t) neq p_1 (t) + p_2 (t)}]

* 복소전력에 관하여,

[eqn: cdot]전류와 전압 페이저 :

[eqn: cases{{rm bold I} ~{=``rm bold I}_1 {`+ `rmboldI}_2` ## {rm bold V} {=rm bold V}_1 {+rmboldV}_2 }]

[eqn: cdot]복소전력 :

[eqn: THEREFORE ~~{rmboldS} &{=rmbold{V`I}}^* {=rm(boldV}_1 {+rmbold V}_2 `) {rm (bold I}_1 {+rmboldI}_2 `)^*` ## & ```=rm {boldV_1 boldI_1}^* + {bold V_2 boldI_2}^* {+(bold V_1 boldI_2}^* + {bold V_2 boldI_1}^* `) ## &```= rm {bold S_1} +{bold S_2} {+ (bold V_1 boldI_2}^* {+bold V_2 boldI_1}^* `)]

[eqn: THEREFORE ~~cases{P=P_1 +P_2 + Re rm left{bold V_1 bold I_2^* +bold V_2 boldI_1^* right} ## Q=Q_1 +Q_2 +Im rm left{bold V_1 boldI_2^* + boldV_2 boldI_1^* right}}]

[eqn: cdot]중첩원리는 일반적으로 복소전력 (평균전력[eqn: P`]와 무효전력[eqn: Q`])에 대해서는 성립하지 않는다.

예제 10.9) 다음 그림 10.12 (a)의 회로에서, 전압원이 공급하는 순전력을 구             하라.

<해>

[eqn: cdot][eqn: omega=2``rm[rad/s]]에 대한 rms 페이저 회로 : 그림 10.12 (b) ;

[eqn: cdot][eqn: {rmboldI}_1 =]전압원에 의한[eqn: rmboldI`]의 성분,[eqn: {rmboldI}_2 =]전류원에 의한[eqn: rmboldI`]의 성분이라 두면,

[eqn: cases{{rm bold I}_1 = -{3 sqrt2 rm angle 0^o} over {1+j`3} = -0.424 +j`1.27 ``rm [A``"rms"] ## {rm bold I}_2 = 1 over {1+j`3} cdot {sqrt 2 rm angle 20^o} =-0.278 -j`0.35 ``rm[A``"rms"]}]

[eqn: HOOKRIGHT][eqn: {rm bold I} {=rm boldI}_1 {+ rmboldI}_2 =-0.146+j`0.92``rm[A``"rms"]]

[eqn: cdot]전압원이 흡수하는 복소전력 :

[eqn: THEREFORE ~~{rm bold S} &{=rm bold VI^*} = (3 sqrt2 angle 0)(-0.146 -j`0.92)=-0.62 -j`3.9` ##&`= P+j`Q`]

[eqn: HOOKRIGHT] 전압원은 [eqn: 620`rm[mW]]의 평균전력과 [eqn: 3.9`rm[var]]의 무효전력을 공급.

* [eqn: omega_1 neq omega_2`]인 두 정현파 전원을 포함한 회로에서 평균전력의 중첩.

[eqn: cdot]순간전력 : 중첩이 성립하지 않는다.

[eqn: p(t) &=[v_1 (t) +v_2 (t)][i_1 (t)+i_2 (t)] ##&=p_1 (t) +p_2 (t) +[i_1 (t) v_2 (t) + v_1 (t) i_2 (t)]]

[eqn: cdot]평균전력 : 중첩이 성립한다.

[eqn: P &= 1 over T int_0^T p`dt = 1 over T int_0^T (p_1 +p_2 + i_1 `v_2 +i_2 `v_1 )dt` ##&= 1 over T int_0^T p_1 dt + 1 over T int_0^T p_2 dt + 1 over T int_0^T (i_1` v_2 + i_2 `v_1 ) dt` ##&= P_1 + P_2 + 1 over T int_0^T (i_1` v_2 + i_2 `v_1 `) dt`]

여기서

[eqn: CASES{i_1 = I_m1 cos(omega_1 t + phi_{i`1}) ## v_2 = V_m2 cos(omega_2 t +phi_{v`2}`)}]  [eqn: cases{i_2 = I_m2 cos(omega_2 t + phi_{i`2}) ## v_1 = V_m1 cos(omega_1 t +phi_{v`1}`)}]

그리고

[eqn: cases{1 over T int _0^T (i_1 v_2 )`dt &={I_m1 V_m2} over T int_0^T cos(omega_1 t +phi_{i`1})cos(omega_2 t +phi_{v`2})dt =0` ## 1 over T int _0^T (i_2 v_2 )`dt &={I_m2 V_m1} over T int_0^T cos(omega_2 t +phi_{i`2}) cos(omega_1 t +phi_{v`1})dt =0`}]

[eqn: THEREFORE ~~under{P=P_1 +P_2`}]

* 전원들이 상이한 주파수를 가질 때, 중첩은 [eqn: P`]와 [eqn: Q`]에 대해 성립하며, 따라서 복소전력[eqn: rmboldS`]에 대해서도 성립한다.

* 페이저가 중첩될 수 있으면 ([eqn: omega_1 = omega_2`]), [eqn: P`] 나 [eqn: Q`]는 중첩될 수 없으며,

페이저가 중첩될 수 없으면 ([eqn: omega_1 neq omega_2`]), [eqn: P`]와 [eqn: Q`] 둘 다 중첩이 이루어진다.

예제 10.10) 다음 그림 10.10 (a)의 회로에서 저항이 흡수하는 평균전력을               구하라.

<해>

[eqn: cdot]전원의 주파수가 서로 다르므로, 다른 페이저 회로로부터 그들 각각의 응답을 계산해야 한다 : 그림 10.13 (b), (c) ;

[eqn: cdot][eqn: omega=4`]일 때 저항으로의 전력 :

[eqn: {rmboldI}_1 =(sqrt2 rm angle 20^o ) it left[ {j`(8-15/2)} over {1+j`(8-15/2)} right] = 1.40 rm angle 27.6^o ``rm[A~"rms"]]

[eqn: THEREFORE ~~under{P_1} {= Re rm "{"bold Z ``"}" rm|bold I}_1 |^2 {= R rm |bold I}_1 |^2 = (1)(1.40)^2 = under{1.96 ``rm[W]}]

[eqn: cdot][eqn: omega=2`]일 때 저항으로의 전력 :

[eqn: {rm boldI}_2 = {3 sqrt2 rm angle 0^o } over {1+j`3}=1.34 rm angle -71.6^o ``rm[A~"rms"]]

[eqn: THEREFORE ~~under{P_2} {= R rm|bold I}_2 |^2 = (1)(1.34)^2 = under{1.80 ``rm[W]}]

[eqn: cdot]저항이 흡수하는 평균전력 :

[eqn: P=P_1 + P_2 = 1.96 + 1.80 = under{3.76 ``rm[W]}]

예제 10.11) 다음 그림 10.14의 회로에서 부하가 흡수하는 평균전력과 무효              전력을 구하라.

<해>

[eqn: cdot][eqn: omega=2`]일 때의 전력 ;

[eqn: {rm bold I}_1 = {1.5 sqrt2 rm angle 0^o + 2 sqrt 2 rm angle 50^o} over {4+j`4} = 0.795 rm angle-16.2^o ``rm[A~"rms"]]

[eqn: THEREFORE ~{rm bold S}_1 {= rm {boldZ}|bold I}_1 |^2 =0.795^2 (4+j`4)= under{2.53 + j``2.53`}]

[eqn: cdot][eqn: omega=3`]일 때의 전력 ;

[eqn: {rm bold I}_2 = {sqrt2 rm angle 0^o } over {4+j`6} = 0.196 rm angle-56.3^o ``rm[A~"rms"]]

[eqn: THEREFORE ~~{rm bold S}_2 {= rm {bold Z}|bold I}_2 |^2 = 0.196^2 (4+j`6) = under{0.784 + j``0.118`}]

[eqn: cdot]상이한 주파수에서 복소전력은 중첩되므로,

[eqn: under{{rm bold S} {= rm {bold S}_1 + bold S}_2 =3.31+j`3.71`}]

[eqn: HOOKRIGHT] 부하는 [eqn: 3.31`rm[W]]의 평균전력과 [eqn: 3.71`rm[var]]의 무효전력을 흡수한다.

10.5 최대전력전송

* 최대평균전력을 흡수하기 위한 임피던스 [eqn: Z_L`] (예, 오디오 증폭기로부터 스피커로의 최대전력전송)

[eqn: cdot]임피던스 정합화(impedance matching) : 주어진 부회로로부터 최대전력을

전송하기 위한 부하를 구하는 과정: 그림 10.15 ;

[eqn: cdot]부하에 흐르는 전류와 부하가 흡수하는 평균전력 :

[eqn: {rm bold I} = {rm bold V}_T over {Z_L +Z_T}`]

[eqn: P_L = Re `"{"Z_L `"}" {rm |bold I}|^2 ={Re `"{" Z_L `"}" {rm |bold V}_T |^2} over {|Z_L +Z_T |^2`}]

- [eqn: Z_L =R_L + j X_L`] 및 [eqn: Z_T =R_T +j X_T`]라 두면,

[eqn: P_L &= {Re `"{" R_L + j X_L `"}" {rm |bold V}_T |^2} over {|(R_L + jX_L `) + (R_T + j `X_T ) |^2`} ##&= R_L over {(R_L +R_T `)^2 +(X_L + X_T `)^2} {rm |bold V}_T |^2]

[eqn: cdot]최대전력전달조건 : PL을 최대화 하기 위한 [eqn: R_L`] 및 [eqn: X_L`].

1) [eqn: under{X_L`}] : [eqn: under{X_L =-X_T`}]   [eqn: RARROW]  [eqn: P_L = R_L over {(R_L +R_T `)^2} {rm |bold V}_T |^2]

2) [eqn: under{R_L`}] : [eqn: PARTIAL over {partial R_L} P_L right|_{(X_L = X_T `)} = PARTIAL over {partial R_L} R_L over {(R_L +R_T )^2} =0`]

[eqn: THEREFORE ~~under{R_L =R_T`}]

[eqn: HOOKRIGHT] 따라서, 최대전력전달조건 :

[eqn: Z_L =R_L + jX_L = R_T -j X_T =Z_T^{*}`]

만약 부하와 테브냉 등가 임피던스가 켤레복소수이면, 테브냉 등가 임피던스 [eqn: Z_T`]를 갖는 주어진 전원으로부터 부하 [eqn: Z_L`]에 최대전력이 전달된다.

[eqn: cdot]부하의 최대전력 : [eqn: Z_L =Z_T^{*}`]을 사용,

[eqn: P_max &= Re "{"Z_L "}" {|rmboldI}|^2 right|_{Z_L =Z_T `^*} = {Re "{"Z_L "}" {|rmboldV}|^2} over {|Z_L +Z_T |^2} right|_{Z_L =Z_T`^*} ###&={Re `"{" Z_T `"}" {rm |bold V}_T `|^2} over {|2 Re `"{" Z_T `"}" |^2 } = {{rm | bold V}_T `|^2} over {4 Re `"{" Z_T `"}"} = {{rm | bold V}_T `|^2} over {4 R_T`}]

- [eqn: Y_T = 1 /Z_T`]를 사용하면,

[eqn: P_max = {{rm | bold V}_T `|^2} over {4 Re `"{" Z_T `"}"} = {Re `"{"Y_T `"}" {rm|boldV}_T |^2} over 4 = {{rm|boldI}_T |^2 } over {4 Re `"{" Y_T `"}"}]

예제 10.12) 다음 그림 10.16 (a)의 rms 페이저 회로에서 최대전력전달을 위한 부하 임피던스 [eqn: Z_L`]과 최대전력을 구하라.

<해>

[eqn: cdot]테브냉 등가회로 : 그림 10.16 (b);

[eqn: cases{{rm bold V}_T = (3)(4 rm angle 0^o ) =12 rm angle 0^o ``rm[V``"rms"]` ## ~~Z_T = 3+j``4 ``rm[Omega]}]

[eqn: cdot]최대전력전달조건과 최대전력 :

[eqn: cases{Z_L = Z_T^{*} =3-j`4 ~[Omega] ## P_max = {{rm|boldV}_T `|^2 } over {4 R_T}= 12^2 over {4 times 3} =12 ``rm[W]}]

10.6 전력의 보존성

* 마디 [eqn: 0,1,2, cdots,n`]을 갖는 [eqn: n+1`] 마디 회로 :

□마디 [eqn: j`]에서 KCL을 적용,

[eqn: sum_k=0^n {rm bold I}_jk = sum_k=1^n {rmboldI}_jk {+ rmboldI}_{j`0}=0`]

여기서

[eqn: cases{{rmboldI}_{j`0} =rm"current into the reference node" ## {rmboldI}_jj =0`}]

[eqn: cdot]이 KCL 방정식의 켤레복소수를 취하고 마디전압[eqn: {rmboldV}_j`]를 곱하면,

[eqn: sum_k=1^n {rmbold V}_j {rmbold I^*}_jk {+ rm bold V}_j {rm bold I^*}_{j`0} =0`]

[eqn: cdot]모두 [eqn: n`]개의 방정식을 함께 더하면,

[eqn: sum_j=1^n ``left(sum_k=1^n {rmbold V}_j {rm bold I^*}_jk {+rm bold V}_j {rm bold I^*}_{j`0} right) =0`]

- 비기준마디의 각 쌍 사이에 흐르는 전류는 처음 이중 합에서[eqn: {rmboldI}_jk`]와 그의 음수[eqn: {rmboldI}_kj`]로 두 번씩 나타난다.  [eqn: k<j`]일 때[eqn: {rmboldI}_kj`]를[eqn: {rm-boldI}_jk`]로 대체하면,

[eqn: sum_j=1^n ``left(sum_k=j+1^n {rm(bold V}_j {-rm bold V}_k `){rm bold I^*}_jk {+rm bold V}_j {rm bold I^*}_{j`0} right) = 0`]

[eqn: cdot]각 항은 특정 마디쌍 [eqn: (j,`k)]에 연결된 부회로가 흡수하는 복소전력[eqn: {rmboldS}_jk`]이며, 회로 내에서 각 쌍은 정확히 한번만 나타난다.

[eqn: under{sum_{{rm node~pairs}(j,k)} {rm bold S}_jk =0`}]

복소전력의 보존성 :

한 회로 내의 모든 소자가 흡수하는 복소전력의 합은 0이다.

한 회로 내의 모든 소자가 흡수하는 순전력은 모든 전원이 공급하는 순전력과 같다.

[eqn: cdot]마디 [eqn: j`]와 [eqn: k`]에 연결된 부회로는 소자들이 오직 병렬로만 구성될 수 있다 : 그림 10.17

- 이러한 병렬 부회로의 복소전력 :

[eqn: {rm bold S}_jk &{= rm (bold V}_j {-rm bold V}_k `) {rm bold I^*}_jk`{= rm (bold V}_j {-rm bold V}_k `) sum_l=1^m {rmboldI^*}_jkl` ##&```= sum_l=1^m {rm (bold V}_j {-rm bold V}_k `) {rm bold I^*}_jkl`]

예제 10.13) 다음 그림 10.18의 rms 페이저 회로에서 각 소자가 흡수 또는 공급하는 전력, 즉 □전력예산□을 구하라.

<해>

[eqn: cdot]등가 임피던스 및 전원으로부터의 전류 :

[eqn: cases{{rm bold Z} =j`2 +{(2)(-j`1)} over {2-j`1 }= 0.4 +j`1.2 ~[Omega] ## {rm bold I} = {1 rm angle 0^o } over {0.4 +j`1.2} =0.791 rm angle-71.6^o `rm[A``"rms"]}]

[eqn: cdot]전원에서의 복소전력

[eqn: {rm bold S}_V {=rm bold VI^*} = (1 rm angle 0^o ) (0.791 rm angle +71.6^o ) = under{it 0.25+j`0.75`}]

[eqn: HOOKRIGHT] [eqn: rmboldV`]와[eqn: rmboldI`]가 수동부호규정에 위배되므로 공급 전력.

[eqn: cdot]인덕터가 흡수하는 전력

[eqn: {rm bold S}_L = Z_L {rm |bold I} |^2 = (j`2)(0.791)^2 = under{0+j`1.25`}]

[eqn: HOOKRIGHT] 인덕터는 전원이 공급하는 무효전력보다 더 큰 [eqn: 1.25`rm[var]]를 흡수.

[eqn: cdot]전원에 의해 제공되는 [eqn: 0.25`rm[W]]의[eqn: {rmboldS}_V`]는 저항이 흡수.

[eqn: {rm bold S}_R = 0.25 +j`0`]

[eqn: cdot]인덕터는 추가 무효전력 [eqn: 1.25`rm[var]]를 흡수하기 때문에,

커패시터는 [eqn: 0.5`rm[var]]를 제공해야 한다.

[eqn: {rm bold S}_C = 0-j``0.50`]

[eqn: cdot]이러한 결과는 직접 계산해서도 증명할 수 있다.

[eqn: {rm bold I}_R &= {(-j`1)} over {2-j`1} times {rmboldI}` ##&= {(0.791 rm angle -71.6^o )`(-j`1)} over {2-j`1} = 0.354 rm angle -135^o `rm[A``"rms"]]

[eqn: THEREFORE ~{rm bold S}_R = Z_R {rm|bold I}_R |^2 = (2)(0.354)^2 = under{0.25 +j`0`}]

그리고

[eqn: {rm bold I}_C {=rm bold I - bold I}_R = 0.707 rm angle -45^o `rm[A``"rms"]]

[eqn: THEREFORE ~{rm bold S}_C {= Z_C rm|bold I}_C |^2 = (-j`1)`(0.707)^2 =under{-j`0.50`}]

* 에너지는 전력의 시간적분이며 전력은 보존되므로, 에너지도 역시 보존된다.

10.7 무효전력과 역률

[eqn: cdot]ac 정상상태에서 부하에 공급되는 평균전력.

[eqn: P=V_"rms" ``I_"rms" ``cos theta ``rm[W]],  ([eqn: theta=phi_v -phi_i`])

[eqn: cdot]겉보기전력(apparent power) : [eqn: P_a = V_"rms" ``I_"rms"``rm[VA]]

[eqn: cdot]역률(power factor : [eqn: pf``])[eqn: =] 겉보기전력에 대한 평균전력의 비.

[eqn: pf = P over {V_"rms" ``I_"rms"} =cos theta`]

여기서 [eqn: theta =phi_v -phi_i = theta_z`]는 역률각([eqn: pf``] angle)이라 한다.

[eqn: cdot]부하 임피던스 [eqn: Z_L`]과 [eqn: pf~]

1) [eqn: Z_L =R`]  : [eqn: theta=phi_v -phi_i =0`] 이므로, [eqn: pf=cos theta =1`].

([eqn: P=P_a = V_"rms"``I_"rms"`], [eqn: Q=0`])

2) [eqn: Z_L = j omega L`], 또는 [eqn: Z_L = 1 over {j omega C`}] :

[eqn: theta=phi_v -phi_i = rm +-90^o`] 이므로, [eqn: pf =cos theta =0`].

([eqn: P=0`], [eqn: Q neq 0`])

3) [eqn: Z_L =R + j `X`] :

[eqn: RC`] 부하 ([eqn: X<0`])에 대해 [eqn: rm-90^o `<`theta`<`0`]이고,

[eqn: RL`] 부하 ([eqn: X>0`])에 대해 [eqn: 0`<`theta`<rm 90^o`]이므로,

[eqn: 0`<`pf=cos theta`<`1`]. ([eqn: P neq 0`], [eqn: Q neq 0`])

[eqn: cdot]앞선역률(leading [eqn: pf~])과 뒤진역률(lagging [eqn: pf~])

1) [eqn: RC`] load : 전류는 전압에 앞선다(lead) [eqn: RARROW] "앞선(leading) 역률"

2) [eqn: RL`] load : 전류는 전압에 뒤진다(lag)  [eqn: RARROW] "뒤진(lagging) 역률"

예제 10.14) 어떤 공장이 [eqn: 220``rm[V]] rms 전선으로부터[eqn: 100 ``rm[kW]] ([eqn: 10^5 rm[W]])를 소비한다. 뒤진역률 0.85와 뒤진역률 0.95에 대한 전력효율을 비교하라.

<해>

[eqn: cdot]뒤진역률 0.85에서,

[eqn: I_"rms" = P over {V_"rms" ``pf} = 10^5 over {(220)(0.85)}=under{534.8 `rm[A]}]

[eqn: THEREFORE ~~P_a =V_"rms" `I_"rms" =(220)(534.8) = under{117.66``rm[kVA]}]

[eqn: cdot]뒤진역률 0.95에서,

[eqn: I_"rms" = 10^5 over {(220)(0.95)} = 478.5 ``rm[A]]

[eqn: THEREFORE ~~P_a =V_"rms" I_"rms" =105.3``rm[kVA]]

[eqn: cdot][eqn: pf=0.95`]인 경우, [eqn: I_"rms"`]는 534.8 - 478.5 = 56.3 [A] (56.3/534.8 = 10.5%) 만큼 줄어든다. 따라서 발전소는 낮은 [eqn: pf~]의 경우 더 큰 전류를 발전해야 한다.

[eqn: cdot]전송선로의 저항이 [eqn: 0.1 ``[Omega]]이라면, 전원이 발전하는 전력은

[eqn: P_g = 10^5 +0.1 I_"rms"^{2}``rm[W]]

[eqn: THEREFORE ~~P_g = cases{128.6 ``rm[kW],~~it pf = 0.85` ## 122.9``rm[kW],~~it pf=0.95`}]

[eqn: cdot]전력회사는 회사들에게 [eqn: pf~]를 0.9 이상으로 만들도록 하며, 이를 따르지 않는 산업체 회사들에게 벌금을 부과한다.

[eqn: cdot]주어진 부하와 병렬로 한 소자를 연결하여 부하 [eqn: Z`] 또는[eqn: Y=1/Z`]의 역률 보정(correction) : 그림 10.19;

[eqn: cdot]전체 어드미턴스 :

[eqn: Y_T = Y +Y_1`]

[eqn: cdot]어떠한 평균전력도 흡수하지 않는 새로운 소자는 페이저 도에서 처럼[eqn: Re `"{"Y``"}"=0`]인 순수한 리액턴스이어야 한다. [eqn: pf~]를 어떤 목표값 [eqn: pf=PF~]로, 즉 cos□d = PF로 조정하기 위해서는,

[eqn: Y_1 = j``(Im `"{"Y``"}" -Im `"{"Y_T``"}")]

여기서

[eqn: Im `"{"Y_T `"}"= Re `"{"Y``"}" tan theta_d`]

예제 10.15) 앞의 예제 10.13의 그림 10.18의 회로에서, [eqn: omega=1`]에 대해 앞선역률 [eqn: pf~] 0.98로 역률을 조정하기 위한 병렬소자를 구하라.

<해>

[eqn: cdot]이 회로의 임피던스와 어드미턴스 (예제 10.13 참조)

[eqn: cases{Z= under{0.4+j``1.2} = under{1.264 rm angle 71.6^o}~[Omega] ## Y= 1 over Z = under{0.25-j``0.75} = under{0.791 rm angle -71.6^o}~rm[S]}]

- [eqn: theta_Z `=` -theta_Y `= rm 71.6^o`]이므로, [eqn: pf=cos rm(71.6^o ) =0.32`](lagging [eqn: pf~]).

[eqn: cdot]원하는[eqn: Y_T`]는 앞선 [eqn: pf~]를 위해 [eqn: theta_d = cos^-1 ``0.98 = rm +11.5^o`]의 각도를 가져야 한다.

- 실수부[eqn: =0.25`]이고 각도[eqn: = rm 11.5^o`]인 복소수의 허수부 :

[eqn: Im Y_T = (0.25)(tan rm 11.5^o )=0.051``rm[S]]

- 따라서, 어드미턴스를 [eqn: Y=0.25-j``0.75`]에서 [eqn: Y_T =0.25+j``0.051`]로 바꿔야 한다.

[eqn: THEREFORE ~~under{Y_1} = Y_T `- Y =j`(0.051 +0.75) = under{ j``0.801``rm[S]}]

[eqn: cdot][eqn: pf~]를 [eqn: 0.98`]로 보정하기 위해서는, 주어진 임피던스와 병렬로 [eqn: j``0.801``rm[S]]의 어드미턴스 또는 등가적으로 [eqn: 1/j``0.801=-j``1.25``rm[Omega]]의 임피던스를 연결할 필요가 있다.

[eqn: 1 over {j`(1)C}=-j`1.25``rm[Omega]]  [eqn: RARROW]  [eqn: under{C=0.80 ``rm[F]}]

10.8 SPICE와 교류정상상태 전력

[생략]

* 요 약 : Self-study

Report

<문제> 10.7, 10.9, 10.14, 10.18, 10.22, 10.30, 10.35, 10.39,

10.43(SPICE), 10.47 (10 문제)